Sinh, Cosh, Sin, Cos als Lösun < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist eine Differentialgleichung
[mm] \bruch{d^4 y}{dt^4} [/mm] = y(t) |
Ich brauche für die Lösung doch nur 4 linear unabhängige Funktionen die die Bedingung erfüllen. Sinus Cosinus und sinh und cosh erfüllen jeweils die gleichung, aber sind diese auch voneinander linear unabhängig?
Gruß
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Ja, sind sie. Du könntest eine Relation
[mm]a \cdot \cos x + b \cdot \sin x + c \cdot \cosh x + d \cdot \sinh x = 0[/mm]
an vier verschiedenen Stellen auswerten. So bekommst du ein lineares Gleichungssystem in [mm]a,b,c,d[/mm].
Oder du setzt die Potenzreihen ein. Durch die Betrachtung der ersten vier Koeffizienten erhältst du ebenfalls ein lineares Gleichungssystem.
[mm]\text{(1)} \ \ a + c = 0[/mm]
[mm]\text{(2)} \ \ b + d = 0[/mm]
[mm]\text{(3)} \ \ - \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} c = 0[/mm]
[mm]\text{(4)} \ \ - \frac{1}{6} b + \frac{1}{6} d = 0[/mm]
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Also kann ich diese als mein Fundamentalsystem nehmen, durch die Anfangsbedingungen meine Koeffizienten a,b,c,d bestimmen und hätte meine Lösung?
Ich glaube ich brauche die lin. unabhängigkeit nicht explizit zeigen, ist eine Physikaufgabe die sind da nicht so streng :)
Gruß
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Hallo helicopter,
> Also kann ich diese als mein Fundamentalsystem nehmen,
> durch die Anfangsbedingungen meine Koeffizienten a,b,c,d
> bestimmen und hätte meine Lösung?
Ja.
> Ich glaube ich brauche die lin. unabhängigkeit nicht
> explizit zeigen, ist eine Physikaufgabe die sind da nicht
> so streng :)
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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