Simultan diagonalisierbar < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:38 Di 29.01.2008 | | Autor: | fkerber |
| Aufgabe | Matrizen A, B∈ K ^{n x n} über einem Körper K heißen simultan diagonalisierbar, wenn
es eine invertierbare Matrix S gibt, so daß [mm] SAS^{-1} [/mm] und SBS{-1} Diagonalgestalt haben.
Zeigen Sie: A und B sind simultan diagonalisierbar genau dann, wenn A und B
diagonalisierbar sind und AB = BA.
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Hi!
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll?
Ich hab schon im Internet rumgesucht, um Tipps zu finden, aber nichts hat mir wirklich weiter geholfen.
Der Haupttipp war, irgendwie zu zeigen, dass die Matrizen gleiche Eigenvektoren haben, aber 1. weiß ich nicht, wie mir das weiterhelfen kann und zweitens nicht, wie ich es zeigen soll....
Ciao, fkerber
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 03.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:05 Mo 04.02.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo fkerber
> Matrizen A, B∈ K ^{n x n} über einem Körper K heißen
> simultan diagonalisierbar, wenn
> es eine invertierbare Matrix S gibt, so daß [mm]SAS^{-1}[/mm] und
> SBS{-1} Diagonalgestalt haben.
> Zeigen Sie: A und B sind simultan diagonalisierbar genau
> dann, wenn A und B
> diagonalisierbar sind und AB = BA.
Wennn $A$ und $B$ simultan diag'bar sind, dann gilt natuerlich, dass $A$ und $B$ diag'bar sind. Und wenn du jetzt simulatan diag'bar zusammen mit der Aussage, dass zwei Diagonalmatrizen kommutieren, benutzt, dann bekommst du auch schnell $A B = B A$.
> Der Haupttipp war, irgendwie zu zeigen, dass die Matrizen
> gleiche Eigenvektoren haben, aber 1. weiß ich nicht, wie
> mir das weiterhelfen kann und zweitens nicht, wie ich es
> zeigen soll....
Du kannst wie folgt vorgehen:
- Zeige, dass $A$ einen Vektor von $Eig(B, [mm] \lambda)$ [/mm] auf einen Vektor in $Eig(B, [mm] \lambda)$ [/mm] abbildet.
- Daraus folgt, dass $A$ einen Endomorphismus auf $Eig(B, [mm] \lambda)$ [/mm] induziert.
- Zeige, dass Einschraenkungen von diagonalisierbaren Endomorphismen wieder diagonalisierbar sind.
- Also gibt es eine Basis von Eigenvektoren von $A$ eingeschraenkt auf $Eig(B, [mm] \lambda)$, [/mm] und diese Eigenvektoren sind somit auch Eigenvektoren von $B$!
Damit kannst du eine Basis finden, deren Elemente sowohl Eigenvektoren von $A$ als auch von $B$ sind! Bzgl. dieser Matrix sind also sowohl $A$ als auch $B$ diagonalisiert!
Wie das mit der Einschraenkung und mit Diagonalisierbarkeit geht? Das haengt ein bisschen davon ab was ihr schon hattet... Wenn ihr schon die Hauptraumzerlegung bzw. Zerlegung in verallgemeinerte Eigenraeume hattet, dann weisst du, dass das Hinderniss zur Diagonalisierung ist, dass der Eigenraum nicht gleich dem Hauptraum ist. Wenn es nun einen Vektor $v$ im Hauptraum zu [mm] $\lambda$ [/mm] von der Einschraenkung von $A$ gibt, der nicht im Eigenraum liegt (also nicht $A v = [mm] \lamba [/mm] v$ erfuellt), dann ist dies ebenfalls ein Elemente aus dem Hauptraum von $A$ zum Eigenwert [mm] $\lambda$, [/mm] der nicht im Eigenraum liegt, womit $A$ auch nicht diagonalisierbar waere.
Man kann das ganze auch elementarer loesen, aber ich hab da grad keine Lust drauf solange ich nicht weiss was du schon weisst :)
LG Felix
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