Singularität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:07 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Maiko |
Bei folgender Aufgabe soll ich die Singularität und deren auftretende Vielfachheit bestimmen:
[mm] w=\frac{1}{1-cos(z)}
[/mm]
Ich komme auf
[mm] z0=2k*\pi
[/mm]
Ich hätte das Vielfache dieser Nullstelle auf eins getippt, da der cos(z) nur in der ersten Potenz vorkommt. Im Lösungsbuch steht allerdings,dass diese Singularität hier doppelt vorkommt.
Kann mir das bitte jmd. erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Mo 20.02.2006 | | Autor: | t.sbial |
Also die Polstellenmenge ist ja schonmal richtig. Zur Vielfachheit des Pols. Ich weiß jetzt nicht genau wie ihr die definiert habt, darum geh ich jetzt mal von unserer aus. d.h a ist ein Pol der Ordnung k falls [mm] (z-a)^{k}f(z) [/mm] holomorph in a fortgesetzt werden kann. Nun mit w= [mm] \bruch{1}{1-cos(z)} [/mm] müsste für einen einfachen Pol [mm] \limes_{z\rightarrow\2 *\pi*k}\bruch{z-2 \pi*k}{1-cos(z)} [/mm] existieren [mm] \forall [/mm] k. Also auch für k=0. Aber [mm] \limes_{z\rightarrow\\0}\bruch{z}{1-cos(z)}=\limes_{z\rightarrow\\0}\bruch{-1}{ \bruch{cos(z)-cos(0)}{z-0}}= \bruch{-1}{sin(0)} [/mm] der ex. also nicht. Das es sich um einen zweifachen Pol handelt sieht man dann z.B. so: Wir wissen cos(z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \bruch{z^{2n}}{(2n)!}. [/mm] Also damit gilt [mm] \bruch{(z-2 \pi*k)^{2}}{1-cos(z)}= \bruch{z²(1- \bruch{2 \pi*k}{z})²}{1-(1-( \bruch{1}{2!})z²+( \bruch{1}{4!})z^{4}-+...)}= \bruch{(1-( \bruch{2\pi*k}{z}))²}{ \bruch{1}{2}- \bruch{1}{4!}z²+-...}
[/mm]
und der Ausdruck geht für z gegen [mm] 2\pi*k [/mm] gegen 0 für k [mm] \not=0 [/mm] und gegen 2 für k=0. Also ist es ein 2 facher Pol.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Maiko |
Ich bedanke mich für deine Mühe. Allerdings führst du hier einen Beweis, warum der Pol 2fach sein soll.
Stell dir mal vor, dass ich in dieser Art einen dreifachen Pol habe. Dann kann ich nicht jedesmal erst versuchen, durch Residuenberechnung auf ein Ergebnis zu kommen, welches mir dann verrät, welche Vielfachheit meine Singularität hat. Ich schlimmsten Fall mache ich dann drei Rechnungen. Das ist sehr uneffektiv.
Meiner Meinung nach müsste es eine trivialere Erklärung geben, mit welcher man auf Anhieb sieht, was rauskommen muss.
Kann da jmd. helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Di 21.02.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Meiner Meinung nach müsste es eine trivialere Erklärung
> geben, mit welcher man auf Anhieb sieht, was rauskommen
> muss.
Ja, die gibt es auch! An den Stellen $z = [mm] 2k\pi$, [/mm] $k [mm] \in \IZ$ [/mm] hat der Kosinus eine doppelte $1$-Stelle, also [mm] $\cos [/mm] z - 1$ hat dort eine doppelte Nullstelle. (Die erste Ableitung verschwindet dort, die zweite jedoch nicht.) Damit hat [mm] $\frac{1}{1 - \cos z}$ [/mm] in diesen Punkten gerade eine doppelte Polstelle.
LG Felix
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