Signifikanz??? < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Fr 16.07.2004 | | Autor: | Yvi |
Ich habe diese Frage auch in folgenden fremden Foren gestellt:
![[]](/images/popup.gif) http://www.e-hausaufgaben.de/support_forum_show.php?id=20040715185105
Hallo, ich habe diese Frage bereits in einem anderen Forum gestellt. Ich befürchte aber, dass sie mir dort niemand beantworten kann.
Aufgabe 1):
Was versteht man beim statistischen Testen unter einem Fehler 1.Art, was unter einem Fehler 2.Art? Was bedeutet das "Signifikanzniveau"? Addieren sich die Wahrscheinlichkeiten für einen Fehler 1. und 2.Art immer zu 1? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht? Wie hängt die Stichprobengröße mit diesen Wahrscheinlichkeiten zusammen?
Aufgabe 2):
Was passiert bei einem statistischen Test bei einem Signifikanzniveau von 5%, wenn die Stichprobengröße zunimmt? (mit Begründung; es kann mehr als eine Antwort richtig sein):
a) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1.Art nimmt ab.
b) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1.Art nimmt zu.
c) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2.Art nimmt ab.
d) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2.Art nimmt zu.
Fehler 1.Art wird auch als Alpha-Fehler und Fehler 2.Art als Beta-Fehler bezeichnet.
Für ausführliche Antworten wäre ich wieder sehr dankbar.
Ich habe Wahrscheinlichkeitsrechnung etc. noch nie gemacht. Außerdem kann ich mit den meisten Formeln nicht so viel anfangen, weil ich die ganzen Buchstaben nicht zuordnen kann. Deshalb fände ich es klasse, wenn mir jemand diese Aufgaben an einem Beispiel verdeutlichen könnte.
Also vielen lieben Dank schonmal
Yvi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Fr 16.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Yvi!
Ich versuche Aufgabe 1 mal sehr ausführlich zu beantworten. Hierbei halte ich mich bei meinen Erläuterungen sehr eng an das (insbesondere für Nicht-Mathematiker) ausgezeichnete Buch Statistik - Der Weg zur Datenanalyse von Fahrmeir et.al. (Springer-Verlag), das ich dir nur wärmstens empfehlen kann.
Ein statistisches Textproblem besteht aus einer Nullhypothese [mm] $H_0$ [/mm] und einer Alternativhypothese [mm] $H_1$, [/mm] die sich gegenseitig ausschließen und Aussagen über die gesamte Verteilung oder über bestimmte Parameter des interessierenden Merkmals in der Grundgesamtheit beinhalten.
Falls das Testproblem lautet:
[mm] $H_0 [/mm] : "`="'$ gegen [mm] $H_1 [/mm] : [mm] "`\ne"'$ [/mm] ,
dann nennt man dieses zweiseitig.
Falls
[mm] $H_0 [/mm] : "` [mm] \le [/mm] "'$ gegen [mm] $H_1 [/mm] : "` > "'$
bzw.
[mm] $H_0 [/mm] : "` [mm] \ge [/mm] "'$ gegen [mm] $H_1 [/mm] : "` < "'$
zu testen ist, dann spricht man von einseitigen Testproblemen.
Ein statistischer Test basiert auf einer geeignet gewählten Prüfgröße und liefert eine formale Entscheidungsregel, die aufgrund einer Stichprobe darüber entscheidet, ob eher [mm] $H_0$ [/mm] oder [mm] $H_1$ [/mm] für die Grundgesamtheit zutrifft. Liegt der Wert der Prüfgröße im sogenannten Ablehnungsbereich, so entscheidet man sich gegen [mm] $H_0$ ("$H_0$ [/mm] wird verworfen") und für [mm] $H_1$. [/mm] Ansonsten spricht man davon, [mm] "$H_0$ [/mm] beibehalten wird"'.
Aufgrund eines statistischen Tests sind jedoch immer Fehlentscheidungen möglich.
Beispiel
Bei der Konstruktion von Kontrollkarten wird implizit zu jedem der Kontrollzeitpunkte ein statistisches Testproblem unterstellt. Es geht jeweils darum zu prüfen, ob der Mittelwert der produzierten Stücke noch mit einem vorgegebenen Soll-Erwartungswert übereinstimmt, oder ob in den laufenden Prozess eingegriffen werden muss. Nehmen wir an, bei dem produzierten Werkstück handelt es sich um Bleistifte, deren Länge $17cm$ betragen soll. Dann lautet das (zweiseitige) Testproblem:
[mm] $H_0 [/mm] : [mm] \mu [/mm] = 17 [mm] (=\mu_0)$ [/mm] gegen [mm] $H_1 [/mm] : [mm] \mu \ne [/mm] 17$.
