Simpsonsche Regel < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred937 |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{sin^{5}(x)*cos^{3}(x) dx}
[/mm]
Nach Simpson mit n=6 lösen. |
Hallo erstmal an alle Interessierten,
meine Frage bezieht sich darauf, ob ich falsch gerechnet habe oder das Simpson-Verfahren wirklich so ungenau sein kann (kann ich mir nicht vorstellen).
ich habe für [mm] h=\bruch{b-a}{n}=\bruch{\bruch{\pi}{2}-0}{6}=\bruch{\pi}{12}
[/mm]
Dann die Tabelle von k=0 bis k=6 und
[mm] S_{0}:x=0, \Rightarrow [/mm] 0
[mm] S_{u}:x=\bruch{\pi}{12}, \Rightarrow 2,146381418*10^{-5}
[/mm]
[mm] S_{g}:x=\bruch{\pi}{6}, \Rightarrow 6,867774718*10^{-4}
[/mm]
[mm] S_{u}:x=\bruch{\pi}{4}, \Rightarrow [/mm] etc. (wenn die beiden richtig sind, wirds der Rest auch sein, wenn nicht haben wir den Fehler schon)
[mm] S_{g}:x=\bruch{\pi}{3},
[/mm]
[mm] S_{u}:x=\bruch{5*\pi}{12},
[/mm]
[mm] S_{0}:x=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
und dann die Endformel: [mm] I=\bruch{h}{3}*(S_{0}+4*S_{u}+2*S_{g}) [/mm] (Hier meine ich mit [mm] S_{u} [/mm] die Summe aller [mm] S_{u}, [/mm] gleiches für [mm] S_{g})
[/mm]
[mm] I=\bruch{\pi}{36}*(S_{0}+4*S_{u}+2*S_{g})=0,020263044
[/mm]
Allerdings ergibt die direkte Lösung des Integrals: 0,0416666
Hat jemand den Fehler gefunden?
Danke fürs Interesse
|
|
| |
|
Hallo fred937,
> [mm]f(x)=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{sin^{5}(x)*cos^{3}(x) dx}[/mm]
>
> Nach Simpson mit n=6 lösen.
> Hallo erstmal an alle Interessierten,
>
> meine Frage bezieht sich darauf, ob ich falsch gerechnet
> habe oder das Simpson-Verfahren wirklich so ungenau sein
> kann (kann ich mir nicht vorstellen).
>
> ich habe für
> [mm]h=\bruch{b-a}{n}=\bruch{\bruch{\pi}{2}-0}{6}=\bruch{\pi}{12}[/mm]
>
> Dann die Tabelle von k=0 bis k=6 und
> [mm]S_{0}:x=0, \Rightarrow[/mm] 0
> [mm]S_{u}:x=\bruch{\pi}{12}, \Rightarrow 2,146381418*10^{-5}[/mm]
>
> [mm]S_{g}:x=\bruch{\pi}{6}, \Rightarrow 6,867774718*10^{-4}[/mm]
>
> [mm]S_{u}:x=\bruch{\pi}{4}, \Rightarrow[/mm] etc. (wenn die beiden
> richtig sind, wirds der Rest auch sein, wenn nicht haben
> wir den Fehler schon)
> [mm]S_{g}:x=\bruch{\pi}{3},[/mm]
> [mm]S_{u}:x=\bruch{5*\pi}{12},[/mm]
> [mm]S_{0}:x=\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> und dann die Endformel:
> [mm]I=\bruch{h}{3}*(S_{0}+4*S_{u}+2*S_{g})[/mm] (Hier meine ich mit
> [mm]S_{u}[/mm] die Summe aller [mm]S_{u},[/mm] gleiches für [mm]S_{g})[/mm]
> [mm]I=\bruch{\pi}{36}*(S_{0}+4*S_{u}+2*S_{g})=0,020263044[/mm]
> Allerdings ergibt die direkte Lösung des Integrals:
> 0,0416666
>
> Hat jemand den Fehler gefunden?
Für n=6 hast Du die Stützstellen
[mm]0,\bruch{\pi}{12}, \bruch{2*\pi}{12},\bruch{3*\pi}{12},\bruch{4*\pi}{12},\bruch{5*\pi}{12},\bruch{6*\pi}{12}[/mm]
berücksichtigt.
