Ska. lin. DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Do 29.01.2015 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende Anfangswert- bzw. Randwert-Problem mittels der charakteristischen Gleichung.
a) x``(t) + [mm] 20\dot{x}(t) [/mm] = -100x ,x(0) = 0, x(2) = 3
Ich weiß nicht wie ich 2 Punkte auf das x bekomme
b) x´´(t) + [mm] 2\dot{x}(t) [/mm] = -10x - [mm] e^{3t} [/mm] ,x(0) = [mm] \bruch{-1}{25}, \dot{x}(0) [/mm] = [mm] \bruch{-3}{25} [/mm] |
Hi zusammen,
ich habe bei a) mal angefangen.
x''(t) + [mm] 20\dot{x}(t) [/mm] + 100x = 0
Nun berechne ich die Nullstellen:
[mm] \lambda^{2} [/mm] + [mm] 20\lambda [/mm] + 100 = 0
-> [mm] \lambda [/mm] = -10
Es existiert 1 reelle Lösung [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
[mm] x_{1}(t) [/mm] = [mm] e^{\lambda*t}, x_{2}(t) [/mm] = [mm] t*e^{\lambda*t}
[/mm]
[mm] x_{1}(t) [/mm] = [mm] e^{-10t} [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] = [mm] te^{-10t}
[/mm]
-> x(t) = [mm] c_{1}e^{-10t} [/mm] + [mm] c_{2}te^{-10t}
[/mm]
Muss ich jetzt einmal x(0) = 0 & einmal x(2) = 3 einsetzen?
Dann habe ich 2 Gleichung und könnte dann [mm] c_{1} [/mm] & [mm] c_{2} [/mm] berechnen.
Dann [mm] c_{1} [/mm] & [mm] c_{2} [/mm] in x(t) = [mm] c_{1}e^{-10t} [/mm] + [mm] c_{2}te^{-10t} [/mm] einsetzen und dann habe ich die Lösung, oder ?
Danke für die Hilfe im voraus
Vielleicht kann mir jemand zeigen wie 2 Punkte auf ein x bringt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Do 29.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie folgende Anfangswert- bzw. Randwert-Problem
> mittels der charakteristischen Gleichung.
>
> a) x''(t) + [mm]20\dot{x}(t)[/mm] = -100x ,x(0) = 0, x(2) = 3
> Ich weiß nicht wie ich 2 Punkte auf das x bekomme
>
> b) x´´(t) + [mm]2\dot{x}(t)[/mm] = -10x - [mm]e^{3t}[/mm] ,x(0) =
> [mm]\bruch{-1}{25}, \dot{x}(0)[/mm] = [mm]\bruch{-3}{25}[/mm]
> Hi zusammen,
>
> ich habe bei a) mal angefangen.
>
> x''(t) + [mm]20\dot{x}(t)[/mm] + 100x = 0
>
> Nun berechne ich die Nullstellen:
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] + [mm]20\lambda[/mm] + 100 = 0
> -> [mm]\lambda[/mm] = -10
>
> Es existiert 1 reelle Lösung [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>
> [mm]x_{1}(t)[/mm] = [mm]e^{\lambda*t}, x_{2}(t)[/mm] = [mm]t*e^{\lambda*t}[/mm]
> [mm]x_{1}(t)[/mm] = [mm]e^{-10t}[/mm] , [mm]x_{2}[/mm] = [mm]te^{-10t}[/mm]
>
> -> x(t) = [mm]c_{1}e^{-10t}[/mm] + [mm]c_{2}te^{-10t}[/mm]
>
> Muss ich jetzt einmal x(0) = 0 & einmal x(2) = 3
> einsetzen?
Nein. Bisher hast Du nur die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung bestimmt.
Bestimme nun die allg. Lösung der inhomogenen Gleichung .
Erst dann setze die Randwerte ein.
FRED
> Dann habe ich 2 Gleichung und könnte dann [mm]c_{1}[/mm] & [mm]c_{2}[/mm]
> berechnen.
> Dann [mm]c_{1}[/mm] & [mm]c_{2}[/mm] in x(t) = [mm]c_{1}e^{-10t}[/mm] +
> [mm]c_{2}te^{-10t}[/mm] einsetzen und dann habe ich die Lösung,
> oder ?
>
> Danke für die Hilfe im voraus
> Vielleicht kann mir jemand zeigen wie 2 Punkte auf ein x
> bringt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Do 29.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
um ehrlich zu sein dachte ich das ich hier eine homogene DGL 2. Ordnung habe.
Ich habe doch zu x´´(t) + [mm] 20\dot{x}(t) [/mm] + 100x = 0 umgeformt.
Damit habe ich doch keinen Störfaktor, oder ?
Oder ist 100x hier mein Störfaktor?
Ich stehe etwas auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Do 29.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> um ehrlich zu sein dachte ich das ich hier eine homogene
> DGL 2. Ordnung habe.
