Sinus- und Kosinusfkt. Gleich. < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben Sie alle Lösungen an:
1.) [mm]4sin(x) + 2cos^2(x)=3[/mm]
2.) [mm]2cos(x)-3sin(x)=3[/mm]
3.) [mm]2sin^2(x)=3cos(x)[/mm]
4.) [mm]cos(3x)=sin(4x)[/mm] |
Hallo :)
Ich habe ein paar Probleme obige Aufgaben zu lösen. Im Unterricht wurden uns ein paar Regeln gegeben, mit denen man sinus und cosinus umschreiben kann. Ich schreibe mal meine Ansätze und bitte um Hilfe :)
1.)
[mm]4sin(x) + 2cos^2(x)=3[/mm] => Es gilt [mm]1=cos^2(x)+sin^2(x) [/mm]
Also kann man schreiben: [mm]4sin(x)+2(1-sin^2(x))=3
[/mm]
Ergibt nach ausmultiplizieren eine quadratische Gleichung:
[mm]-2sin^2(x)+4sin(x)-1=0
[/mm]
Ergibt die Lösungen (wenn Z = sin(x)):
[mm]x_1= -
x_2 = 0,3+k*2\pi
[/mm]
Kommt das hin?
2.)
[mm]2cos(x)-3sin(x)=3[/mm]
Wie könnte man hier umformen? Ich habe keinen Ansatz für diese Aufgabe...
3.)
[mm]2sin^2(x)=3cos(x)[/mm]
Wieder eine quadratische Gleichung:
[mm]-2cos^2(x)-3cos(x)+2=0[/mm]
mit den Lösungen:
[mm]Z = cos(x)
Z_1=-2 ; Z_2=\bruch{1}{2}
cos(x)=Z
x_1=arccos(Z_1)= -
x_2=arccos(Z_2)= \bruch{1}{3}\pi+k*2\pi[/mm]
Stimmt das so?!
4.)
[mm]cos(3x)=sin(4x)[/mm]
Gleiche Situation wie bei 2.), wie geht man hier ran?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Fr 23.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Geben Sie alle Lösungen an:
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> 1.) [mm]4sin(x) + 2cos^2(x)=3[/mm]
>
> 2.) [mm]2cos(x)-3sin(x)=3[/mm]
>
> 3.) [mm]2sin^2(x)=3cos(x)[/mm]
>
> 4.) [mm]cos(3x)=sin(4x)[/mm]
>
> Hallo :)
> Ich habe ein paar Probleme obige Aufgaben zu lösen. Im
> Unterricht wurden uns ein paar Regeln gegeben, mit denen
> man sinus und cosinus umschreiben kann. Ich schreibe mal
> meine Ansätze und bitte um Hilfe :)
>
> 1.)
>
> [mm]4sin(x) + 2cos^2(x)=3[/mm] => Es gilt [mm]1=cos^2(x)+sin^2(x)[/mm]
>
> Also kann man schreiben: [mm]4sin(x)+2(1-sin^2(x))=3[/mm]
>
> Ergibt nach ausmultiplizieren eine quadratische Gleichung:
> [mm]-2sin^2(x)+4sin(x)-1=0[/mm]
Das stimmt.
>
> Ergibt die Lösungen (wenn Z = sin(x)):
>
> [mm]x_1= - x_2 = 0,3+k*2\pi[/mm]
>
> Kommt das hin?
>
Mit [mm] z=\sin(x) [/mm] ergibt sich:
[mm] -2z^{2}+4z-1=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow z^{2}-2z+\frac{1}{2}=0
[/mm]
Also:
[mm] z_{1;2}=1\pm\sqrt{1-\frac{1}{2}}
[/mm]
[mm] =1\pm\sqrt{\frac{1}{2}}
[/mm]
[mm] =1\pm\frac{1}{\sqrt{2}}
[/mm]
Nun rücksubstituieren. Korrekterweise brauchst du nur [mm] 1-\frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] zo betrachten.
>
> 2.)
>
> [mm]2cos(x)-3sin(x)=3[/mm]
>
> Wie könnte man hier umformen? Ich habe keinen Ansatz für
> diese Aufgabe...
Ich leider auch nicht, daher lasse ich die Frage mal auf Teiweise beantwortet.
>
>
> 3.)