Nicht jedoch deren Mittelpunkte:
[mm]\bruch{\pi}{24}, \bruch{3*\pi}{24},\bruch{5*\pi}{24},\bruch{7*\pi}{24},\bruch{9*\pi}{24},\bruch{11*\pi}{24}[/mm]
>
> Danke fürs Interesse
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Danke,
aber ist die Methode mit den halben Werten nicht optional und nur um die Genauigkeit noch etwas zu erhöhen?
Wenn nicht, ist dann bei mir das [mm] S_{u} [/mm] und [mm] S_{g} [/mm] eigentlich beides [mm] S_{g} [/mm] und die halben Werte übernehmen [mm] S_{u}? [/mm] Muss ich dann für h [mm] \bruch{\pi}{24} [/mm] einsetzen?
...jedenfalls egal wie ich es mache, mit [mm] \bruch{\pi}{24} [/mm] komme ich auf 0,007
[mm] (\bruch{h}{3}*0,1777920119=\bruch{\pi}{72}*0,1777920119)
[/mm]
mit [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] auf 0,0155.
Beides nicht annähernd 0,04167
Meine Tabelle hab ich ja versucht durch die [mm] S_{0}, S_{u} [/mm] und [mm] S_{g} [/mm] in der ersten Frage darzustellen.
Ich habe eben ausversehen nicht [mm] \bruch{h}{3} [/mm] sondern einfach h mal [mm] (S_{0}+4\cdot{}S_{u}+2\cdot{}S_{g}) [/mm] eingegeben. Da kam 0,046 raus, damit würde ich mich ja zufrieden geben, wenn es richtig gerechnet wäre.
Danke für die Hilfe.
|
|
|
| |
|
Hallo fred937,
> Danke,
>
> aber ist die Methode mit den halben Werten nicht optional
> und nur um die Genauigkeit noch etwas zu erhöhen?
Nein.
Die Grundidee der Simpson-Regel ist doch,
daß die Funktion zwischen 2 Stützstellen (a, f(a) ), (b, f(b) )
durch eine Parabel ersetzt wird.
Dazu benötigt man 3 Punkte.
Daher wählt man als 3. Punkt [mm]( \ \bruch{a+b}{2}, \ f\left(\bruch{a+b}{2}\right) \ )[/mm]
Für das erste Intervall [mm]\left[0,\bruch{\pi}{12}\right][/mm] ergibt sich gemäß Simpson-Regel:
[mm]\bruch{\bruch{\pi}{12}-0}{6}*\left(f\left(0\right)+4*f\left(\bruch{\bruch{\pi}{12}+0}{2}\right)+f\left(\bruch{\pi}{12}\right)\right)[/mm]
> Wenn nicht, ist dann bei mir das [mm]S_{u}[/mm] und [mm]S_{g}[/mm] eigentlich
> beides [mm]S_{g}[/mm] und die halben Werte übernehmen [mm]S_{u}?[/mm] Muss
> ich dann für h [mm]\bruch{\pi}{24}[/mm] einsetzen?
> ...jedenfalls egal wie ich es mache, mit [mm]\bruch{\pi}{24}[/mm]
> komme ich auf 0,007
> [mm](\bruch{h}{3}*0,1777920119=\bruch{\pi}{72}*0,1777920119)[/mm]
> mit [mm]\bruch{\pi}{12}[/mm] auf 0,0155.
>
> Beides nicht annähernd 0,04167
>
> Meine Tabelle hab ich ja versucht durch die [mm]S_{0}, S_{u}[/mm]
> und [mm]S_{g}[/mm] in der ersten Frage darzustellen.
>
> Ich habe eben ausversehen nicht [mm]\bruch{h}{3}[/mm] sondern
> einfach h mal [mm](S_{0}+4\cdot{}S_{u}+2\cdot{}S_{g})[/mm]
> eingegeben. Da kam 0,046 raus, damit würde ich mich ja
> zufrieden geben, wenn es richtig gerechnet wäre.
>
> Danke für die Hilfe.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred937 |
hm das hilft mir irgendwie nicht weiter, verstehe ich nicht.
Ich schreibe doch eine Tabelle mit der ersten Spalte für [mm] S_{0} [/mm] der zweiten [mm] S_{u} [/mm] und der dritten [mm] S_{g}.
