Sind das Vektorräume? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Felidae |
Hi!
Ich lerne gerade für eine Prüfung und versuche folgendes Beispiel zu lösen:
Bildet [mm] \IR^{_{2}}[/mm] mit den angegeben Operationen einen Vektorraum über [mm]\IR[/mm]?
a) [mm](x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},0),\lambda(x_{1},x_{2})=(\lambda x_{1},0)[/mm]
b) [mm](x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{2},x_{2}+y_{1}),\lambda(x_{1},x_{2})=(\lambda x_{1},\lambda x_{2})[/mm]
c) [mm](x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},0),\lambda(x_{1},x_{2})=(\lambda x_{1},x_{2})[/mm]
d) [mm](x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}),\lambda(x_{1},x_{2})=(\lambda x_{2},\lambda x_{1})[/mm]
Also ich muß ja zeigen, daß [mm]<\IR^{_{2}},+>[/mm]eine abelsche Gruppe bildet, und die 4 Eigenschaften für die Multiplikation mit einem Skalar gelten.
Konkret bei den einzelnen Unterbeispielen komme ich auf folgendes Ergebnis:
Bei a) gilt Abgeschlossenheit und Assoziativität, aber es existiert kein neutrales Element.
also [mm](x_{1},x_{2})+(e_{1},e_{2})=(x_{1},x_{2})[/mm] soll gelten, aber mit der angegeben Operation erhalte ich [mm](x_{1},x_{2})+(e_{1},e_{2})=(x_{1},0)[/mm], also stimmt das ja in keinem Fall.
Bei b) ist bei der Assoziativität Schluß, weil man ein anderes Ergebnis für [mm][(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})]+(z_{1},z_{2})[/mm] und [mm](x_{1},x_{2})+[(y_{1},y_{2})+(z_{1},z_{2})][/mm] erhält
Bei c) gilt das gleiche wie für a)
und bei d) habe ich Probleme bei der Existenz von inversen Elementen, also [mm](x_{1},x_{2})+(x_{1}',x_{2}')=(0,0)[/mm] ([mm](0,0)[/mm] ist ja das neutrale Element)
ist dann [mm](x_{1}',x_{2}') = (-x_{1},-x_{2}))[/mm]?
wenn ja, dann würde auch noch die Kommutativität gelten und somit wäre es eine abelsche Gruppe.
bei der Multiplikation mit einem Skalar erhalte ich trotz der Vertauschung von [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm], daß alle 4 Eigenschaften gelten. Damit wäre d) ein Vektorraum.
Kann das stimmen?
lg
Felidae
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Do 18.11.2004 | | Autor: | Felidae |
Hi!
Habe noch weiter versucht das Beispiel zu lösen und bin auf einen Eintrag hier im Forum gestoßen, in dem ein ähnliches Beispiel gezeigt wurde.
(https://matheraum.de/read?t=5139&v=t)
dabei wurden die Operationen mit [mm] (x1,x2) + (y1,y2) = (x1+y1,x2+y2) [/mm] und [mm]\lambda (x1,x2) = (\lambda x1, x2)[/mm] definiert.
Beim Beweis für die abelsche Gruppe wurde beim inversen Element gezeigt, daß (x1',x2') = - (x1,x2), was (x1',x2') = -1 (x1,x2) entspricht. Und aufgrund der Definition der Skalarmultiplikation wäre dann (x1',x2') = (-x1,x2) und somit würde (x1,x2) + (x1',x2') nie das Einheitselment ergeben. Das habe ich soweit verstanden.
Allerdings habe ich noch das Problem, warum wird überhaupt die Skalarmultiplikation verwendet, wo ich doch die abelsche Gruppe zeigen soll und mich in [mm]<\IR^{2},+>[/mm] befinde? Wenn ich nur diese Struktur betrachte, dann gibt es die Multiplikation doch gar nicht, oder? Ich dachte die gibt es dann erst in der Struktur [mm]<\IR^{2},+,\IR>[/mm] ?
Ich hoffe es kann mir jemand helfen, denn langsam bekomme ich Zweifel, ob ich überhaupt zur Prüfung antreten soll :-(
lg
Felidae
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Do 18.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Felidae!
Wenn wir nur zeigen wollten, dass [mm] $(\IR^2,+)$ [/mm] eine abelsche Gruppe ist, dann dürften wir die skalare Multiplikation noch nicht verwenden, das ist richtig. Aber das wollen wir ja gar nicht zeigen!
Stattdessen wollen wir zeigen (weil wir es vermuten!), dass [mm] $(\IR^2,+,\IR)$ [/mm] kein Vektorraum ist!!
Und das zeigt man so:
Angenommen, es wäre ein Vektorraum.
Man kann leicht zeigen, dass aus den Vektorraumaxiomen (egal wie auch immer die Addition und die skalare Multiplikation definiert sind!) immer
$(-1) [mm] \cdot [/mm] v = - v$
folgt für jeden Vektor $v$.
