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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 So 04.05.2008 | | Autor: | Pedda |
Hallo,
ich versuche die Eigenwerte und Eigenvektoren von zwei Matrizen zu bestimmen.
Ich habe zunächst die Drehung um die x2-Achse gegeben durch:
[mm] \pmat{ cos\phi & 0 & sin\phi \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin \phi & 0 & -cos \phi }
[/mm]
und die entsprechende für die x3 Achse
[mm] \pmat{ cos\phi & -sin\phi & 0 \\ sin\phi & cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Das Matrizenprodukt ergibt also eine Drehung erst um die x2 und dann um die x3 Achse
[mm] \pmat{ cos^2\phi & -sin\phi cos\phi & sin\phi \\ sin\phi & cos\phi & 0 \\ -sin\phi cos\phi & sin^2\phi & cos\phi }
[/mm]
Ich möchte nun die Drehachse und den Drehwinkel bestimmen. Dazu muss ich den Eigenvektor zum Eigenwert 1 bestimmen, wo die Probleme beginnen. Ich schreibe also die Matrix hin:
[mm] \pmat{ cos^2\phi - \lambda & -sin\phi cos\phi & sin\phi \\ sin\phi & cos\phi - \lambda & 0 \\ -sin\phi cos\phi & sin^2\phi & cos\phi- \lambda } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
und da ist meine Weisheit zuende. Wie löse ich dieses Gleichungssystem für [mm] \lambda [/mm] = 1?
Um den Drehwinkel zu bestimmt habe ich die Gleichung Spur {A} = [mm] 1+2cos\phi [/mm] gefunden, was aber für die obige Matrix den Winkel 0 ergibt. Das macht nicht wirklich Sinn für mich, da ich ja sogar um zwei verschiedene Achsen drehe?
tschö, Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 So 04.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> ich versuche die Eigenwerte und Eigenvektoren von zwei
> Matrizen zu bestimmen.
>
> Ich habe zunächst die Drehung um die x2-Achse gegeben
> durch:
>
> [mm]\pmat{ cos\phi & 0 & sin\phi \\ 0 & 1 & 0 \\ -sin \phi & 0 & -cos \phi }[/mm]
Rechts unten muss es [mm] $\red{+}\cos\phi$ [/mm] heissen.
> und die entsprechende für die x3 Achse
>
> [mm]\pmat{ cos\phi & -sin\phi & 0 \\ sin\phi & cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Das Matrizenprodukt ergibt also eine Drehung erst um die x2
> und dann um die x3 Achse
>
> [mm]\pmat{ cos^2\phi & -sin\phi cos\phi & sin\phi \\ sin\phi & cos\phi & 0 \\ -sin\phi cos\phi & sin^2\phi & cos\phi }[/mm]
Drehst du wirklich beide Mal um denselben Winkel [mm] $\phi$, [/mm] oder sollten es nicht unterschiedliche Drehwinkel um die beiden Achsen sein?
> Ich möchte nun die Drehachse und den Drehwinkel bestimmen.
> Dazu muss ich den Eigenvektor zum Eigenwert 1 bestimmen, wo
> die Probleme beginnen. Ich schreibe also die Matrix hin:
>
> [mm]\pmat{ cos^2\phi - \lambda & -sin\phi cos\phi & sin\phi \\ sin\phi & cos\phi - \lambda & 0 \\ -sin\phi cos\phi & sin^2\phi & cos\phi- \lambda }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
Da hast du aber den Vektor vergessen, den du bestimmen willst.
> und da ist meine Weisheit zuende. Wie löse ich dieses
> Gleichungssystem für [mm]\lambda[/mm] = 1?
Das verstehe ich nicht; es ist doch ein ganz normales lineares Gleichungssystem für die Komponenten deines Eigenvektors. Wie üblich, kannst du eine Komponente frei wählen und die anderen beiden dadurch ausdrücken.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 So 04.05.2008 | | Autor: | Pedda |
Hallo Rainer!
> Rechts unten muss es [mm]\red{+}\cos\phi[/mm] heissen.