>
> Ich habe doch zu x´´(t) + [mm]20\dot{x}(t)[/mm] + 100x = 0
> umgeformt.
>
> Damit habe ich doch keinen Störfaktor, oder ?
>
> Oder ist 100x hier mein Störfaktor?
Puhh ! Du hast recht. Ich hab nicht genau hingesehen.
Klar: die DGL ist eine homogene.
FRED
> Ich stehe etwas auf dem Schlauch.
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Do 29.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
dann mache ich mal weiter wo ich gewesen bin.
Ich habe x(t) = [mm] c_{1}e^{-10t} [/mm] + [mm] c_{2}te^{-10t}
[/mm]
Jetzt setze ich x(0)=0 ein:
0 = [mm] c_{1}e^{-10*0} [/mm] + [mm] c_{2} [/mm] * 0 * [mm] e^{-10*0} [/mm] = [mm] c_{1}
[/mm]
Jetzt verwende ich x(2)=3 und [mm] c_{1}=0
[/mm]
3 = 0 * [mm] e^{-10*2} [/mm] + [mm] c_{2} [/mm] * 2 * [mm] e^{-10*2} [/mm] = 2 * [mm] c_{2} [/mm] * [mm] e^{-20}
[/mm]
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2*e^{-20}} [/mm] = [mm] \bruch{3*e^{20}}{2}
[/mm]
Jetzt setze ich [mm] c_{1} [/mm] & [mm] c_{2} [/mm] in x(t) = [mm] c_{1}e^{-10t} [/mm] + [mm] c_{2}te^{-10t} [/mm] ein:
x(t) = 0 * [mm] e^{-10t} [/mm] + [mm] \bruch{3*e^{20}}{2} [/mm] * t * [mm] e^{-10t} [/mm] = [mm] \bruch{3 * t * e^{20-10t}}{2}
[/mm]
Ich denke damit habe ich Aufgabenteil a) gelöst, oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Fr 30.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> dann mache ich mal weiter wo ich gewesen bin.
>
> Ich habe x(t) = [mm]c_{1}e^{-10t}[/mm] + [mm]c_{2}te^{-10t}[/mm]
>
> Jetzt setze ich x(0)=0 ein:
> 0 = [mm]c_{1}e^{-10*0}[/mm] + [mm]c_{2}[/mm] * 0 * [mm]e^{-10*0}[/mm] = [mm]c_{1}[/mm]
>
> Jetzt verwende ich x(2)=3 und [mm]c_{1}=0[/mm]
> 3 = 0 * [mm]e^{-10*2}[/mm] + [mm]c_{2}[/mm] * 2 * [mm]e^{-10*2}[/mm] = 2 * [mm]c_{2}[/mm] *
> [mm]e^{-20}[/mm]
> [mm]c_{2}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2*e^{-20}}[/mm] = [mm]\bruch{3*e^{20}}{2}[/mm]
>
> Jetzt setze ich [mm]c_{1}[/mm] & [mm]c_{2}[/mm] in x(t) = [mm]c_{1}e^{-10t}[/mm] +
> [mm]c_{2}te^{-10t}[/mm] ein:
>
> x(t) = 0 * [mm]e^{-10t}[/mm] + [mm]\bruch{3*e^{20}}{2}[/mm] * t * [mm]e^{-10t}[/mm] =
> [mm]\bruch{3 * t * e^{20-10t}}{2}[/mm]
>
> Ich denke damit habe ich Aufgabenteil a) gelöst, oder ?
Ja, das hast Du.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Vielen Dank für die Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Do 29.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
nun komme ich zu b).
Hier nochmal die Aufgabe:
x''(t) + [mm] 2\dot{x}(t) [/mm] = -10x - [mm] e^{3t} [/mm] , x(0) = [mm] \buch{-1}{25}, \dot{0} [/mm] = [mm] \bruch{-3}{25}
[/mm]
Ich stelle zunächst die 100 x rüber um die Nullstellen zu berechnen.
x''(t) + [mm] 2\dot{x}(t) [/mm] + 10x = - [mm] e^{3t}
[/mm]
[mm] \lambda^{2} [/mm] + [mm] 2\lambda [/mm] + 10 = 0
Ich habe dann -1 [mm] \pm \wurzel{-9}
[/mm]
Also negative Wurzeln kenne ich noch ein wenig von den komplexen Zahlen.
Habe ich also,
[mm] \lambda_{1} [/mm] = -1 + 3i
[mm] \lambda_{2} [/mm] = -1 - 3i ?
Das kommt mir etwas komisch vor.
Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:39 Fr 30.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> nun komme ich zu b).
> Hier nochmal die Aufgabe:
>
> x''(t) + [mm]2\dot{x}(t)[/mm] = -10x - [mm]e^{3t}[/mm] , x(0) =
> [mm]\buch{-1}{25}, \dot{0}[/mm] = [mm]\bruch{-3}{25}[/mm]
>
> Ich stelle zunächst die 100 x rüber um die Nullstellen zu
> berechnen.