Es sei bekannt, dass die Länge $X$ der Bleistifte (approximativ) normalverteilt ist mit Erwartungswert [mm] $\mbox{E}[X]=\mu$ [/mm] und [mm] $\mbox{Var}[X]=\sigma^2 [/mm] = 2.25$. Es wird nun zum Zeitpunkt $t=1$ eine unabhängige Stichprobe aus der laufenden Produktion entnommen. Folgende Längen werden an den fünf Bleistiften gemessen:
$19.2 cm$ , $17.4 cm$ , $18.5cm$ , $16.5cm$ , $18.9cm$.
Daraus ergibt sich ein Mittelwert von [mm] $\bar{x}=18.1$. [/mm] Als standardisierte Prüfgröße erhält man:
$z = [mm] \frac{\bar{x} - \mu_{0}}{\sigma} \sqrt{n} [/mm] = [mm] \frac{18.1 - 17}{1.5} \sqrt{5} [/mm] = 1.64$.
Legen wir die Wahrscheinlichkeit uns irrtümlich für die Alternativhypothese zu entscheiden, also die Wahrscheinlichkeit unter [mm] $H_0$ [/mm] für den Ablehnungsbereich als [mm] $\alpha=0.01$ [/mm] fest, so müssen wor das $0.995$-Quantil der Standardnormalverteilung bestimmen, das sich als $2.5758$ ergibt. Damit kann davon ausgegangen werden, dass sich der Prozess nicht mehr unter statistischer Kontrolle befindet, falls für den Prüfgrößenwert $z$ gilt:
[mm] $\vert [/mm] z [mm] \vert [/mm] > 2.5758$.
Da für die obige Stichprobe $Z$ den Wert $1.64$ angenommen hat, kann der Prozess weiterlauen. Ein Eingriff ist nicht nötig. Die Nullhypothese [mm] $H_0 [/mm] : [mm] \mu [/mm] =17$ wird beibehalten.
In diesem Beispiel könnte der Test aufgrund einer gezogenen Stichprobe an Bleistiften zu der Entscheidung kommen, dass die durchschnittliche Länge von $17cm$ verschieden ist, obwohl dies tatsächlich nicht der Fall ist. Eine solche Fehlentscheidung, bei der also [mm] $H_0$ [/mm] aufgrund der Stichprobe verworfen wird, obwohl [mm] $H_0$ [/mm] für die Grundgesamtheit zutrifft, nennt man Fehler 1. Art (oder: [mm] [b]$\alpha$-Fehler[/b]).
[/mm]
Der umgekehrte Fall, dass [mm] $H_0$ [/mm] beibehalten wird, obwohl die Alternativhypothese [mm] $H_1$ [/mm] wahr ist, kann ebenfalls eintreten. Man spricht dann von einem Fehler 2. Art (oder: [mm] [b]$\beta$-Fehler[/b]). [/mm] Im Beispiel hätte ein Fehler 2. Art zur Folge, dass die Entscheidung fiele, dass die durchschnittlieche Bleistiftlänge $17cm$ beträgt, obwohl eigentlich Bleistifte mit einer systematischen von $17cm$ verschiedenen Länge produziert werden.
Solche Fehlentscheidungen sind möglich, weil man mit der Durchführung eines statistischen Tests den Schluss von einer konkreten Stichprobe auf die Grundgesamtheit wagt. Dementsprechend schlagen sich systematsiche oder zufällige Fehler in der Stichprobe auf die Testentscheidung nieder.
Also:
Bei einem statistischen Testproblem [mm] $H_0$ [/mm] gegen [mm] $H_1$ [/mm] un einem geeigneten statistischen Test spricht man von einem
- Fehler 1. Art, wenn [mm] $H_0$ [/mm] verworfen wird, obwohl [mm] $H_0$ [/mm] wahr ist,
- Fehler 2. Art, wenn [mm] $H_0$ [/mm] beibehalten wird, obwohl [mm] $H_1$ [/mm] wahr ist.
