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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Sinus im komplexen berechnen
Sinus im komplexen berechnen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Sinus im komplexen berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Sa 29.11.2008
Autor: yildi

Aufgabe
[mm] \bruch{1}{2i} * ( e^{i*\bruch{\pi}{3}} - e^{i*\bruch{\pi}{3}} ) [/mm]

Hallo! Der obige Audruck beschreibt den Sinuswert an der Stelle [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] . nur wie rechne ich das aus ? :) Hat jemand eine idee?
        
Bezug
Sinus im komplexen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 Sa 29.11.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> [mm]\bruch{1}{2i} * ( e^{i*\bruch{\pi}{3}} - e^{i*\bruch{\pi}{3}} )[/mm]

>
> Hallo! Der obige Audruck beschreibt den Sinuswert an der
> Stelle [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm] . nur wie rechne ich das aus ? :) Hat
> jemand eine idee?

Nicht ganz, denn dieser Ausdruck ist 0 ;-)

Du meinst

[mm] \bruch{1}{2i} * ( e^{i*\bruch{\pi}{3}} - e^{\red{-}i*\bruch{\pi}{3}} )[/mm]

Ich verstehe auch nicht, was deine Frage ist. Der Ausdruck ist [mm] $\sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2$. [/mm] Um diesen Wert auszurechnen, brauchst du keine komplexe Darstellung, sondern nur die Additionstheoreme.

Im Allgemeinen gilt die Moivre-Formel:

  [mm]e^{ix} = \cos x + i \sin x [/mm]

Viele Grüße
   Rainer
Bezug
                
Bezug
Sinus im komplexen berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:35 Sa 29.11.2008
Autor: yildi


> Du meinst
>  
> [mm]\bruch{1}{2i} * ( e^{i*\bruch{\pi}{3}} - e^{\red{-}i*\bruch{\pi}{3}} )[/mm]

Ja genau, das Minus hatte ich vergessen ;-)

> Ich verstehe auch nicht, was deine Frage ist. Der Ausdruck
> ist [mm]\sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2[/mm].

Wie kommst du denn auf diesen Wert ? :-)


> Im Allgemeinen gilt die Moivre-Formel:
>
> [mm]e^{ix} = \cos x + i \sin x[/mm]

Ja genau, wenn ich das oben einsetze, könnte ich die Werte ja mti meinem Taschenrechner ausrechnen.. aber genau das soll ich grade nicht. Ich soll den exakten Wert des Sinus bestimmen, aber ohne die Hilfe des Taschenrechners :-(
Bezug
                        
Bezug
Sinus im komplexen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Sa 29.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> > Du meinst
>  >  
> > [mm]\bruch{1}{2i} * ( e^{i*\bruch{\pi}{3}} - e^{\red{-}i*\bruch{\pi}{3}} )[/mm]
>  
> Ja genau, das Minus hatte ich vergessen ;-)
>  
> > Ich verstehe auch nicht, was deine Frage ist. Der Ausdruck
> > ist [mm]\sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2[/mm].
>
> Wie kommst du denn auf diesen Wert ? :-)
>  
>
> > Im Allgemeinen gilt die Moivre-Formel:
> >
> > [mm]e^{ix} = \cos x + i \sin x[/mm]
>  
> Ja genau, wenn ich das oben einsetze, könnte ich die Werte
> ja mti meinem Taschenrechner ausrechnen.. aber genau das
> soll ich grade nicht. Ich soll den exakten Wert des Sinus
> bestimmen, aber ohne die Hilfe des Taschenrechners :-(



Du verwendest die Formel  $\ [mm] sin(x)=\bruch{1}{2i}*\left(e^{i*x}-e^{-i*x}\right)$ [/mm]

Das kann man machen, wenn man Umwege mag ...     ;-)

Um z.B. den Term  $\ [mm] e^{i*\bruch{\pi}{3}}$ [/mm]  auszuwerten, braucht
man dann die Formel  $\ [mm] e^{i*x}=cos(x)+i*sin(x)$. [/mm]

Wenn du dies mit  [mm] x=\bruch{\pi}{3} [/mm]  konsequent durchführst,
solltest du zum Ziel kommen. Die Werte von
[mm] sin\left(\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] und [mm] cos\left(\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] kannst du aber damit nicht
wirklich "berechnen". Die sollte man ohnehin
einfach kennen. Das bisschen Speicherplatz in
den grauen Zellen ist eine gute Investition.


LG
Bezug
                        
Bezug
Sinus im komplexen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Sa 29.11.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> > Ich verstehe auch nicht, was deine Frage ist. Der Ausdruck
> > ist [mm]\sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2[/mm].
>
> Wie kommst du denn auf diesen Wert ? :-)

Tabelle oder Additionstheorem. Damit:

[mm] \sin(3x) = 3\cos^2 x \sin x - \sin^3 x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x [/mm]

Setze [mm] $x=\pi/3$ [/mm] ein und es folgt [mm] $4\sin^2(\pi/3) [/mm] = 3$.

Viele Grüße
   Rainer

  
Bezug
                        
Bezug
Sinus im komplexen berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:26 So 30.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Ich soll den exakten Wert des Sinus bestimmen,
> aber ohne die Hilfe des Taschenrechners.


Wenn es einfach darum geht:

Zeichne dir ein gleichseitiges Dreieck. Am besten
setzt du seine Seitenlänge  a=2.
Zeichne eine Höhe ein. Berechne die Höhe mit
Pythagoras (und ohne Taschenrechner,
wie verlangt !). Und dann denk an die Definition
des Sinus für die Winkel eines rechtwinkligen
Dreiecks ...


LG
Bezug
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