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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:33 Mo 10.02.2014 | | Autor: | muaz |
| Aufgabe 1 | Bestimme auf vier Dezimalzahlen genau alle x [mm] \in 0;2\pi
[/mm]
für die gilt:
a.) sin(x)=-0,27
b.) cos(x)=0,64 |
| Aufgabe 2 | Welche Terme ergeben denselben Wert? Begründe ohne GTR.
sin(30°)
[mm] sin(\pi/4)
[/mm]
[mm] cos(-\pi/4)
[/mm]
[mm] cos(3\pi)
[/mm]
cos(0)
[mm] cos(7\pi/3)
[/mm]
sin(90°)
[mm] cos(\pi/4) [/mm] |
Bei der ersten Aufgabe habe ich soweit verstehen können, dass ich für 0=180° und für [mm] 2\pi=360° [/mm] nehmen muss, gemäß dem Einheitskreis. Und nun sin(x)=-0,27=-15,7°
dann [mm] 180°+(-15,7°)*\bruch{\pi}{180}= [/mm]
Ist das richtig?
Und wie gehe ich bei der zweiten Aufgabe vor?
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Hallo muaz,
das geht ja schon in der Aufgabenstellung ziemlich durcheinander zwischen (Alt-)Grad und Bogenmaß...
> Bestimme auf vier Dezimalzahlen genau alle x [mm]\in 0;2\pi[/mm]
Hier fehlen die Intervallklammern.
> für die gilt:
> a.) sin(x)=-0,27
> b.) cos(x)=0,64
>
> Welche Terme ergeben denselben Wert? Begründe ohne GTR.
>
> sin(30°)
> [mm]sin(\pi/4)[/mm]
> [mm]cos(-\pi/4)[/mm]
> [mm]cos(3\pi)[/mm]
> cos(0)
> [mm]cos(7\pi/3)[/mm]
> sin(90°)
> [mm]cos(\pi/4)[/mm]
>
> Bei der ersten Aufgabe habe ich soweit verstehen können,
> dass ich für 0=180° und für [mm]2\pi=360°[/mm] nehmen muss,
Tippfehler? [mm] 0\widehat{=}0^{\circ},\;\;\pi\widehat{=}180^{\circ},\;\;2\pi\widehat{=}360^{\circ}.
[/mm]
> gemäß dem Einheitskreis.
Genau, das ist die beste Anschauung.
> Und nun sin(x)=-0,27=-15,7°
Das zweite Gleichheitszeichen ist falsch. Schreibs so:
[mm] \sin{(x)}=-0,27 [/mm] wird z.B. gelöst von [mm] x=-15,664267^{\circ}
[/mm]
(es gibt ja mehrere Lösungen!) Außerdem solltest Du den Wert auf vier Dezimalzahlen bestimmen. Da sollten auch die Zwischenschritte nicht weniger gültige Ziffern haben, besser sogar mehr. Gerundet wird immer erst am Ende.
> dann [mm]180°+(-15,7°)*\bruch{\pi}{180}=[/mm]
> Ist das richtig?
Nein. Du sollst in Bogenmaß umrechnen!
[mm] -15,664267^{\circ}\widehat{=}2\pi-\br{15,664267}{180}*\pi
[/mm]
Jetzt ausrechnen, dann runden.
> Und wie gehe ich bei der zweiten Aufgabe vor?
Was weißt Du über den Verlauf der Funktionsgraphen von Sinus und Cosinus in [mm] [0;2\pi], [/mm] also über eine volle Periode?
Damit, und mit der Umrechnung von Gradzahl in Bogenmaß bzw. umgekehrt, kannst Du die Aufgabe leicht lösen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:59 Mo 10.02.2014 | | Autor: | muaz |
> [mm]\sin{(x)}=-0,27[/mm] wird z.B. gelöst von [mm]x=-15,664267^{\circ}[/mm]
> (es gibt ja mehrere Lösungen!)
Was meinst du damit?