Fehlentscheidungen dieses Typs sind immer möglich. Zudem lässt sich bei einer vorliegenden Testentscheidung nicht beurteilen, ob diese nun richtig oder falsch ist. Man konstruiert statistische Tests daher so, dass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art durch eine vorgegebene kleine Schranke kontrolliert wird. Diese obere Schranke wird als Signifikanzniveau bezeichnet. Dies ist die Wahrscheinlichkeit [mm] $\alpha$ [/mm] für den Ablehnungsbereich unter der Nullhypotehse. Entsprechend spricht man von [mm] $1-\alpha$ [/mm] auch als Sicherheitswahrscheinlichkeit.
Dies ist wohl zu unterscheiden von der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, kurz als [mm] $\beta$ [/mm] bezeichnet. Dieser wird zunächst nicht kontrolliert. Man sucht jedoch unter allen Tests, die die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art durch [mm] $\alpha$ [/mm] kontrollieren, nach solchen, die die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art möglichst gering halten.
Eine gleichzeitige Minimierung beider Fehlerwahrscheinlichkeiten ist im Allgemeinen nicht möglich!
Die fälschliche Verwerfung der Nullhypothese ist somit durch das Signifikanzniveau [mm] $\alpha$ [/mm] abgesichert. Man spricht dann auch von einem statistischen Test zum (Signifikanz-)Niveau [mm] $\alpha$.
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art wird nicht vorgegeben: Je näher der wahre Parameter aus der Alternative an dem nicht wahren Parameter der Nullhypothese liegt, desto größer wird die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. Man nehme an, die wahre produzierte Bleistiftlänge beträgt im Mittel $17.2cm$, der Soll-Erwartungswert ist aber auf $17cm$ festgelegt. Dieser kleine Unterschied ist anhand eines statistischen Tests nur schwer zu erkennen. Der statistische Test wird dazu tendieren, die Nullhypothese nicht zu verwerfen, d.h. der Test wird vermutlich zu der falschen (!) Entscheidung gelangen, dass der Sollwert eingehalten wird. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art ist also sehr groß. Liegt das Mittel der produzierten Bleistiftlänge jedoch bei $20cm$, um einen Extremfall zu nennen, so wird der statistische Test eher darauf erkennen, dass der Sollwert nicht mehr eingehalten wird. Diese Ungleichbehandlung der beiden Fehlerarten ist der Grund dafür, dass die eigentlich interessierende Fragestellung als statistische Alternative formuliert wird. Entscheidet man sich für diese, so möchte man mit Sicherheit sagen können, mit welchem Fehler diese Entscheidung behaftet ist. Eine solche Aussage ist für den Fall, dass [mm] $H_0$ [/mm] beibehalten wird, nur schwer möglich.
Also:
Ein statistischer Test heißt Test zum Signifikanzniveau [mm] $\alpha$ [/mm] mit [mm] $0<\alpha<1$, [/mm] oder Signifikanztest, falls
[mm] $P(H_1\ \mbox{annehmen}\ \vert\ H_0 [/mm] \ [mm] \mbox{wahr}) \le \alpha$,
[/mm]
d.h.
[mm] $P(\mbox{Fehler 1. Art}) \le \alpha$.
[/mm]
Typische Werte für das Signifikanzniveau [mm] $\alpha$ [/mm] sind $0.1$, $0.05$, $0.01$.
Anschaulich kann man das Signifikanzniveau [mm] $\alpha$ [/mm] wie folgt interpretieren: Nehmen wir an, es würden $100$ gleichgroße Stichproben zu derselben Fragestellung gezogen, z.B. $100$ Stichproben mit je $10$ Geburten. Außerdem gelte die Nullhypothese, d.h. in unserem Beispiel seien Jungen- und Mädchengeburten gleich wahrscheinlich. Dann würde ein statistischer Test zum Niveau [mm] $\alpha=5\%$ [/mm] in höchstens $5$ der $100$ Stichproben die Nullhypothese verwerfen. Da Testentscheidungen somit von dem vorgegebenen Signifikanzniveau abhängen, sagt man im Fall einer Verwertung der Nullhypothese "Das Ergebnis ist statistisch signifikant (zum Niveau [mm] $\alpha$)" [/mm] und im Falle einer Beibehaltung der Nullhypothese "Das Ergebnis ist nicht statistisch signifikant (zum Niveau [mm] $\alpha$)". [/mm] Bei dieser Formulierung wird auch noch einmal deutlich, dass der Test lediglich erkennt, ob ein Ergebnis im statistischen Sinn bedeutend ist. Statistische Signifikanz ist also nicht ohne weiteres gleichzusetzen damit, dass ein Ergebnis auch unter substanzwissenschaftlichem Gesichtspunkt bedeutend ist.
