Sinus + Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Tequila |
Hallo
hab ne Frage bezüglich Grenzwerten
Ich soll ein Integral in Teilsummen zerlegen und dann ausrechnen
[mm] \integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}
[/mm]
ich hab rumgerechnet und bin auf folgendes gekommen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} sin(\bruch{\pi i}{n}) [/mm] * [mm] \bruch{\pi}{n}
[/mm]
Eben in Derive reingehackt, und siehe da, es kommt 2 raus.
Was auch richtig ist!
Aber wie löse ich das per hand?
Geht es ohne Additionstheoreme? Ich glaub nicht. Leider kann ich die nicht auswendig. Gibt es ne andere Methode?
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Hallo und guten Nachmittag,
nur mal so ins Blaue:
Geht es vielleicht mit ner Reihenentwicklung von sinus und dann sowas wie einer
Umordnung von Reihen ?
Gruss,
Mathias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Mi 08.03.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Benni,
also ich sehe das ähnlich wie Mathias, du musst über die Reihenentwicklung gehen. Die Reihenentwicklung des Sinus, kannst du in jeder Formelsammlung (auch online) nachschauen:
sin(x)= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}.
[/mm]
Also da das Intergral drauf anwenden und in die Summe reinziehen. Da muss man eigentlich aufpassen, weil die Summe unendlich ist. Da wir aber wissen, dass die unendliche Summe der Integrale existiert ( und -cos(x) ist) machen wir uns da mal keine Gedanken. Jetzt integriere einfach jeden einzelnen Summanden, d.h. finde allgemein die Stammfkt. von
[mm] \bruch{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}. [/mm]
Ich würde mir mal die ersten drei ausschreiben und dann allgemein weitermachen.
Kommen musst du insgesamt auf
[mm] -\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}.
[/mm]
Das ist nämlich die Reihenentwicklung von -cos(x), was ja die Sammfkt. von sin(x) ist. Beachte, dass die Summe von n=0 losgeht. Du musst noch selbst ein wenig tüfteln, damit man es sieht, aber du weisst ja was rauskommt, du wirst es schon schaffen :) Setze erst ganz zum Schluss die Grenzen ein.
Ich hoffe so kommst du weiter,
Walde
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