Sinusfunktion < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Mo 06.06.2011 | | Autor: | luna19 |
| Aufgabe | | Bestimme alle x [mm] ,-2\pi \le 2\pi,die [/mm] die Gleichung sin(x)=-0,8 näherungsweise erfüllen. |
Hallo
Ich habe Probleme mit der Aufgabe:
Es gibt vier Werte,zwei Werte gegen den Uhrzeigersinn und zwei Werte mit dem Uhrzeigersinn.
ich habe einen x-Wert mit dem Taschenrechner ausgerechnet
x=-0,9273
ich weiß nicht,wie ich weiter rechnen soll und warum mein Taschenrechner einen negativen Wert anzeigt.
Danke
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Ohje ohje du solltest dir dringend am Einheitskreis klar machen, was der Sinus geometrisch bedeutet und wo im Kreis der Sinus negative Werte annimmt!
> Bestimme alle x [mm],-2\pi \le 2\pi,die[/mm] die Gleichung
> sin(x)=-0,8 näherungsweise erfüllen.
> Hallo
Offenbar dürfen doch negative Werte laut des Definitionsbereiches vorkommen, was stört dich also an der Angabe deines TR? -2 [mm] \pi [/mm] ist etwas um die -6, also liegt dein Ergebnis voll im Rahmen des Erlaubten.
>
> Ich habe Probleme mit der Aufgabe:
>
> Es gibt vier Werte,zwei Werte gegen den Uhrzeigersinn und
> zwei Werte mit dem Uhrzeigersinn.
>
> ich habe einen x-Wert mit dem Taschenrechner ausgerechnet
>
> x=-0,9273
>
> ich weiß nicht,wie ich weiter rechnen soll und warum
> mein Taschenrechner einen negativen Wert anzeigt.
>
> Danke
Also fangen wir am besten bei 0 an. Der Sinus ist geometrisch die y-Koordinate deines Dreiecks im Einheitskreis, korrekt? Also die senkrechte Strecke. Wann ist diese negative? Doch wohl nur im 3. und 4. Quadranten, also zwischen [mm] \pi [/mm] und [mm] 2\pi. [/mm] In Winkelmaßen ausgedrückt wäre der Bereich von 0°-180° für positive Sinuswerte reserviert und ab 180° wird der Sinus negativ, bis er den Kreis schließt und ab 360° aufwärts wieder positive Werte annimmt. Soweit d'accord? Jetzt ist die Frage: Wie oft taucht denn ein Ergebnis im gesamten Einheitskreis auf? Dazu erstmal die Feststellung, dass trigonometrische Funktionen periodisch sind. Das heißt, sie nehmen immer wieder nach einer bestimmten Periode die selben Werte an. Bei der normalen Sinusfunktion ist die Periode [mm] 2\pi, [/mm] demnach wiederholt sich der Verlauf ab 360°. Aber auch innerhalb einer Periode nimmt der Sinus einen bestimmten Wert mehrfach an. Betrachten wir zunächst |x|. Also unabhängig vom Vorzeichen. Dann kommt aufgrund der Symmetrie ein Wert (außer 0 und 1) genau 4 Mal im Bereich von 0° bis 360° vor, korrekt? Warum ist dies so? Bildlich gesprochen kannst du vier mal dieselbe senkrechte Kathete in den Einheitskreis malen, einmal pro Quadrant. Jetzt ist aber nach einer Lösung mit gegebenem Vorzeichen gefragt. Von den 4 möglichen Lösungen fallen zwei aufgrund ihres positiven Vorzeichens weg. Wo kann der Sinus nur negative Werte annehmen?
Nachtrag: Angesichts des Def.-Bereiches muss man hier wohl tatsächlich 4 verschiedene Lösungen angeben, auch wenn zwei paarweise identisch sind, insofern als dass sie lediglich denselben Winkel aus zwei versch. Richtungen darstellen. Aber in der Tat gibt es 4 x-Werte, an denen die Funktion sin(x) im Intervall von [mm] $[-2\pi,2\pi]$ [/mm] den Wert -0,8 annimmt.