>
> [mm]2sin^2(x)=3cos(x)[/mm]
>
> Wieder eine quadratische Gleichung:
>
> [mm]-2cos^2(x)-3cos(x)+2=0[/mm]
>
> mit den Lösungen:
>
> [mm]Z = cos(x) Z_1=-2 ; Z_2=\bruch{1}{2} cos(x)=Z x_1=arccos(Z_1)= - x_2=arccos(Z_2)= \bruch{1}{3}\pi+k*2\pi[/mm]
>
> Stimmt das so?!
Du hast:
[mm] $-2\cos^2(x)-3\cos(x)+2=0$
[/mm]
Substituiere:
[mm] -2z^{2}-3z-2=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow z^{2}+\frac{3}{2}z-1=0
[/mm]
Also:
[mm] z_{1;2}=-\frac{3}{4}\pm\sqrt{\frac{9}{16}+1}
[/mm]
[mm] =-\frac{3}{4}\pm\sqrt{\frac{25}{16}}
[/mm]
[mm] =-\frac{3}{4}\pm\frac{5}{4}
[/mm]
Also [mm] z_{1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
[/mm]
[mm] z_{2}=-2
[/mm]
Berechne nun [mm] \cos(x)=\frac{1}{2}
[/mm]
Vermutlich meinst du genau das, es ist aber sehr verwirrend aufgeschrieben.
>
>
> 4.)
>
> [mm]cos(3x)=sin(4x)[/mm]
>
> Gleiche Situation wie bei 2.), wie geht man hier ran?
>
>
Mit den ![[]](/images/popup.gif) Additionstheormene für VielfacheEingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ergibt sich:
$\cos(3x)=\sin(4x)$
$\Leftrightarrow4\cos^3(x)-3\cos(x)=\sin(x)\left(8\cos^3(x)-4\cos(x)right)$
$\Leftrightarrow\cos^3(x)(4-8\sin(x))+\cos(x)=0$
$\Leftrightarrow\cos(x)\left(\cos^2(x)(4-8\sin(x))+1\right)=0$
Nun hast du schonmal ein Produkt, das Null werden soll, also kannst du die Faktoren getrennt betrachten, also:
\cos(x)=0
oder
\cos^2(x)(4-8\sin(x))+1=0
Mit \cos^{2}(x)=1-\sin^{2}(x)
(1-\sin^{2}(x))(4-8\sin(x))+1=0
Für diese Gleichung sehe ich aber im Moment auch keine elegante Lösung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Fr 23.12.2011 | | Autor: | abakus |
> > 2.)
> >
> > [mm]2cos(x)-3sin(x)=3[/mm]
> >
> > Wie könnte man hier umformen? Ich habe keinen Ansatz für
> > diese Aufgabe...
>
> Ich leider auch nicht, daher lasse ich die Frage mal auf
> Teiweise beantwortet.
Hallo,
forme um zu
2cos(x)=3+3*sin(x), quadriere und ersetze das links entstehende $cos^2x$ durch $1-sin^2x$.
Löse die qu. Gl. und mache eine Probe mit allen möglichen Lösungen, weil das quadrieren keine äquivalente Umformung ist.
Vorhersage: Da 2cos(x) höchstens 2 sein kann, muss sin(x) negativ sein. Eine Lösung liegt also im 3. oder 4. Quadranten. Im 3. Quadranten kann es aber nicht sein, weil dann 2*cos(x) auch negativ ist und die Summe 3 unerreichbar würde.
Gruß Abakus
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> Hallo,
> forme um zu
> 2cos(x)=3+3*sin(x), quadriere und ersetze das links
> entstehende [mm]cos^2x[/mm] durch [mm]1-sin^2x[/mm].
> Löse die qu. Gl. und mache eine Probe mit allen
> möglichen Lösungen, weil das quadrieren keine
> äquivalente Umformung ist.
> Vorhersage: Da 2cos(x) höchstens 2 sein kann, muss sin(x)
> negativ sein. Eine Lösung liegt also im 3. oder 4.
> Quadranten. Im 3. Quadranten kann es aber nicht sein, weil
> dann 2*cos(x) auch negativ ist und die Summe 3 unerreichbar
> würde.
> Gruß Abakus
>
Okay, ich komme dann auf:
[mm]4-4sin^2(x)=9+9sin^2(x)
sin^2(x)=\bruch{-5}{13}[/mm]
Um nun x zu isolieren, müsste ich zweimal den arcsin anwenden, oder? Weil [mm]sin^2(x)=sin(x)*sin(x)[/mm], oder?
Das liefert mir aber kein Ergebnis...
