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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Bastiane |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Simpson-Regel für alle Polynome vom Grad 3 exakt ist, d.h. für alle kubischen Polynome P gilt:
[mm] \integral_a^bP(x)dx=\bruch{b-a}{6}P(a)+\bruch{2(b-a)}{3}P\left(\bruch{a+b}{2}\right)+\bruch{b-a}{6}P(b). [/mm] |
Hallo zusammen!
Die Aufgabe scheint ja eigentlich gar nicht schwierig, jedenfalls habe ich mir gedacht, dass man das doch einfach folgendermaßen machen könnte.
Ein Polynom vom Grad 3 sieht so aus:
[mm] P(x)=cx^3+dx^2+ex+f
[/mm]
Für dieses Polynom lässt sich das Integral recht einfach berechnen:
[mm] \integral_a^bP(x)dx=\bruch{c}{4}(b-a)^4+\bruch{d}{3}(b-a)^3+\bruch{e}{2}(b-a)^2+f(b-a)
[/mm]
Dann habe ich noch P(a) und so berechnet:
[mm] P(a)=ca^3+da^2+ea+f
[/mm]
[mm] P\left(\bruch{a+b}{2}\right)=\bruch{c}{8}(a+b)^3+\bruch{d}{4}(a+b)^2+e(a+b)+f
[/mm]
[mm] P(b)=cb^3+db^2+eb+f
[/mm]
Und das habe ich dann alles in die rechte Seite eingesetzt und versucht, es so umzuformen, dass da
[mm] \bruch{c}{4}(b-a)^4+\bruch{d}{3}(b-a)^3+\bruch{e}{2}(b-a)^2+f(b-a)
[/mm]
rauskommt.
Aber das gibt bei mir nur ein Zahlenchaos.
Gibt es vielleicht einen anderen Ansatz oder hat jemand eine Idee, wie ich das vernünftig umformen kann ohne einen Knoten zu bekommen?
Dann habe ich gerade noch überlegt, ob es vielleicht einfach reicht, zu sagen:
Der Fehler der Simpsonregel ist [mm] h^5\bruch{1}{90}f^{(4)}(\xi). [/mm] Nun gilt für Polynome vom Grad 3: [mm] f^{(4)}=0 [/mm] für alle x, somit ist der Fehler =0. Das fände ich allerdings ein bisschen zu einfach. Oder was meint ihr?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Sa 20.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Bastiane.
Bei dem Beweis des Fehlers hat man alles nötige schon getan, also ist dein letztes Argument der Beweis!
Wenn dus anders machen willst, reicht eigentlich es nicht für ein allgemeines Polynom sonder nur für [mm] x^{3} [/mm] zu zeigen. der Rest folgt dann direkt aus der Additivität des Integrals und der Simpsonregel.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo leduart!
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich verstehe noch nicht so ganz, warum es reicht, es nur für [mm] x^3 [/mm] zu zeigen. Setze ich dann voraus, dass es für ein Polynom zweiten Grades gilt und wende dafür die Simpsonregel an oder wie? Aber selbst dann weiß ich nicht so ganz, wie der Rest dann direkt folgt. Und auch für [mm] x^3 [/mm] bekomme ich es irgendwie nicht hin. Vielleicht findest du bei mir schon einen Fehler?
[mm] P(x)=x^3
[/mm]
[mm] P(a)=a^3
[/mm]
[mm] P(b)=b^3
[/mm]
[mm] P(\bruch{a+b}{2})=(\bruch{(a+b)}{2})^3
[/mm]
[mm] \integral_a^bP(x)dx=\bruch{1}{4}(b-a)^4=\bruch{1}{4}b^4-ab^3+\bruch{3}{2}a^2b^2-a^3b+\bruch{1}{4}a^4 \; [/mm] (*)
die rechte Seite meiner Aufgabenstellung sieht dann so aus:
[mm] \bruch{(b-a)}{6}a^4+\bruch{2(b-a)}{3}*\bruch{(a+b)^4}{16}+\bruch{b-a}{6}b^4=\bruch{1}{6}a^4b-\bruch{1}{6}a^5-\bruch{1}{8}a^4b-\bruch{1}{24}a^5-\bruch{1}{12}a^3b^2+\bruch{1}{12}a^2b^3+\bruch{1}{8}ab^4+\bruch{1}{24}b^5 \; [/mm] (**)
Wenn ich mir die beiden jetzt angucke, dann kommt in (*) kein [mm] a^5 [/mm] und [mm] b^5 [/mm] vor, in (**) aber schon, und es fällt auch nicht weg. Was habe ich hier falsch gemacht?