( könnte ich bitte einen Verweis auf eine deutliche Erklärung haben evtl. auf einer Internetseite etc., denn ich komm bei diesem Thema durcheinander.)
> > dann [mm]180°+(-15,7°)*\bruch{\pi}{180}=[/mm]
> > Ist das richtig?
>
> Nein. Du sollst in Bogenmaß umrechnen!
>
> [mm]-15,664267^{\circ}\widehat{=}2\pi-\br{15,664267}{180}*\pi[/mm]
>
> Jetzt ausrechnen, dann runden.
Also der Bogenmaß wird ja nur in [mm] \pi [/mm] umgerechnet bzw. aufgeschrieben. Und du hast am Ende "multipliziert mit [mm] \pi" [/mm] geschrieben. Müsste ich dann die Lösung von [mm] 2\pi-\br{15,664267}{180}=0,0870 [/mm] so stehen lassen und das [mm] \pi [/mm] anfügen [mm] (=0,09\pi) [/mm] oder das Ergebnis mit [mm] \pi [/mm] multiplizieren [mm] (=0,27\pi) [/mm] und dann erst als mein Endergebnis stehen lassen?
> > Und wie gehe ich bei der zweiten Aufgabe vor?
>
> Was weißt Du über den Verlauf der Funktionsgraphen von
> Sinus und Cosinus in [mm][0;2\pi],[/mm] also über eine volle
> Periode?
Ich weiß, dass der Verlauf des sin-Graphen durch den Ursprung verläuft und bei 180° bzw. 360° eine Schnittstelle hat mit der x-Achse. Dies wäre im Bogenmaß bei [mm] \pi [/mm] und [mm] 2\pi. [/mm] Z.B. wäre sin (30°) = [mm] \bruch{\pi}{6}. [/mm] Aber diesen Bogenmaß habe ich in der Aufgabe 2 nicht stehen!? Kann ich bitte erfahren was [mm] \bruch{1}{2} [/mm] noch damit zutun hat, da ich bei sin(30°) auch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] bei der Tabelle von der Umrechnung vom Grad-ins Bogenmaß finde.?
> Damit, und mit der Umrechnung von Gradzahl in Bogenmaß
> bzw. umgekehrt, kannst Du die Aufgabe leicht lösen.
>
> Grüße
> reverend
Habe ich das so richtig verstanden?
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Hallo,
> > [mm]\sin{(x)}=-0,27[/mm] wird z.B. gelöst von [mm]x=-15,664267^{\circ}[/mm]
>
> > (es gibt ja mehrere Lösungen!)
> Was meinst du damit?
er meint damit deinen katastrophalen Umgang mit dem Gleichheitszeichen. Du kannst nicht einfach die Lösung einer Gleichung per Gleichheitszeichen hinten anhängen, das ist doch völlig sinnfrei.
>
> ( könnte ich bitte einen Verweis auf eine deutliche
> Erklärung haben evtl. auf einer Internetseite etc., denn
> ich komm bei diesem Thema durcheinander.)
Schulbuch?
>
> > > dann [mm]180°+(-15,7°)*\bruch{\pi}{180}=[/mm]
> > > Ist das richtig?
> >
> > Nein. Du sollst in Bogenmaß umrechnen!
> >
> > [mm]-15,664267^{\circ}\widehat{=}2\pi-\br{15,664267}{180}*\pi[/mm]
> >
> > Jetzt ausrechnen, dann runden.
>
> Also der Bogenmaß wird ja nur in [mm]\pi[/mm] umgerechnet bzw.
> aufgeschrieben. Und du hast am Ende "multipliziert mit [mm]\pi"[/mm]
> geschrieben. Müsste ich dann die Lösung von
> [mm]2\pi-\br{15,664267}{180}=0,0870[/mm] so stehen lassen und das
> [mm]\pi[/mm] anfügen [mm](=0,09\pi)[/mm] oder das Ergebnis mit [mm]\pi[/mm]
> multiplizieren [mm](=0,27\pi)[/mm] und dann erst als mein
> Endergebnis stehen lassen?