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> Okay, ich komme dann auf:
>
> [mm]4-4sin^2(x)=9+9sin^2(x) sin^2(x)=\bruch{-5}{13}[/mm]
>
> Um nun x zu isolieren, müsste ich zweimal den arcsin
> anwenden, oder?
Hallo,
nein.
> Weil [mm]sin^2(x)=sin(x)*sin(x)[/mm], oder?
Ja.
Du müßtest Dir erstmal überlegen, welche Zahl quadriert [mm] \bruch{-5}{13} [/mm] ergibt, das wäre Dein sin(x).
Und dann könntest Du mit der Umkehrfunktion anrücken.
Wir allerdings hier nicht gut klappen...
Du solltest erstmal vormachen, wie Du abakus' Anleitung umgesetzt hast.
Möglicherweise wäre es klug, würdest Du Dir die binomischen Formeln ins Gedächtnis zurückholen...
Gruß v. Angela
>
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> Du solltest erstmal vormachen, wie Du abakus' Anleitung
> umgesetzt hast.
> Möglicherweise wäre es klug, würdest Du Dir die
> binomischen Formeln ins Gedächtnis zurückholen...
>
Sorry, mein Fehler... habe natürlich etwas übersehen.
Also komme ich mit Anwendung der 1. binomischen Formel auf:
[mm]4cos^2(x)=9+18sin(x)+9sin^2(x)
4(1-sin^2(x))=9+18sin(x)+9sin^2(x)
0=13sin^2(x)+18sin(x)+5
x_1= -0,39
x_2 = \bruch{\pi}{2}[/mm]
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> Vermutlich meinst du genau das, es ist aber sehr verwirrend
> aufgeschrieben.
Ich habe das ganze nur mit der "Mitternachtsformel" bzw. a-b-c-Formel gelöst, ansonsten haben wir ja dieselben Ergebnise :)
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Hallo chaoslegend,
> Hallo :)
> Ich habe ein paar Probleme obige Aufgaben zu lösen. Im
> Unterricht wurden uns ein paar Regeln gegeben, mit denen
> man sinus und cosinus umschreiben kann. Ich schreibe mal
> meine Ansätze und bitte um Hilfe :)
>
>
> 4.)
>
> [mm]cos(3x)=sin(4x)[/mm]
>
> Gleiche Situation wie bei 2.), wie geht man hier ran?
>
Drücke den Kosinus mit Hilfe des Sinus aus:
[mm]\sin\left(3x+\bruch{\pi}{2}\right)=\sin\left(4x\right)[/mm]
Umformung ergibt:
[mm]\sin\left(3x+\bruch{\pi}{2}\right)-\sin\left(4x\right)=0[/mm]
Für [mm]\sin\left(a\right)-\sin\left(b\right)[/mm] gibt es ein Additionstheorem.
Gruss
MathePower
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>
> Drücke den Kosinus mit Hilfe des Sinus aus:
>
> [mm]\sin\left(3x+\bruch{\pi}{2}\right)=\sin\left(4x\right)[/mm]
>
> Umformung ergibt:
>
> [mm]\sin\left(3x+\bruch{\pi}{2}\right)-\sin\left(4x\right)=0[/mm]
>
> Für [mm]\sin\left(a\right)-\sin\left(b\right)[/mm] gibt es ein
> Additionstheorem.
>
>
> Gruss
> MathePower
Okay, dann hätte ich nach der Umformung:
[mm]sin((3x+\bruch{\pi}{2})-(4x))=0[/mm]
[mm]sin(3x+\bruch{\pi}{2})*cos(4x)-cos(3x+\bruch{\pi}{2})*sin(4x)=0[/mm]
Und nun? Schreibt man den cosinus oder sinus jetz wieder als sinus bzw. cosinus?
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> >
> > Drücke den Kosinus mit Hilfe des Sinus aus:
> >
> > [mm]\sin\left(3x+\bruch{\pi}{2}\right)=\sin\left(4x\right)[/mm]
> >
> > Umformung ergibt:
> >
> > [mm]\sin\left(3x+\bruch{\pi}{2}\right)-\sin\left(4x\right)=0[/mm]
> >
> > Für [mm]\sin\left(a\right)-\sin\left(b\right)[/mm] gibt es ein
> > Additionstheorem.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Okay, dann hätte ich nach der Umformung:
>
> [mm]sin((3x+\bruch{\pi}{2})-(4x))=0[/mm]
Hallo,
Du hast MathePower mißverstanden:
Du solltest Dir kein Additionstheorem ausdenken, sondern ein real existierendes und funktionierendes verwenden.
