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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Sa 27.06.2009 | | Autor: | Stern123 |
| Aufgabe | f(z) = [mm] e^{\bruch{1}{z}} [/mm] für z [mm] \in \IC [/mm] \ {0}
0 ist eine wesentliche Singularität. |
Kann mir jemand erklären, warum 0 eine wesentliche Singularität ist?
Wenn ich z gegen 0 gehen lasse, geht doch f(z) eigentlich gegen [mm] \infty, [/mm] oder nicht?
Dann wäre es doch eigentlich ein Pol.
Wo liegt mein Fehler?
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Hallo Stern123,
> f(z) = [mm]e^{\bruch{1}{z}}[/mm] für z [mm]\in \IC[/mm] \ {0}
> 0 ist eine wesentliche Singularität.
> Kann mir jemand erklären, warum 0 eine wesentliche
> Singularität ist?
> Wenn ich z gegen 0 gehen lasse, geht doch f(z) eigentlich
> gegen [mm]\infty,[/mm] oder nicht? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es müsste [mm] $\lim\limits_{z\to 0}\red{|}f(z)\red{|}=\infty$ [/mm] sein, setze mal $z=x+iy$ und schaue, was denn $|f(z)|$ ist ...
> Dann wäre es doch eigentlich ein Pol.
> Wo liegt mein Fehler?
s.o., alternativ kannst du dir das sehr schnell an der Laurentreihe klarmachen:
Es ist ja bekanntermaßen für [mm] $z\in\IC [/mm] : \ \ [mm] e^z=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}e^z$
[/mm]
Also [mm] $e^{\frac{1}{z}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}e^{\frac{1}{z}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}e^{-z}=\blue{\sum\limits_{n=-\infty}^{0}\frac{1}{n!}e^z}$
[/mm]
In der Laurentreihe ist der Hauptteil also nicht abbrechend, also liegt eine wesentl. Sing. vor
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 So 28.06.2009 | | Autor: | Stern123 |
Ich verstehe nicht ganz, was sich ändert, wenn ich z = x + iy setze ... ?!
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Hallo nochmal,
mit $z=x+iy$ ist [mm] $|f(z)|=e^{\frac{x}{x^2+y^2}}$
[/mm]
Nimmst du nun etwa die Folge [mm] $(x_n,y_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{1}{n^2},\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] her, so gilt zwar [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(0,0)$, [/mm] aber [mm] $e^{\frac{x_n}{x_n^2+_n^2}}=e^{\frac{n^4}{n^4+n^2}}\longrightarrow e^1=e\neq\infty$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Also nicht [mm] $\lim\limits_{z\to 0}|f(z)|=\infty$ [/mm] und damit liegt eine wesentl. Singular. vor.
Aber wie gesagt: einfacher und viel schneller über die Laurentreihe wie oben erwähnt
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 So 28.06.2009 | | Autor: | Stern123 |
Okay. Danke, jetzt hab ich's verstanden!
Die Laurent-Reihe hatten wir damals, als wir in der Vorlesung das Beispiel gemacht haben, noch nicht.
Deshalb wollte ich wissen, wie man's noch anders erklären kann.
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