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Sa 20.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Bastiane!
> Ich verstehe noch nicht so ganz, warum es reicht, es nur
> für [mm]x^3[/mm] zu zeigen. Setze ich dann voraus, dass es für ein
Du musst es eigentlich auch fuer [mm] $x^2$, [/mm] $x$ und $1$ zeigen. Fuer die gilt es aber schon nach Konstruktion der Simpson-Regel, da sie ja so konstruiert ist das man die Funktion durch eine Parabel approximiert.
> Polynom zweiten Grades gilt und wende dafür die
> Simpsonregel an oder wie? Aber selbst dann weiß ich nicht
> so ganz, wie der Rest dann direkt folgt. Und auch für [mm]x^3[/mm]
> bekomme ich es irgendwie nicht hin. Vielleicht findest du
> bei mir schon einen Fehler?
>
> [mm]P(x)=x^3[/mm]
> [mm]P(a)=a^3[/mm]
> [mm]P(b)=b^3[/mm]
> [mm]P(\bruch{a+b}{2})=(\bruch{(a+b)}{2})^3[/mm]
>
> [mm]\integral_a^bP(x)dx=\bruch{1}{4}(b-a)^4=\bruch{1}{4}b^4-ab^3+\bruch{3}{2}a^2b^2-a^3b+\bruch{1}{4}a^4 \;[/mm]
> (*)
Was genau machst du da? Eine Stammfunktion von [mm] $x^3$ [/mm] ist [mm] $\frac{1}{4} x^4$, [/mm] womit [mm] $\int_a^b x^3 \; [/mm] dx = [mm] \frac{1}{4} (b^4 [/mm] - [mm] a^4)$ [/mm] ist.
> die rechte Seite meiner Aufgabenstellung sieht dann so
> aus:
>
> [mm]\bruch{(b-a)}{6}a^4+\bruch{2(b-a)}{3}*\bruch{(a+b)^4}{16}+\bruch{b-a}{6}b^4=\bruch{1}{6}a^4b-\bruch{1}{6}a^5-\bruch{1}{8}a^4b-\bruch{1}{24}a^5-\bruch{1}{12}a^3b^2+\bruch{1}{12}a^2b^3+\bruch{1}{8}ab^4+\bruch{1}{24}b^5 \;[/mm]
> (**)
Wieso nimmst du hier eigentlich die Funktion [mm] $x^4$ [/mm] anstatt [mm] $x^3$?!
[/mm]
Rechne doch mal so: [mm] $\frac{b - a}{6} a^3 [/mm] + [mm] \frac{2}{3} [/mm] (b - a) [mm] \left(\frac{a + b}{2}\right)^3 [/mm] + [mm] \frac{b - a}{6} b^3 [/mm] = [mm] \frac{b - a}{6} \left( a^3 + \frac{4}{2^3} (a + b)^3 + b^3 \right)$ [/mm] (*).
Nun ist [mm] $a^3 [/mm] + [mm] b^3 [/mm] = (a + b) [mm] (a^2 [/mm] - a b + [mm] b^2)$. [/mm] Damit bekommst du (*) $= [mm] \frac{(b - a) (b + a)}{6} \left( a^2 - a b + b^2 + \frac{1}{2} (a + b)^2 \right) [/mm] = [mm] \frac{b^2 - a^2}{6} \cdot \frac{3}{2} \left( a^2 + b^2 \right) [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \left( b^4 - a^4 \right)$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Felix!
> > Ich verstehe noch nicht so ganz, warum es reicht, es nur
> > für [mm]x^3[/mm] zu zeigen. Setze ich dann voraus, dass es für ein
>
> Du musst es eigentlich auch fuer [mm]x^2[/mm], [mm]x[/mm] und [mm]1[/mm] zeigen. Fuer
> die gilt es aber schon nach Konstruktion der Simpson-Regel,
> da sie ja so konstruiert ist das man die Funktion durch
> eine Parabel approximiert.
Ok - das mit der Parabel habe ich mittlerweile auch gelesen, aber ich glaube, das hatten wir gar nicht so hergeleitet. Wir haben es quasi mit Lagrange-Interpolation hergeleitet, soweit ich das verstanden habe. Oder ist das das Gleiche?
Aber selbst, wenn es für [mm] x^3, x^2,x [/mm] und 1 gilt, wieso gilt es dann auch für ein Polynom, wo doch noch Koeffizienten dazu kommen?
> > Polynom zweiten Grades gilt und wende dafür die
> > Simpsonregel an oder wie? Aber selbst dann weiß ich nicht
> > so ganz, wie der Rest dann direkt folgt. Und auch für [mm]x^3[/mm]
> > bekomme ich es irgendwie nicht hin. Vielleicht findest du
> > bei mir schon einen Fehler?