Gruß v. Angela
>
> [mm]sin(3x+\bruch{\pi}{2})*cos(4x)-cos(3x+\bruch{\pi}{2})*sin(4x)=0[/mm]
>
> Und nun? Schreibt man den cosinus oder sinus jetz wieder
> als sinus bzw. cosinus?
>
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Also eigentlich habe ich mir das nicht ausgedacht :) Vlt. habe ich es falsch angewendet...
Ich habe zuerst den sinus ausgeklammert und dann folgendes Additionstheorem angewendet:
[mm]sin(x_1 \pm x_2)=sin(x_1)cos(x_2) \pm cos(x_1)sin(x_2)[/mm]
Aber ich habe nochmal nachgeguckt und auch für sin x - sin y ein Theorem gefunden:
[mm]sin(x)-sin(y)=2cos\bruch{x+y}{2}sin\bruch{x-y}{2}[/mm]
Das würde für meine Gleichung folgendes Ergeben:
[mm]sin(3x+\bruch{\pi}{2})-sin(4x)=0[/mm]
[mm]2*cos(\bruch{3x+\bruch{\pi}{2}+4x}{2})*sin(\bruch{3x+\bruch{\pi}{2}-4x}{2})=0[/mm] <=>
<span class="math">[mm]2*cos(\bruch{7x+\bruch{\pi}{2}}{2})*sin(\bruch{-x+\bruch{\pi}{2}}{2})=0[/mm]
So jetzt könnte ich doch einmal <span class="math">
[mm]cos(\bruch{7x+\bruch{\pi}{2}}{2})=0[/mm]</span> und
[mm]sin(\bruch{-x+\bruch{\pi}{2}}{2})=0[/mm]
betrachten, oder?
Ich erhalte die Lösungen
[mm]x_1=\bruch{\pi}{14}
x_2=\bruch{\pi}{2}[/mm]
Richtig?
</span>
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Hallo chaoslegend,
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> Also eigentlich habe ich mir das nicht ausgedacht :) Vlt.
> habe ich es falsch angewendet...
>
> Ich habe zuerst den sinus ausgeklammert und dann folgendes
> Additionstheorem angewendet:
>
> [mm]sin(x_1 \pm x_2)=sin(x_1)cos(x_2) \pm cos(x_1)sin(x_2)[/mm]
>
> Aber ich habe nochmal nachgeguckt und auch für sin x - sin
> y ein Theorem gefunden:
>
> [mm]sin(x)-sin(y)=2cos\bruch{x+y}{2}sin\bruch{x-y}{2}[/mm]
>
> Das würde für meine Gleichung folgendes Ergeben:
>
> [mm]sin(3x+\bruch{\pi}{2})-sin(4x)=0[/mm]
>
> [mm]2*cos(\bruch{3x+\bruch{\pi}{2}+4x}{2})*sin(\bruch{3x+\bruch{\pi}{2}-4x}{2})=0[/mm]
> <=>
>
> <span
> class="math">[mm]2*cos(\bruch{7x+\bruch{\pi}{2}}{2})*sin(\bruch{-x+\bruch{\pi}{2}}{2})=0[/mm]
>
> So jetzt könnte ich doch einmal <span class="math">
>
> [mm]cos(\bruch{7x+\bruch{\pi}{2}}{2})=0[/mm]</span> und
>
> [mm]sin(\bruch{-x+\bruch{\pi}{2}}{2})=0[/mm]
>
> betrachten, oder?
>
Ja.
> Ich erhalte die Lösungen
>
> [mm]x_1=\bruch{\pi}{14}
x_2=\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
Das sind nur zwei von den vielen Lösungen.
Hier muss die Periodizität der Nullstellen
des Sinus bzw. Kosinus berücksichtigt werden.
> Richtig?
>
> </span>
>
Gruss
MathePower
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<span <br="">> Das sind nur zwei von den vielen Lösungen.
>
> Hier muss die Periodizität der Nullstellen
> des Sinus bzw. Kosinus berücksichtigt werden.
Das ist soweit klar ;) Danke nochmal :)
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> Also eigentlich habe ich mir das nicht ausgedacht :) Vlt.
> habe ich es falsch angewendet...
>
> Ich habe zuerst den sinus ausgeklammert
Hallo,
genau das war das Ausgedachte! Der sinus ist keine lineare Funktion. Es ist
[mm] sin(x)+sin(y)\not=sin(x+y).
[/mm]
Gruß v. Angela
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