Also müsste auch bei uns für alle [mm] $(x_1,x_2) \in \IR^2$ [/mm] gelten:
$(-1) [mm] \cdot (x_1,x_2) [/mm] = - [mm] (x_1,x_2)$,
[/mm]
also:
$(-1) [mm] \cdot (x_1,x_2) [/mm] + [mm] (x_1 [/mm] , [mm] x_2) [/mm] = (0,0)$.
Aber stattdessen gilt für [mm] $x_2 \ne [/mm] 0$
$(-1) [mm] \cdot (x_1,x_2) [/mm] + [mm] (x_1,x_2)$
[/mm]
$= [mm] (-x_1,x_2) [/mm] + [mm] (x_1,x_2)$
[/mm]
$= [mm] (0,2x_2)$
[/mm]
[mm] $\ne [/mm] (0,0)$,
was einen Widerspruch darstellt.
Daher ist [mm] $(\IR^2,+,\IR)$ [/mm] kein Vektorraum.
Und trotzdem ist [mm] $(\IR^2,+)$ [/mm] eine abelsche Gruppe! 
Jetzt klar?
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Felidae |
hi!
super danke, jetzt habe ich es verstanden!
lg
felidae
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Hallo!
> Bildet [mm]\IR^{_{2}}[/mm] mit den angegeben Operationen einen
> Vektorraum über [mm]\IR[/mm]?
>
> a)
> [mm](x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},0),\lambda(x_{1},x_{2})=(\lambda x_{1},0)[/mm]
>
> b)
> [mm](x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{2},x_{2}+y_{1}),\lambda(x_{1},x_{2})=(\lambda x_{1},\lambda x_{2})[/mm]
>
> c)
> [mm](x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},0),\lambda(x_{1},x_{2})=(\lambda x_{1},x_{2})[/mm]
>
> d)
> [mm](x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2}),\lambda(x_{1},x_{2})=(\lambda x_{2},\lambda x_{1})[/mm]
>
> Also ich muß ja zeigen, daß [mm]<\IR^{_{2}},+>[/mm]eine abelsche
> Gruppe bildet, und die 4 Eigenschaften für die
> Multiplikation mit einem Skalar gelten.
>
> Konkret bei den einzelnen Unterbeispielen komme ich auf
> folgendes Ergebnis:
>
> Bei a) gilt Abgeschlossenheit und Assoziativität, aber es
> existiert kein neutrales Element.
> also [mm](x_{1},x_{2})+(e_{1},e_{2})=(x_{1},x_{2})[/mm] soll
> gelten, aber mit der angegeben Operation erhalte ich
> [mm](x_{1},x_{2})+(e_{1},e_{2})=(x_{1},0)[/mm], also stimmt das ja
> in keinem Fall.
In keinem Fall würde ich nicht sagen - denn wenn [mm] $x_2$ [/mm] gleich 0 ist, dann paßt es ja. Aber Du kannst ein Gegenbeispiel angeben:
$(1,1) + (x,y) = (1+x, 0)$ für jedes Element $(x,y) [mm] \in \IR^2$, [/mm] also kann es kein neutrales Element geben.
Bei c) ebenso.
Und für d)... aus den formalen Eigenschaften des Skalarproduktes folgt normalerweise: $1 [mm] \cdot [/mm] v = v$.
Wieder im Beispiel: $1 [mm] \cdot [/mm] (1,3) = (3,1) [mm] \not= [/mm] (1,3)$. Und damit ist das auch kein Vektorraum...
Lars
> Bei b) ist bei der Assoziativität Schluß, weil man ein
> anderes Ergebnis für
> [mm][mm][(x_{1},x_{2})+(y_{1},y_{2})]+(z_{1},z_{2})[/mm][/mm] und [mm](x_{1},x_{2})+[(y_{1},y_{2})+(z_{1},z_{2})][/mm] erhält
Bei c) gilt das gleiche wie für a)
und bei d) habe ich Probleme bei der Existenz von inversen Elementen, also [mm](x_{1},x_{2})+(x_{1}',x_{2}')=(0,0)[/mm] ([mm](0,0)[/mm] ist ja das neutrale Element)
ist dann [mm](x_{1}',x_{2}') = (-x_{1},-x_{2}))[/mm]?
wenn ja, dann würde auch noch die Kommutativität gelten und somit wäre es eine abelsche Gruppe.
bei der Multiplikation mit einem Skalar erhalte ich trotz der Vertauschung von [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm], daß alle 4 Eigenschaften gelten. Damit wäre d) ein Vektorraum.
Kann das stimmen?
lg
Felidae
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Felidae |
hi!
danke! ich habe mich zu sehr auf den allgemeinen beweis konzentriert und dabei nicht daran gedacht, daß man ja auch ein gegenbeispiel angeben kann.
lg
felidae
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