Jetzt sind wir wieder am Ausgangspunkt, denn wie der Einheitskreis schnell zeigt, können negative Werte für den sinus (!) nur im 3. und 4. Quadranten liegen. Jetzt wäre noch die Frage, was ein negativer Winkel bzw. ein negtativer x-Wert aussagt. Dazu musst du einfach rückwärts denken. -30°=330°. Das negative Vorzeichen kehrt einfach die Richtung um. -30° bedeutet gehe 30° im Uhrzeigersinn. Winkel sind aber per Definition gegen den Uhrzeigersinn definiert oder werden konventionsgemäß so gezeichnet. Du gehst ja auch im Einheitskreis bei 30° sozusagen 30° nach oben von der x-Achse aus gesehen. Dein x-Wert x=-0,9273 ist also dasselbe wie [mm] 2\pi-0,9273 \approx [/mm] 5,35588. Das in Winkel ausgedrückt ergibt: [mm] \alpha=$\bruch{5,35588}{2\pi}*360°=306°$
[/mm]
Du weißt ja, dass man statt einer Winkelangabe auch das Bogenmaß verwenden kann. Der Taschenrechner kann wahlweise das eine oder andere (Rad, Deg), als Ergebnis kann aber immer nur eine dimensionslose Zahl herauskommen, die Sinusfunktion gibt ja gerade das Verhältnis von Gegenkathete durch Hypothenuse an.
Da du aber nicht den Sinus eines Argumentes berechnest, sondern den Arcsin [mm] (sin^{-1}), [/mm] so hast du die Möglichkeit, das Ergebnis auch direkt als Winkel angezeigt zu bekommen (eben in Deg).
Daher gibt er dir eben -0,9273 aus, was 306° oder -54° wären (stark gerundet). Das stimmt mit unserer Überlegung überein, dass ein negativer Wert nur zwischen 180° und 360° liegen kann. Da 306° offenbar im 4. Quadranten liegt, brauchst du jetzt noch die Lösung des 3. Quadranten. Das solltest du schaffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mo 06.06.2011 | | Autor: | luna19 |
Danke für die ausführliche Antwort!!
[mm] \pi+5,35588=8,4974
[/mm]
180+54=234°
[mm] \pi-0,9273=2,2142
[/mm]
-180-(-54)=-126°
Danke
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Hallo Luna,
die Werte verstehe ich nicht ganz.
Es gibt nur zwei Lösungen, siehe Adamantins Erklärung.
Du kannst sie im (Alt-)Gradmaß oder im Bogenmaß angeben, dto.
> [mm]\pi+5,35588=8,4974[/mm]
Das entspräche etwa 487°, keine übliche Angabe. 8,49 ist größer als [mm] 2\pi. [/mm] Außerdem löst dieser Winkel die Aufgabe nicht!
> 180+54=234°
Das war die gesuchte 2. Lösung, wenn auch zu grob gerundet.
> [mm]\pi-0,9273=2,2142[/mm]
Das entspricht etwa 127°.
> -180-(-54)=-126°
Mir ist nicht klar, was Du da also rechnest, auch wenn die Werte irgendwie schon miteinander "verwandt" sind.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Mo 06.06.2011 | | Autor: | luna19 |
Ich habe das jetzt so verstanden,dass es 4 Werte gibt. 2 Werte liegen zwischen 180-360° und zwei Werte zwischen 0 und -180°
Ich weiß dass, -0,927 zwischen 0 und -180 liegen muss.
Wenn ich -0,927 zu [mm] 2\pi [/mm] addiere erhalte ich 5,356 .(also 307°)
Ich müsste [mm] \pi [/mm] zu 0,927 addieren(=4,07)und das sind 234°
Jetzt brauche ich noch einen Wert und zwar den zwischen 0 und -180°.
und den würde ich so [mm] ausrechnen:-\pi+0,927=-2,214(-127°)
[/mm]
Ich glaube ,ich habe Probleme die einzelnen Werte auszurechnen.
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> Ich habe das jetzt so verstanden,dass es 4 Werte gibt. 2
> Werte liegen zwischen 180-360° und zwei Werte zwischen 0
> und -180°
Völlig richtig, verzeih. Dir fehlt allerdings noch der 4. Wert. Streng genommen sind -30° und 330° auch keine zwei verschiedene Lösungen, vielleicht meinte das Reverend. Deshalb wird eine Lösung im normalen mathematischen Gebrauch auch immer zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] angegeben, weil jede Lösung natürlich sich im negativen wiederholt und damit keine neue darstellt. Wenn du aber wirklich einen Bereich von [mm] -2\pi [/mm] bis [mm] 2\pi [/mm] abdecken sollst, so hast du hier ausnahmsweise 4 Lösungen. Ich habe dir ja erklärt, dass -30° dasselbe ist wie +330°. Das Minuszeichen gibt dir doch nur die "Richtung" des Winkels an. Du hast einen Bereich von -360° bis +360° Dein TR hat dir das Bogenmaß -0,927 ausgespuckt und das ergibt einen Winkel von -53,11°. Dieser Winkel ist identisch mit 360°-53,11°=306,89°. Das ist eine Lösung. Willst du sie getrennt angeben, so kann man das tun (was hier wohl verlangt ist), aber es ist eine identische Lösung, man gibt den Winkel nur jeweils aus einer anderen Richtung an. Jetzt gibt es eine weitere im 3. Quadranten. Aufgrund der Symmetrie gilt hier [mm] \pi+0,927, [/mm] oder 180°+53,11°=233,11° oder eben -126°. Das ist deine zweite Lösung. Gut dein Definitionsbereich ist natürlich sehr merkwürdig.