> >
> > [mm]P(x)=x^3[/mm]
> > [mm]P(a)=a^3[/mm]
> > [mm]P(b)=b^3[/mm]
> > [mm]P(\bruch{a+b}{2})=(\bruch{(a+b)}{2})^3[/mm]
> >
> >
> [mm]\integral_a^bP(x)dx=\bruch{1}{4}(b-a)^4=\bruch{1}{4}b^4-ab^3+\bruch{3}{2}a^2b^2-a^3b+\bruch{1}{4}a^4 \;[/mm]
> > (*)
>
> Was genau machst du da? Eine Stammfunktion von [mm]x^3[/mm] ist
> [mm]\frac{1}{4} x^4[/mm], womit [mm]\int_a^b x^3 \; dx = \frac{1}{4} (b^4 - a^4)[/mm]
> ist.
Uups. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") Da wollte ich mir mal etwas Schreibarbeit sparen und mache direkt einen dicken Fehler...
> > die rechte Seite meiner Aufgabenstellung sieht dann so
> > aus:
> >
> >
> [mm]\bruch{(b-a)}{6}a^4+\bruch{2(b-a)}{3}*\bruch{(a+b)^4}{16}+\bruch{b-a}{6}b^4=\bruch{1}{6}a^4b-\bruch{1}{6}a^5-\bruch{1}{8}a^4b-\bruch{1}{24}a^5-\bruch{1}{12}a^3b^2+\bruch{1}{12}a^2b^3+\bruch{1}{8}ab^4+\bruch{1}{24}b^5 \;[/mm]
> > (**)
>
> Wieso nimmst du hier eigentlich die Funktion [mm]x^4[/mm] anstatt
> [mm]x^3[/mm]?!
Gute Frage. War wohl wieder mal zu viel Mathe heute... ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]")
> Rechne doch mal so: [mm]\frac{b - a}{6} a^3 + \frac{2}{3} (b - a) \left(\frac{a + b}{2}\right)^3 + \frac{b - a}{6} b^3 = \frac{b - a}{6} \left( a^3 + \frac{4}{2^3} (a + b)^3 + b^3 \right)[/mm]
> (*).
>
> Nun ist [mm]a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - a b + b^2)[/mm]. Damit
> bekommst du (*) [mm]= \frac{(b - a) (b + a)}{6} \left( a^2 - a b + b^2 + \frac{1}{2} (a + b)^2 \right) = \frac{b^2 - a^2}{6} \cdot \frac{3}{2} \left( a^2 + b^2 \right) = \frac{1}{4} \left( b^4 - a^4 \right)[/mm].
Vielen Dank. Ich glaub', den Fehler hätte ich alleine irgendwie nicht gefunden, obwohl es ja ziemlich offensichtlich ist...
Viele Grüße
Bastiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Sa 20.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Bastiane!
> > > Ich verstehe noch nicht so ganz, warum es reicht, es nur
> > > für [mm]x^3[/mm] zu zeigen. Setze ich dann voraus, dass es für ein
> >
> > Du musst es eigentlich auch fuer [mm]x^2[/mm], [mm]x[/mm] und [mm]1[/mm] zeigen. Fuer
> > die gilt es aber schon nach Konstruktion der Simpson-Regel,
> > da sie ja so konstruiert ist das man die Funktion durch
> > eine Parabel approximiert.
>
> Ok - das mit der Parabel habe ich mittlerweile auch
> gelesen, aber ich glaube, das hatten wir gar nicht so
> hergeleitet. Wir haben es quasi mit Lagrange-Interpolation
> hergeleitet, soweit ich das verstanden habe. Oder ist das
> das Gleiche?
Ihr habt ein Lagrange-Polynom fuer die drei Stuetzstellen $a$, [mm] $\frac{a+b}{2}$ [/mm] und $b$ genommen? Dann ist das Lagrange-Polynom im Fall, dass $P$ ein Polynom vom Grad [mm] $\le [/mm] 2$ ist, gerade $P$ selber und somit ist das ganze exakt!
> Aber selbst, wenn es für [mm]x^3, x^2,x[/mm] und 1 gilt, wieso gilt
> es dann auch für ein Polynom, wo doch noch Koeffizienten
> dazu kommen?
Wie leduart schon sagte, sowohl das Integral als auch die Simpson-Regel sind [mm] $\IR$-linear! [/mm] Du kannst Konstanten herausziehen und Summen aufteilen.
LG Felix
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