Du kannst es theoretisch so stehen lassen, wie du es herausbekommen hast. Wenn du jedoch (und das ist so üblich) in ein Vielfaches von [mm] \pi [/mm] umrechnen möchtest, dann musst du natürlich durch [mm] \pi [/mm] dividieren.
>
> > > Und wie gehe ich bei der zweiten Aufgabe vor?
> >
> > Was weißt Du über den Verlauf der Funktionsgraphen von
> > Sinus und Cosinus in [mm][0;2\pi],[/mm] also über eine volle
> > Periode?
>
> Ich weiß, dass der Verlauf des sin-Graphen durch den
> Ursprung verläuft und bei 180° bzw. 360° eine
> Schnittstelle hat mit der x-Achse. Dies wäre im Bogenmaß
> bei [mm]\pi[/mm] und [mm]2\pi.[/mm] Z.B. wäre sin (30°) = [mm]\bruch{\pi}{6}.[/mm]
Unsinn. 30° sind umgerechnet im Bogenmaß [mm] \pi/6. sin(30°)=sin(\pi/6)=1/2.
[/mm]
> Aber diesen Bogenmaß habe ich in der Aufgabe 2 nicht
> stehen!? Kann ich bitte erfahren was [mm]\bruch{1}{2}[/mm] noch
> damit zutun hat, da ich bei sin(30°) auch [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> bei der Tabelle von der Umrechnung vom Grad-ins Bogenmaß
> finde.?
Stelle bitte Fragen, die man verstehen kann. Es ist völlig unklar, wo hier dein Problem liegt (daher hat auch bisher niemand geantwortet). Mir scheint es so (aber das ist eine bloße Vermutung), dass du die Definitionen von Sinus und Kosinus sowie die Verläufe der beiden Schaubilder im Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] gut verinnerlicht hast, dass dir jedoch auf der anderen Seite die Sache mit dem Bogenmaß noch völlig unklar ist.
Das ist eine andere Art, Winkel zu messen, etwa so, wie die Messung von Längen in Kilometern oder amerikanischen Meilen. Weshalb man das macht, das ist nicht so einfach zu erklären, da benötigt man höhere Mathematik um die Notwendigkeit einzusehen. Überlege dir aber immerhin einmal, weshalb man im Alltag Winkel so misst, dass ein voller Kreis 360° misst. Kannst du dafür einen Grund angeben? Vermutlich nein (es hat etwas mit Mathematiggeschichte zu tun  ), aber du nimmst es so hin. Und genau so musst du das mit dem Bogenmaß tun, nur eben erst einmal verstehen, was man darunter versteht.
In Aufgabe 2 ist es wohl so, dass Winkel, die in Altgrad angegeben sind, mit dem Gradzeichen '°' versehen sind, die Winkel, die keines haben sind im Bogenmaß zu verstehen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Mo 10.02.2014 | | Autor: | muaz |
Hallo,
Schulbuch?
(Lambacher Schweizer 6, Seite 120)
Daraus habe ich zu Beginn aus dem Beispielen mein Versuch abgeleitet und es war offenbar falsch. Weshalb dies als falsch deklariert wurde, bleibt mir nach wie vor offen!
> > > > dann [mm]180°+(-15,7°)*\bruch{\pi}{180}=[/mm]
> > > > Ist das richtig?
> > >
> > > Nein. Du sollst in Bogenmaß umrechnen!
> > >
> > >
> [mm]-15,664267^{\circ}\widehat{=}2\pi-\br{15,664267}{180}*\pi[/mm]
> > >
> > > Jetzt ausrechnen, dann runden.
> >
> > Also der Bogenmaß wird ja nur in [mm]\pi[/mm] umgerechnet bzw.
> > aufgeschrieben. Und du hast am Ende "multipliziert mit
> [mm]\pi"[/mm]
> > geschrieben. Müsste ich dann die Lösung von
> > [mm]2\pi-\br{15,664267}{180}=0,0870[/mm] so stehen lassen und
> das
> > [mm]\pi[/mm] anfügen [mm](=0,09\pi)[/mm] oder das Ergebnis mit [mm]\pi[/mm]
> > multiplizieren [mm](=0,27\pi)[/mm] und dann erst als mein
> > Endergebnis stehen lassen?