Tatsächlich hättest du in deinem Definitionsbereich 4 Lösungen. Normalerweise wird der Def-Bereich von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm] angegeben oder von 0 bis [mm] 2\pi. [/mm] Da er bei dir zwei Perioden beträgt, also von [mm] -2\pi [/mm] bis [mm] 2\pi, [/mm] so gibt es in jedem Einheitskreis 2 Lösungen, damit 4 Lösungen insgesamt. Diese wären in negative Richtung deine -0,927 und [mm] 2\pi-(\pi+0,927)=\pi-0,927 [/mm] und das mit negativem Vorzeichen sind [mm] -\pi+0,927 [/mm] (einfach der negative Wert von -126,89° in Bogenmaß ausgedrückt). Jetzt in positive Richtung. Da wären es besagte 307°, das sind [mm] 2\pi-0,927=5,35 [/mm] und 233,11° sind [mm] \pi+0,927
[/mm]
>
>
> Ich weiß dass, -0,927 zwischen 0 und -180 liegen muss.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn ich -0,927 zu [mm]2\pi[/mm] addiere erhalte ich 5,356 .(also
> 307°)
dein erster Wert, den dir der TR gibt
>
> Ich müsste [mm]\pi[/mm] zu 0,927 addieren(=4,07)und das sind 234°
>
Ja, aber in positive Richtung. Das wäre jetzt dein zweiter Wert
>
> Jetzt brauche ich noch einen Wert und zwar den zwischen 0
> und -180°.
Den hast du doch als erstes berechnet. Bzw. in diesem Bereich liegen ja 2 Werte, der im 4. Quadranten, den hast du bereits, und den im dritten, also genauer zwischen -90° und -180°.
>
> und den würde ich so
> [mm]ausrechnen:-\pi+0,927=-2,214(-127°)[/mm]
auch korrekt.
>
>
> Ich glaube ,ich habe Probleme die einzelnen Werte
> auszurechnen.
Kein wunder, reverend hat wohl auch nicht den Definitionsbereich beachtet, jedenfalls musst du ganze 4 Werte angeben, die beiden positiven im 3. und 4. Quadranten und dieselben nochmal für den negativen Bereich. Ist das jetzt verständlich? ;)
Vielleicht nochmal zur Vorgehensweise:
1. Überlege dir, wie viele Stellen bzw. Lösungen du erwartest! Das kann man für die gegebenen Intervalle immer schnell anhand einer Skizze bestimmen. Hier ist klar: Es muss 4 Lösungen geben, jeweils im 3. und 4. Quadranten aber mit umgedrehten Vorzeichen.
2. Rechne mit dem TR eine Lösung aus, hier [mm] x_1=-0,927
[/mm]
3. Rechne das anschaulich in einen Winkel um, damit du es dir besser vorstellen kannst: -53°. Das bedeutet jetzt, du brauchst noch drei Lösungen.
4. Da -53° bereits im 4 Quadranten des Einheitskreises liegt, kannst du zunächst den im dritten Quadranten bestimmen. Das wäre dann [mm] -\pi, [/mm] also um -180° zurück, und dann den Winkel draufaddiert, also [mm] -\pi+0,927. [/mm] Dann hast du schonmal zwei der vier.
