Sinussatz --- stumpfer Winkel < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 So 21.02.2010 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | In einem Dreieck ABC sind gegeben...
[mm] \alpha [/mm] = 13°
a = 20,54 cm , b = 41,33 cm , c = 58,54 cm
sowie eine Skizze.
Für weitere Berechnungen braucht man u.a. den Winkel [mm] \gamma. [/mm]
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Meine Frage,
wenn ich den Winkel [mm] \gamma [/mm] mit dem Sinussatz berechne, erhalte ich einen spitzen Winkel; laut Skizze handelt es sich aber bei [mm] \gamma [/mm] um einen stumpfen Winkel?
Woran liegt das? Wie müsste ich ohne Sikzze vorgehen, um den "richtigen" Winkel zu erhalten??? Oder kann ich anders erkennen wann der errechnete spitze Winkel die korrekte Lösung ist, und wann der stumnpfe?
[mm] \bruch{sin (\alpha)}{a} [/mm] = [mm] \bruch{sin (\gamma)}{c}
[/mm]
[mm] sin(\gamma) [/mm] = [mm] \bruch{sin (13 ° )}{20,54}*58,54
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] = 39,88° tatsächlich aber: 180° - 39,88° = 140,12°
danke & gruß
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> In einem Dreieck ABC sind gegeben...
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> [mm]\alpha[/mm] = 13°
>
> a = 20,54 cm , b = 41,33 cm , c = 58,54 cm
>
> sowie eine Skizze.
>
> Für weitere Berechnungen braucht man u.a. den Winkel
> [mm]\gamma.[/mm]
>
>
> Meine Frage,
>
> wenn ich den Winkel [mm]\gamma[/mm] mit dem Sinussatz berechne,
> erhalte ich einen spitzen Winkel; laut Skizze handelt es
> sich aber bei [mm]\gamma[/mm] um einen stumpfen Winkel?
>
> Woran liegt das? Wie müsste ich ohne Sikzze vorgehen, um
> den "richtigen" Winkel zu erhalten??? Oder kann ich anders
> erkennen wann der errechnete spitze Winkel die korrekte
> Lösung ist, und wann der stumnpfe?
>
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> [mm]\bruch{sin (\alpha)}{a}[/mm] = [mm]\bruch{sin (\gamma)}{c}[/mm]
>
> [mm]sin(\gamma)[/mm] = [mm]\bruch{sin (13 ° )}{20,54}*41,33[/mm]
>
> [mm]\gamma[/mm] = 26,91° tatsächlich aber: 180° - 26,91° =
> 153,09°
>
>
> danke & gruß
Hallo Wolfgang,
wenn man einen Dreieckswinkel mit dem Sinussatz berechnet,
ist immer Vorsicht geboten, weil es eben zu einem Sinuswert s ,
der zwischen 0 und 1 liegt, immer zwei mögliche Dreiecks-
winkel gibt, nämlich den spitzen Winkel, den man mit arcsin(s)
bekommt, und den stumpfen Winkel 180°-arcsin(s).
Im vorliegenden Beispiel ist z.b. c klar die längste Dreiecks-
seite, der ihr gegenüber liegende Winkel [mm] \gamma [/mm] muss deshalb auch
der größte Winkel des Dreiecks sein. Mit [mm] \alpha=13^{\circ} [/mm] , [mm] \gamma\approx27^{\circ} [/mm] und einem
dazwischen liegenden Winkel [mm] \beta [/mm] käme man aber niemals auf
die Winkelsumme 180°. Deshalb muss man für [mm] \gamma [/mm] den größeren
der beiden zunächst "möglichen" Werte nehmen. Eine Zeichnung
klärt die Situation natürlich auch.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:16 So 21.02.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Wolfgang,
ein numerischer Hinweis noch: Für c hast Du die verkehrte Seitenlänge eingesetzt.
Gruß,
Infinit
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> Hallo Wolfgang,
> ein numerischer Hinweis noch: Für c hast Du die verkehrte
> Seitenlänge eingesetzt. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Gruß,
> Infinit
Nein,
die Gleichung war schon richtig umgestellt.
LG Al-Chw.
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