>
> Du kannst es theoretisch so stehen lassen, wie du es
> herausbekommen hast. Wenn du jedoch (und das ist so
> üblich) in ein Vielfaches von [mm]\pi[/mm] umrechnen möchtest,
> dann musst du natürlich durch [mm]\pi[/mm] dividieren.
Was Stehen lassen? Mit Pi multipliziert?
> > > > Und wie gehe ich bei der zweiten Aufgabe vor?
> > >
> > > Was weißt Du über den Verlauf der Funktionsgraphen
> von
> > > Sinus und Cosinus in [mm][0;2\pi],[/mm] also über eine volle
> > > Periode?
> >
> > Ich weiß, dass der Verlauf des sin-Graphen durch den
> > Ursprung verläuft und bei 180° bzw. 360° eine
> > Schnittstelle hat mit der x-Achse. Dies wäre im
> Bogenmaß
> > bei [mm]\pi[/mm] und [mm]2\pi.[/mm] Z.B. wäre sin (30°) =
> [mm]\bruch{\pi}{6}.[/mm]
>
> Unsinn. 30° sind umgerechnet im Bogenmaß [mm]\pi/6. sin(30°)=sin(\pi/6)=1/2.[/mm]
>
> > Aber diesen Bogenmaß habe ich in der Aufgabe 2 nicht
> > stehen!? Kann ich bitte erfahren was [mm]\bruch{1}{2}[/mm] noch
> > damit zutun hat, da ich bei sin(30°) auch [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> > bei der Tabelle von der Umrechnung vom Grad-ins
> Bogenmaß
> > finde.?
>
> Stelle bitte Fragen, die man verstehen kann. Es ist völlig
> unklar, wo hier dein Problem liegt (daher hat auch bisher
> niemand geantwortet). Mir scheint es so (aber das ist eine
> bloße Vermutung), dass du die Definitionen von Sinus und
> Kosinus sowie die Verläufe der beiden Schaubilder im
> Intervall [mm][0;2\pi][/mm] gut verinnerlicht hast, dass dir jedoch
> auf der anderen Seite die Sache mit dem Bogenmaß noch
> völlig unklar ist.
Ja fast, also ich weiss das man am Einheitskreis vom Mittelpunkt betrachtet als Gradmaß und von außen betrachtet an der exakt selben Stelle wie am Gradmaß auch als Bogenmaß rechnen kann. Und dieser Bogenmaß ist stets mit Pi definiert.
Aber mein Problem ist, dass ich nicht weiss wie ich das beim Rechnen umsetze!?
Jetzt zitiere ich mal aus dem Schulbuch das erste Beispiel, genau da fängt schon für mich das Problem an:
(das ist nur ein kleiner Ausschnitt)
[mm] \alpha=180°+30°=210° [/mm] und
[mm] \beta=360°-30°=330°
[/mm]
bzw.
x1= [mm] 210°*\bruch{\pi}{180°}=\bruch{7\pi}{6} [/mm] ich erhalte am TR 3,66519
[mm] x2=330°*\bruch{\pi}{180°}=\bruch{11\pi}{6} [/mm] ich erhalte am TR 5,75958
Deshalb ist das Schulbuch für mich nicht nachvollziehbar!
> In Aufgabe 2 ist es wohl so, dass Winkel, die in Altgrad
> angegeben sind, mit dem Gradzeichen '°' versehen sind, die
> Winkel, die keines haben sind im Bogenmaß zu verstehen.
>
> Gruß, Diophant
Genau so habe ich es auch verstanden, nur habe ich für den ersten Wert sin(30°) keinen dazugehörigen Bogenmaß gefunden. Ist dieser dann ohne Bogenmaß bzw. in der Aufgabe nicht erwähnt?
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Hallo!
Bogen- und Gradmaß sind wie zwei unterschiedliche Währungen.