Ja, klar. Hab mich beim Abtippen verschrieben
>
> > und die entsprechende für die x3 Achse
> >
> > [mm]\pmat{ cos\phi & -sin\phi & 0 \\ sin\phi & cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> >
> > Das Matrizenprodukt ergibt also eine Drehung erst um die x2
> > und dann um die x3 Achse
> >
> > [mm]\pmat{ cos^2\phi & -sin\phi cos\phi & sin\phi \\ sin\phi & cos\phi & 0 \\ -sin\phi cos\phi & sin^2\phi & cos\phi }[/mm]
>
> Drehst du wirklich beide Mal um denselben Winkel [mm]\phi[/mm], oder
> sollten es nicht unterschiedliche Drehwinkel um die beiden
> Achsen sein?
>
Ja, so soll es laut Aufgabe sein. Nachher ist dann noch gefragt, wie es sich verhält, wenn die Drehungen unendlich klein werden, deswegen vielleicht?
> > Ich möchte nun die Drehachse und den Drehwinkel bestimmen.
> > Dazu muss ich den Eigenvektor zum Eigenwert 1 bestimmen, wo
> > die Probleme beginnen. Ich schreibe also die Matrix hin:
> >
> > [mm]\pmat{ cos^2\phi - \lambda & -sin\phi cos\phi & sin\phi \\ sin\phi & cos\phi - \lambda & 0 \\ -sin\phi cos\phi & sin^2\phi & cos\phi- \lambda }[/mm]
> > = [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> Da hast du aber den Vektor vergessen, den du bestimmen
> willst.
>
> > und da ist meine Weisheit zuende. Wie löse ich dieses
> > Gleichungssystem für [mm]\lambda[/mm] = 1?
>
> Das verstehe ich nicht; es ist doch ein ganz normales
> lineares Gleichungssystem für die Komponenten deines
> Eigenvektors. Wie üblich, kannst du eine Komponente frei
> wählen und die anderen beiden dadurch ausdrücken.
Achso, beim Vektor habe ich einfach nur die [mm]x_1, x_2, x_3[/mm] schon weggelassen. Ich habe jetzt einfach mal [mm]x_2 = 1[/mm] gesetzt und dann das Gleichungssystem gelöst. Ich bekomme heraus:
[mm] \pmat {\frac{-cos\phi+1}{sin\phi} \\ 1 \\ cos\phi - \frac{(cos^2\phi - 1)(-cos\phi +1)}{sin^2\phi}}. [/mm]
Mit der Antwort bin ich allerdings noch nicht so wirklich glücklich. Drehungen um [mm] \pi [/mm] sind ja so zum Beispiel nicht defniert?
Bleibt allerdings die Frage nach dem Drehwinkel, der ja auf jeden Fall nicht 0 sein kann für alle [mm]\phi \neq 0[/mm]?
tschö, Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 So 04.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Peter!
> Achso, beim Vektor habe ich einfach nur die [mm]x_1, x_2, x_3[/mm]
> schon weggelassen. Ich habe jetzt einfach mal [mm]x_2 = 1[/mm]
> gesetzt und dann das Gleichungssystem gelöst. Ich bekomme
> heraus:
>
> [mm]\pmat {\frac{-cos\phi+1}{sin\phi} \\ 1 \\ cos\phi - \frac{(cos^2\phi - 1)(-cos\phi +1)}{sin^2\phi}}.[/mm]
Wie wär's, wenn du bei der dritten Komponente noch die Identität [mm] $cos^2\phi [/mm] - [mm] 1=-\sin^2\phi$ [/mm] benutzen würdest?
> Mit der Antwort bin ich allerdings noch nicht so wirklich
> glücklich. Drehungen um [mm]\pi[/mm] sind ja so zum Beispiel nicht
> defniert?
Doch, aber dazu solltest du den Vektor auf 1 normieren.
> Bleibt allerdings die Frage nach dem Drehwinkel, der ja auf
> jeden Fall nicht 0 sein kann für alle [mm]\phi \neq 0[/mm]?
Richtig. Für den Drehwinkel [mm] $\alpha$ [/mm] hast du die Formel [mm] $\mathop{\textrm{Spur}} [/mm] A = 1+ [mm] \cos\alpha$. [/mm] Die Spur deiner Matrix kennst du. Wenn ich micht verrechnet habe, kommt [mm] $\cos(\alpha/2) [/mm] = [mm] \cos^2(\phi/2)$ [/mm] heraus.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 So 04.05.2008 | | Autor: | Pedda |
Hallo,
alles klar, so macht es Sinn! Danke schön!
tschö, Peter
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