5. Überlege, welcher positive Winkel zu deinem Winkel gehört. Die -53° liegen im 4. Quadranten, der zugehörige positive Winkel wäre ja 360-53°=307°. Das ist deine gesuchte 3. Lösung im 4. Quadranten, allerdings jetzt eben positiv. Jetzt fehlt nur noch die 4. Lösung für den 3 Quadranten. Da wir den schon als Bogenmaß kennen, können wir den auch schnell in einen Winkel umrechnen. [mm] -\pi+0,927 [/mm] sind ja -126°. Und das sind 360°-126°=234°. Damit hast du jetzt alle Lösungen. Wenn du sie in Bogenmaß angeben willst,musst, so kannst du ja einfach mit der Formel [mm] \alpha=x/(2\pi)*360° [/mm] umrechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 Mo 06.06.2011 | | Autor: | perl |
Womit ich im Unterricht letztens großen Erfolg hatte:
http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/menl/Trigonometrische_Funktionen.html
Hier wird die Sinus-Funktion nochmal sehr schön veranschaulicht... Ich hoffe es hilft dir ein wenig weiter :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Mo 06.06.2011 | | Autor: | Adamantin |
Das ist wirklich ein tolles Spielzeug, vor allem, da er in Echtzeit zeichnet und man sozusagen live die Kurve erstellen kann. Allerdings bleibt ein Wermutstropfen: Negative Winkel kann auch dieses Spielzeug nicht (oder?), er beginnt im Negativen ja sofort mit einem Winkel etwas kleiner als 360°. Aber schön ist es trotzdem ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Di 07.06.2011 | | Autor: | luna19 |
danke, das ist sehr anschaulich!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Di 07.06.2011 | | Autor: | luna19 |
Danke vielmals , ich habe es endlich verstanden :)
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also kann man mir das jemand mit dem Einheitskreis und sinusfunktion ,cosinusfunktion in einfachen worte für dumme erklären?Bitte!
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Icj habe mir oben alles mehrmals angeschaut,aber wie man die verschieden Werte findet habe ich vor allem im negativen Berreich nicht verstanden.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:56 Di 07.06.2011 | | Autor: | confusedgirl |
Wie kommt man eigentlich darauf,dass wenn man im 4.Quandraten eine Lösung haben will 360-x rechnen muss,und für eine Lösung im 3.quandraten 180 PLUS x rechen muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Di 07.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> also kann man mir das jemand mit dem Einheitskreis und
> sinusfunktion ,cosinusfunktion in einfachen worte für
> dumme erklären?Bitte!
Schau dir das schon erwähnte ![[]](/images/popup.gif) Geogebra-Arbeitsblatt an. Wenn du mit der Maus den gelben Punkt entlang des Einheitskreises verschiebst, siehst du, wie sich Sinus und Cosinus verändern.
> Icj habe mir oben alles mehrmals angeschaut,aber wie man die verschieden Werte findet
> habe ich vor allem im negativen Berreich nicht verstanden.
Im ersten und zweiten Quadranten ist der Sinus positiv, denn der gelbe Punkt liegt oberhalb der x-Achse, also ist die Strecke von der x-Achse zu diesem Punkt positiv zu rechnen. Im dritten und vierten Quadranten liegt der gelbe Punkt unterhalb der x-Achse, also die Strecke von negativ.
Für den Cosinus ist es die Strecke zwischen O und dem gelben Punkt, und die ist im 1. und 4. Quadranten positiv und um 2. und 3. Quadranten negativ.
> Wie kommt man eigentlich darauf,dass wenn man im 4.Quandraten eine Lösung haben will
> 360-x rechnen muss,und für eine Lösung im 3.quandraten 180 PLUS x rechen muss?
Da verstehe ich nicht ganz, was du meinst. Ich vermute, du fragst, warum die negativen und die positiven Werte gerade so zusammenhängen. Nimm irgendeinen Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] im 1. Quadranten. Wenn du das Dreieck um 180 Grad um den Nullpunkt drehst, was passiert? Das Dreieck wird in den 3. Quadranten gedreht; aus dem Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] wird der Winkel [mm] $180^\circ+\alpha$, [/mm] und Sinus und Cosinus wechseln das Vorzeichen.
OK, jetzt eine ähnliche Überlegung für den 4. Quadranten: Fang wieder mit einem Dreieck mit Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] im 1. Quadranten an. Diesmal spiegelst du das Dreieck an der x-Achse. Ergebnis: Das gespiegelte Dreieck liegt im 4. Quadranten; der neue Winkel ist [mm] $360^\circ -\alpha$, [/mm] der Sinus ändert sein Vorzeichen und der Cosinus bleibt gleich.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Mo 06.06.2011 | | Autor: | Adamantin |
Hatte mich in meinem ersten Post ebenfalls vertan. Da der Def.-Bereich bzw. das zu betrachtende Intervall, sofern Angabe korrekt, ja [mm] -2\pi [/mm] bis [mm] 2\pi [/mm] sind, so gibt es ja doch ganze vier Lösungen. Trotzdem ist deine Anmerkung insoweit korrekt, als dass ihr eine Lösung fehlt ;)
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