Winkel im Gradmaß erkennt man durch den Kringel [mm] $30^\circ$ [/mm] , Winkel im Bogenmaß haben das nicht.
Der Unterschied ist:
Winkel im Gradmaß gehen von 0° bis 360°, das ist schön anschaulich und hilft beim Kopfrechnen.
Winkel im Bogenmaß gehen von 0 bis [mm] 2\pi=6,283 [/mm] , was erstmal sehr unintuitiv ist.
Aber: Wenn du ein "Tortenstück" aus einem Kreis nimmst, kannst du dessen Bogenlänge einfach berechnen, indem du den Winkel mit dem Radius multiplizierst. Ein Vollkreis mit [mm] 2\pi [/mm] hat daher den Umfang [mm] $2\pi [/mm] r$
Das Bogemaß ist daher sehr viel natürlicher als das Gradmaß, wenngleich ein Winkel 0,785398 viel schlechter vorstellbar als 45° ist.
Man kann 0,785398 durch [mm] \pi [/mm] teilen und bekommt [mm] \frac{0,785398}{\pi}=\frac{1}{4} [/mm] Erweiterst du das wieder mit [mm] \pi, [/mm] erhälst du [mm] 0,785398=\frac{1}{4}\pi [/mm] . Wenn man das sieht, kommt man wieder drauf, daß das 45° entspricht.
Jetzt mal zu deinem Beispiel:
> x1= $ [mm] 210°\cdot{}\bruch{\pi}{180°}=\bruch{7\pi}{6} [/mm] $ ich erhalte am TR 3,66519
Nunja, [mm] \frac{3,66519}{\pi}=1,1\bar{6} [/mm] und [mm] \frac{7}{6}=1,1\bar{6} [/mm] . (Achtung, Periode-Strich über der 6)
Im Prinzip hättest du aber nur kürzen brauchen: [mm] \frac{210}{180}\pi=\frac{30*7}{30*6}\pi=\frac{7}{6}\pi [/mm]
Dein Taschenrechner lügt also nicht, er hat nur [mm] \frac{7}{6}\pi [/mm] weiter ausgerechnet.
> Genau so habe ich es auch verstanden, nur habe ich für den ersten Wert [mm] sin(30^\circ) [/mm] keinen dazugehörigen Bogenmaß gefunden. Ist dieser dann ohne Bogenmaß bzw. in der Aufgabe nicht erwähnt?
Vorsicht, das Ergebnis des Sinus ist kein Winkel, sondern eine einfache Zahl. Nur das, was im Sinus steht, ist ein Winkel:
[mm] \sin(30^\circ)=\sin(\frac{1}{6}\pi)=\sin(0,523)=\frac{1}{2}
[/mm]
(Ich merke nebenbei, das Forum erkennt das Sinuszeichen in Formeln nicht. Da muß man 30^\circ für [mm] $30^\circ$ [/mm] schreiben...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Di 11.02.2014 | | Autor: | muaz |
Hallo,
vielen Dank für die Erklärungen! Ich habe die Aufgaben soweit gelöst, allerdings tue ich mir noch schwer die Thematik zu begreifen. Ich mache folgende Fehler:
- Wenn ich (wie in der Aufgabe auch) so eine Aufgabe versuche zu lösen, dann weiss ich nicht wann ich [mm] \pi [/mm] nochmal multiplizieren muss oder ob ich bei der sin Taste den sin-^1 oder sin benutzen muss. Bisher habe ich das erst im Unterricht bemerkt als meine Lösungen nicht gestimmt haben. Wie kann ich das aber begreifen bzw. verinnerlichen?
Vielen Dank im Voraus
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Mi 12.02.2014 | | Autor: | chrisno |
Das mit dem mal [mm] $\pi$ [/mm] musst Du erklären.
Wenn Du einen Winkel hast und den Sinus suchst, musst Du sin drücken.
Wenn Du einen Wert hast und den Winkel suchst, musst Du [mm] $\sin^{-1}$ [/mm] drücken.
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