[/mm]
Der erste und der letzte Wert kommen in die erste Spalte (hier 0 und [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] und dann wechseln sich die anderen beiden Spalten ab, angefangen mit der zweiten. Jeweils wird der Wert der Funktion mit x= dem nächsten Schritt von h eingesetzt.
Am Ende addiere ich die Werte jeder Spalte und setzte in die Formel [mm] I=\bruch{h}{3}\cdot{}(S_{0}+4\cdot{}S_{u}+2\cdot{}S_{g}) [/mm] ein.
Wenn ich jetzt noch die halben Werte jeweils dazu nehmen soll... aber das hab ich ja eben schon gefragt. Wie gesagt ich verstehe die Antwort von eben nicht, was würde das denn für meine Tabelle bedeuten?
Entschuldige, dass ich da nicht mitkomme, aber wegen der Verständnisprobleme bin ich ja hier. Danke für die Antworten.
|
|
|
| |
|
Hallo fred937,
> hm das hilft mir irgendwie nicht weiter, verstehe ich
> nicht.
>
> Ich schreibe doch eine Tabelle mit der ersten Spalte für
> [mm]S_{0}[/mm] der zweiten [mm]S_{u}[/mm] und der dritten [mm]S_{g}.[/mm]
> Der erste und der letzte Wert kommen in die erste Spalte
> (hier 0 und [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm] und dann wechseln sich die
> anderen beiden Spalten ab, angefangen mit der zweiten.
> Jeweils wird der Wert der Funktion mit x= dem nächsten
> Schritt von h eingesetzt.
> Am Ende addiere ich die Werte jeder Spalte und setzte in
> die Formel
> [mm]I=\bruch{h}{3}\cdot{}(S_{0}+4\cdot{}S_{u}+2\cdot{}S_{g})[/mm]
> ein.
>
> Wenn ich jetzt noch die halben Werte jeweils dazu nehmen
> soll... aber das hab ich ja eben schon gefragt. Wie gesagt
> ich verstehe die Antwort von eben nicht, was würde das
> denn für meine Tabelle bedeuten?
>
> Entschuldige, dass ich da nicht mitkomme, aber wegen der
> Verständnisprobleme bin ich ja hier. Danke für die
> Antworten.
Vielleicht trägt dies zum besseren Verständis bei: ![[]](/images/popup.gif) Simpson-Regel
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Ok,
meine Tabelle sollte dann so aussehen, dass die zweite Spalte [mm] f(\bruch{\pi}{24}) [/mm] enthält und die dritte [mm] f(\bruch{\pi}{12}) [/mm] oder nicht?
Allerdings komme ich dann mit meiner Formel auf 0,007 also muss ich entweder alles falsch in den Taschenrechner eingeben oder meine Formel stimmt nicht.
Weil es nicht anders geht gebe ich [mm] sin^{5}(x) [/mm] statt [mm] (sin(x))^{5} [/mm] ein, aber ist das nicht das gleiche? und [mm] \bruch{h}{3} [/mm] sind hier doch [mm] \bruch{\pi}{72}?
[/mm]
Danke für die Geduld
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Hat sich durch die Mitteilung unten erledigt.
|
|
|
| |
|
> Hallo fred937,
>
> > [mm]f(x)=\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{sin^{5}(x)*cos^{3}(x) dx}[/mm]
>
> >
> > Nach Simpson mit n=6 lösen.
> > Hallo erstmal an alle Interessierten,
> >
> > meine Frage bezieht sich darauf, ob ich falsch gerechnet
> > habe oder das Simpson-Verfahren wirklich so ungenau sein
> > kann (kann ich mir nicht vorstellen).
