Sinus < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Mo 30.03.2009 | | Autor: | McArthur |
| Aufgabe | | Zeigen Sie für alle $ n [mm] \in \IN [/mm] $, und $ x [mm] \in\IR [/mm] $ das $|sin(nx)|$ [mm] \le [/mm] $n [mm] \cdot|sin(x)|$ [/mm] |
Ich habe mir bereits folgendes überlegt:
Da $sin(x)$ periodisch verläuft gilt $sin(nx) = 0$ für $x = [mm] k*\pi/n$, [/mm] das heißt je größer n desto mehr Nullstellen gibt es im Intervall [mm] $[0,\pi/2]$. [/mm] Extrema von $|sin(n [mm] \cdot [/mm] x)|$ ist 1.
Nullstellen von $ n [mm] \cdot [/mm] |sin(x)|$ ist k [mm] \cdot \pi [/mm] und die Extrema liegen bei $ n [mm] \cdot [/mm] 1$.
Hilft mir das irgendwie weiter? Oder bin ich total auf dem Holzweg und sollte es über einen anderen Weg versuchen? Über Tipps bin ich sehr dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Mo 30.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Was ist denn $I$ ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 Mo 30.03.2009 | | Autor: | McArthur |
Es sollte natürlich heißen $n [mm] \in \IN [/mm] $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
bist du dir sicher, dass deine Aufgabe so lautet? Ich hätte zB ein Gegenbeispiel gefunden:
Sei [mm] $n=2\in\IN$ [/mm] und [mm] $x=\frac{\pi}{2}\in\IR$
[/mm]
Dann ist [mm] $|\sin(2\cdot\frac{\pi}{2})|=|\sin(\pi)|=0$ [/mm] und [mm] $2\cdot|\sin(\frac{\pi}{2})|=2\cdot1=2$, [/mm] also [mm] $0\not=2$, [/mm] und damit gilt die Aussage nicht, dass das für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] und [mm] $x\in\IR$ [/mm] gilt.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 30.03.2009 | | Autor: | McArthur |
Ja das stimmt natürlich.
Es soll heißen [mm] $|sin(nx)|\le [/mm] n*|sin(x)|$.
Sorry!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
okay, dann macht das Sinn.
Denk mal über die Beschränktheit des [mm] $\sin$ [/mm] nach und schätze zwischen [mm] $|\sin(nx)|$ [/mm] und [mm] $n|\sin(x)|$ [/mm] mal "grob" ab und Argumentiere mit der Beschränktheit der Funktion. Dann sollte das ziemlich schnell klar werden, warum die Ungleichung gilt.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Di 31.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Nachdem nun klar ist, was zu tun ist , mein Vorschlag: Induktion.
Sei x [mm] \in \IR.
[/mm]
Beh.: [mm] $|sin(nx)|\le [/mm] n|sin(nx)|$ für jedes n [mm] \in \IN
[/mm]
Beweis:
Ind. -Anfang: n = 1 ist klar.
Ind. - Vor.: sei n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] $|sin(nx)|\le [/mm] n|sin(nx)|$
n [mm] \to [/mm] n+1:
$|sin((n+1)x)| = |sin(nx)cos(x)+cos(nx)sin(x)| [mm] \le [/mm] |sin(nx)||cos(x)|+|cos(nx)||sin(x)|$
[mm] $\le [/mm] |sin(nx)|+|sin(x)| [mm] \le [/mm] n|sin(x)|+|sin(x)| = (n+1)|sin(x)|$
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 Di 31.03.2009 | | Autor: | McArthur |
Danke für die tolle Hilfe, Fred!
|
|
|
|