Es gilt (zusammenfassend):
[mm] $P(\mbox{Fehler 1. Art}) [/mm] = [mm] P(H_0\ \mbox{ablehnen} [/mm] \ [mm] \vert [/mm] \ [mm] H_0 [/mm] \ [mm] \mbox{wahr})$,
[/mm]
[mm] $P(\mbox{Fehler 2. Art}) [/mm] = [mm] P(H_0\ \mbox{beibehalten} [/mm] \ [mm] \vert [/mm] \ [mm] H_1 [/mm] \ [mm] \mbox{wahr}) [/mm] = 1 - [mm] P(H_0 [/mm] \ [mm] \mbox{ablehnen} [/mm] \ [mm] \vert [/mm] \ [mm] H_1 [/mm] \ [mm] \mbox{wahr})$.
[/mm]
Ich denke, man sieht hier sehr deutlich, dass sich [mm] $P(\mbox{Fehler 1. Art})$ [/mm] und [mm] $P(\mbox{Fehler 2. Art})$ [/mm] nicht zu $1$ aufaddieren. Denn dann müsste ja
[mm] $P(H_0\ \mbox{ablehnen} [/mm] \ [mm] \vert [/mm] \ [mm] H_0 [/mm] \ [mm] \mbox{wahr}) [/mm] = [mm] P(H_0 [/mm] \ [mm] \mbox{ablehnen} [/mm] \ [mm] \vert [/mm] \ [mm] H_1 [/mm] \ [mm] \mbox{wahr})$
[/mm]
gelten, was im Allgemeinen natürlich nicht der Fall ist. (Warum sollte es auch?)
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Yvi |
Danke für die ausführliche Antwort. Auch wenn für mich schon viele komische Buchstaben drin sind. Ich habe es nachvollziehen können.
Jetzt habe ich aber trotzdem noch Fragen.
1. Somit kann ich einen Fehler 1.Art versuchen zu vermeiden? Richtig?
2. So wirklich komplementär verhalten sich der Fehler 1. und 2.Art aber nicht zueinander. Sie addieren sich zwar nicht immer zu 1. Aber wenn ich die Stichprobenröße vergrößere, so verringert sich mein Fehler 1.Art und dann der 2.Art doch auch, oder?
*g*
Yvi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Sa 17.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Yvi!
Klar ist: Wenn sich die Stichprobenzahl erhöht, dann erniedrigt sich der Standardfehler (also die Standardabweichung des arithmetischen Mittels der Stichprobe), das Konfidenzintervall wird somit schmaler und daher die Wahrscheinlichkeit, zu Unrecht (also bei tatsächlichem Eintreten der Alternativhypothese [mm] $H_1$) [/mm] die Nullhypothese beizubehalten, geringer. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art (also für einen "Fehler der verpassten Gelegenheit ein Merkmal zu erkennen") wird also kleiner.
Der Fehler 1. Art wird durch das Signifikanzniveau [mm] $\alpha$ [/mm] kontrolliert. Entsprechend der Stichprobengröße ändert sich entsprechend [mm] $\alpha$ [/mm] das Konfidenzintervall. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art, also zu Unrecht (d.h. bei tatsächlichem Eintreten der Nullhypothese [mm] $H_0$) [/mm] an die Alternativhypothese [mm] $H_1$ [/mm] zu glauben (also außerhalb des Konfidenzintervalls zu landen und damit [mm] $H_0$ [/mm] abzulehnen), ändert sich also nicht.
(Sie kann sich schon ändern, da man das Konfidenzintervall auf Grund eventuell vorliegender diskreter Werte ja nicht immer genau so "einstellen" kann, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art genau gleich [mm] $\alpha$ [/mm] ist (sondern im Allgemeinen etwas kleiner). Aber man kann im Allgemeinen nicht sagen, ob die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art bei steigender Stichprobengröße (geringfügig!) steigt oder fällt.)
Liebe Grüße
Stefan
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