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| Aufgabe | | Sind Diedergruppen auflösbar? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wieder eine Multiple Choice Aufgabe. Die Antwort lautet "Ja".
Die Diedergruppe muss also eine abelsche Normalreihe besitzen. Diedergruppen sind nicht abelsch, daher fällt die triviale Normalreihe weg. Die Diedergruppen sind semidirektes Produkt von S (Spiegelung + Id) und D (Drehung um den Winkel [mm]\frac{2\pi}{n}[/mm], [mm]n\in\IN[/mm]. Auflösbare Gruppen sind abgeschlossen bzgl. Gruppenerweiterung. Ein semidirektes Produkt gibt aber gerade Anlass zu einer Gruppenerweiterung. Daher sind Diedergruppen auflösbar.
Stimmt das so? Und wenn nicht, wie könnte man es sonst machen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 So 02.07.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo Jochen,
leider verstehe ich deinen Ansatz nicht. Habe aber einen anderen Vorschlag: Sei [mm] $D_{2n}$ [/mm] eine Diedergruppe. Die von den Spiegelungen erzeugte Untergruppe hat Index $2$ (ist also normal) und ist zyklisch von Ordnung $n$ (also auflösbar), ihr Quotient ist isomorph zu [mm] $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, [/mm] also auch abelsch. So erhälst du eine Auflösungskette.
Viele Grüße,
Jan
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Wie kann man vom Index auf die Normalität schließen?!?
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@ [mm] Jan_Z: [/mm] Erstmal Danke für Deine zahlreichen Hilfen.
Ich meine mit der Gruppenerweiterung eine kurze exakte Folge
[mm] $1\longrightarrow N\longrightarrow G\longrightarrow H\longrightarrow [/mm] 1$
wobei N normal in G ist und H eine Untergruppe ist, spaltet diese, so ist G isomorph zum semidirekten Produkt aus N und H. Und da die Diedergruppe gerade so ein semidirektes Produkt ist, dachte ich, man könnte das in diesem Fall verwenden.
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Wieso sind die Spiegelungen zyklisch von Ordnung n. Gilt das nicht eher für die Drehungen?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Ups, natürlich, ich meine die Drehungen, sorry! Die Spiegelungen sind zwar auch zyklisch, aber nur von de Ordnung 2 ;)
Viele Grüße,
Jan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Allgemeiner Satz:
Sei $G$ eine Gruppe und $H$ eine Untergruppe vom Index $2$. Wir zeigen, das $H$ normal ist, d.h. dass für alle [mm] $g\in [/mm] G$ gilt: [mm] $gHg^{-1}=H$. [/mm] Es genügt, dies für Elemente $g$ zu zeigen, die nicht in $H$ liegen.
Der Index ist ja gleich der Anzahl der Nebenklassen von $H$. Es existieren also $2$ verschiedene Linksnebenklassen $H$ und $aH$ (wobei $a$ ein beliebiges Element aus [mm] $G\setminus [/mm] H$ ist), die $G$ disjunkt überdecken. Ebenso existieren aber auch $2$ Rechtsnebenklassen $H$ und $Hb$, die ebenfalls $G$ disjunkt überdecken. Weil $a$ nicht in $H$ liegt, ist [mm] $a\in [/mm] Hb$, also $Ha=Hb$. Nun ist aber [mm] $aH=G\setminus [/mm] H=Ha$, also [mm] $aHa^{-1}=H$. [/mm] Der Satz ist damit bewiesen.
Allgemein gilt sogar noch mehr (ist aber schwieriger zu beweisen): Ist $p$ die kleinste Primzahl, die die Ordnung von $G$ teilt ($G$ endlich!), dann ist jede Untergruppe $H$, die Index $p$ hat, automatisch normal.
Viele Grüße, Jan
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