Singularität bei Integral < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo an alle,
ich komme bei folgendem Problem einfach nicht weiter, da ich die "Technik" nicht verstehe, wie man sowas angeht. Wir haben leider noch keine Residuen gehabt, aber den Cauchyschen Integralsatz für Sterngebiete und das sog. Zentrierungslemma.
Allgemein:
Wenn ich ein Wegintegral über einen Halbkreisrand berechnen soll, aber im Innern eine Singularität der Funktion vorliegt, dann muss ich doch eine Art "umweg" machen mit nem kleinen Kreis oder so...?!? Wie funktioniert das denn? Muss ich dann eine Verbindungslinie auch noch herstellen? Worüber integriere ich dann?
Konkret in der Aufgabe:
Sei [mm] \gamma [/mm] = [mm] \gamma_1+\gamma_2 [/mm] der einen Halbkreis umschließende Weg mit [mm] \gamma_1:=[-R,R] [/mm] und [mm] \gamma_2(t):=Re^{it}, 0\let\le\pi.
[/mm]
Berechne:
[mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{1}{1+z^2}dz} [/mm] .
Zeige:
[mm] \limes_{R\rightarrow\infty}\integral_{\gamma_2}^{}{\bruch{1}{1+z^2}dz}=0 [/mm] und folgere [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^2}dx}=\pi [/mm] .
Ich hab nur Vermutungen wie ich diese Aufgabe angehen sollte. Aber am meisten stört mich jetzt zunächst, dass in diesem Halbkreis bei i eben das nicht funktioniert... Was kann ich da - rein technisch (ich möchte es ja auch auf andere Funktionen anwenden können) - tun um diese Stelle zu umgehen, damit ich dann das Integral wieder berechnen kann?
Vielen Dank im Voraus falls mir jemand einen TIpp geben kann!
FilleDeDanann
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wie willst du es denn berechnen? Einfach mit dem Wegintegral oder mit irgendwelches Integralsätzen?
Wenn du das Wegintegral nimmst, dann kannste ja einfach R>1 annehmen (da du ja [mm] R\to\infty [/mm] betrachten sollst) - dann liegt i nicht auf deinem Integrationsweg.
Wenn du Integralsätze anwenden willst, dann musst du es so machen, wie du gesagt hast. Schneid' aus dem Inneren des Integrationsweges die Singularität mit einem kleinen Kreis raus. Dann hast du ja sowas wie einen Kreisring - darauf kannste einfach den Integralsatz anwenden, da du keine Singularität mehr im Inneren hast. Dann musst du aber einen Weg finden, das Wegintegral über den Kreis mit der Singularität zu berechnen (also ohne Integralsatz berechnen). Dann ziehste beide Integrale die du berechnet hast von einander ab.
|
|
|
|