> >
> > ich habe für
> >
> [mm]h=\bruch{b-a}{n}=\bruch{\bruch{\pi}{2}-0}{6}=\bruch{\pi}{12}[/mm]
> >
> > Dann die Tabelle von k=0 bis k=6 und
> > [mm]S_{0}:x=0, \Rightarrow[/mm] 0
> > [mm]S_{u}:x=\bruch{\pi}{12}, \Rightarrow 2,146381418*10^{-5}[/mm]
> >
> > [mm]S_{g}:x=\bruch{\pi}{6}, \Rightarrow 6,867774718*10^{-4}[/mm]
> >
> > [mm]S_{u}:x=\bruch{\pi}{4}, \Rightarrow[/mm] etc. (wenn die beiden
> > richtig sind, wirds der Rest auch sein, wenn nicht haben
> > wir den Fehler schon)
> > [mm]S_{g}:x=\bruch{\pi}{3},[/mm]
> > [mm]S_{u}:x=\bruch{5*\pi}{12},[/mm]
> > [mm]S_{0}:x=\bruch{\pi}{2}[/mm]
> >
> > und dann die Endformel:
> > [mm]I=\bruch{h}{3}*(S_{0}+4*S_{u}+2*S_{g})[/mm] (Hier meine ich mit
> > [mm]S_{u}[/mm] die Summe aller [mm]S_{u},[/mm] gleiches für [mm]S_{g})[/mm]
> > [mm]I=\bruch{\pi}{36}*(S_{0}+4*S_{u}+2*S_{g})=0,020263044[/mm]
> > Allerdings ergibt die direkte Lösung des Integrals:
> > 0,0416666
> >
> > Hat jemand den Fehler gefunden?
Ich vermute, dass du die Rollen der [mm] S_u [/mm] und [mm] S_g [/mm] missverstanden hast.
>
> Für n=6 hast Du die Stützstellen
>
> [mm]0,\bruch{\pi}{12}, \bruch{2*\pi}{12},\bruch{3*\pi}{12},\bruch{4*\pi}{12},\bruch{5*\pi}{12},\bruch{6*\pi}{12}[/mm]
>
> berücksichtigt.
>
> Nicht jedoch deren Mittelpunkte:
>
> [mm]\bruch{\pi}{24}, \bruch{3*\pi}{24},\bruch{5*\pi}{24},\bruch{7*\pi}{24},\bruch{9*\pi}{24},\bruch{11*\pi}{24}[/mm]
>
> Gruss
> MathePower
Hallo,
ich vermute sehr, dass das Integrationsintervall wirklich
nur in 6 Teilintervalle unterteilt und somit nur 7 Stütz-
stellen berücksichtigt werden sollen.
Siehe Alternative Formulierung
So kommt man auf die Formel:
$\ [mm] Q(f)=\frac{h}{3}\left( f(x_0)+4\cdot f(x_1)+2\cdot f(x_2)+4\cdot f(x_3)+2\cdot f(x_4)+4\cdot f(x_{5})+f(x_6)\right)$
[/mm]
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Danke für die Hilfe,
ja genauso dachte ich das auch. Allerdings habe ich jetzt nochmal alles durchgerechnet und komme auf [mm] 4,42*10^{-9}, [/mm] das sind mir etwas zu viele Nullen nach dem Komma.
Eigentlich muss mein Fehler doch in der Berechnung der Werte stecken, aber wo?
Ich rechne als erstes [mm] (sin(0))^{5}*(cos(0)^{3}=0
[/mm]
der zweite für [mm] \bruch{\pi}{12}: (sin(\bruch{\pi}{12}))^{5}*(cos(\bruch{\pi}{12})^{3}=1,99163071*10^{-12}
[/mm]
Das ist doch schon viel zu niedrig...
Danke fürs Interesse.
|
|
|
| |
|
Hallo fred937,
> Danke für die Hilfe,
>
> ja genauso dachte ich das auch. Allerdings habe ich jetzt
> nochmal alles durchgerechnet und komme auf [mm]4,42*10^{-9},[/mm]
> das sind mir etwas zu viele Nullen nach dem Komma.
>
> Eigentlich muss mein Fehler doch in der Berechnung der
> Werte stecken, aber wo?
Vielleicht musst Du Deinen TR auf den Modus "RAD" umstellen.
> Ich rechne als erstes [mm](sin(0))^{5}*(cos(0)^{3}=0[/mm]
> der zweite für [mm]\bruch{\pi}{12}: (sin(\bruch{\pi}{12}))^{5}*(cos(\bruch{\pi}{12})^{3}=1,99163071*10^{-12}[/mm]
>
> Das ist doch schon viel zu niedrig...
In der Tat, das ist viel zu niedrig.
>
> Danke fürs Interesse.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Di 15.03.2011 | | Autor: | fred937 |
Vielen Dank, da lag der Fehler! Ich habe mit DEC gerechnet, statt auf RAD umzustellen. Jetzt komme ich auf ein annehmbares Ergebnis.
|
|
|
|