>
> x''(t) + [mm]2\dot{x}(t)[/mm] + 10x = - [mm]e^{3t}[/mm]
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] + [mm]2\lambda[/mm] + 10 = 0
>
> Ich habe dann -1 [mm]\pm \wurzel{-9}[/mm]
>
> Also negative Wurzeln kenne ich noch ein wenig von den
> komplexen Zahlen.
>
> Habe ich also,
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = -1 + 3i
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = -1 - 3i ?
>
> Das kommt mir etwas komisch vor.
Es ist doch alles bestens !
> Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen.
Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet also:
[mm] x(t)=c_1e^{-t}cos(3t)+c_2e^{-t}sin(3t).
[/mm]
Jetzt bestimme eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Bindl |
> Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet
> also:
>
> [mm]x(t)=c_1e^{-t}cos(3t)+c_2e^{-t}sin(3t).[/mm]
>
Müsste die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung nicht
[mm] x(t)=c_1e^{-t}cos(-3t)+c_2e^{-t}sin(3t)
[/mm]
lauten, da ja [mm] \lambda_{1} [/mm] = -1 - 3i ist ?
Es ist doch für [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] i -> [mm] e^{\alpha t} [/mm] * [mm] cos(\beta [/mm] t). [mm] \alpha [/mm] ist ja hier -1 und deswegen [mm] e^{-t} [/mm] und [mm] \beta [/mm] ist -3 und müsste es dann nicht cos(-3t) sein ?
Danke für die Hilfe im voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Fr 30.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
cos(-3t)=cos(3t) aber auch sonst ist das egal aus [mm] e^{it} [/mm] und [mm] e^{-it} [/mm] entsteht durch Linearkombination cos(t) und sin(t) oder cos(-t) und sin(-t)
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Das stimmt natürlich. Danke für den Hinweis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
ich komme nun mal zum Störfaktor.
Der Störfaktor ist hier [mm] -e^{3t}.
[/mm]
Also eine Exponentialfunktion: g(x) = [mm] e^{ct} [/mm]
Hier ist c keine Lösung der charakteristischen Gleichung, da c=3 und [mm] \lambda{1,2} [/mm] = -1 [mm] \pm [/mm] 3i.
Also ist [mm] y_{p} [/mm] = A * [mm] e^{ct}.
[/mm]
Nur ab hier komme ich nicht mehr weiter.
Was ist denn hier der Parameter A, bzw. wie habe ich hier denn nun weiter vorzugehen ?
Habe mir einige Erklärungen durchgelesen und auch das ein oder andere Beispiel, nur komme ich nicht wirklich drauf was ich nun zu machen habe.
Danke für die Hilfe im voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Fr 30.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo [mm] y_p [/mm] in die dgl einsetzen und daraus A bestimmen.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Hi,
also ich habe [mm] x_{p} [/mm] = A [mm] (-e^{3t}) [/mm] = [mm] -Ae^{3t}
[/mm]
-> [mm] \dot{x}_{p} [/mm] = [mm] -3Ae^{3t} [/mm] & x``_{p} = [mm] -9Ae^{3t}
[/mm]
x``_{p} + [mm] 2\dot{x} [/mm] + [mm] 10x_{p} [/mm] = [mm] -e^{3t}
[/mm]
[mm] -9Ae^{3t} [/mm] - [mm] 6Ae^{3t} [/mm] - [mm] 10Ae^{3t} [/mm] = [mm] -e^{3t}
[/mm]
9A + 6A + 10A = 1
25A = 1
A = [mm] \bruch{1}{25}
[/mm]
Ist das soweit korrekt ?
Jetzt die allgemeine Lösung:
x(t) = [mm] x_{0}(t) [/mm] + [mm] x_{p}(t) [/mm] = [mm] c_{1}e^{-t}cos(3t) [/mm] + [mm] c_{2}e^{-t}sin(3t) [/mm] - [mm] \bruch{1}{25}e^{3t}
[/mm]
Jetzt habe ich x(0) = [mm] \bruch{-1}{25} [/mm] und ich habe [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2}. [/mm] Beide kann ich ja so nicht bestimmen. Es ist ja auch noch [mm] \dot{x}(0) [/mm] = [mm] \bruch{-3}{25} [/mm] gegeben und sicherlich nicht ohne Grund.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Fr 30.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein A ist richtig
du musst immer beide Anfangsbedingungen einsetztn, also deine Lösung differenzieren und dann x'(0) einsetzen
genau wie mit x(0)
dann hast du 2 lineare gl. mit den 2 Unbekannten [mm] C_1 [/mm] und C:2
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Bindl |
> Hallo
> dein A ist richtig
> du musst immer beide Anfangsbedingungen einsetztn, also
> deine Lösung differenzieren und dann x'(0) einsetzen
> genau wie mit x(0)
> dann hast du 2 lineare gl. mit den 2 Unbekannten [mm]C_1[/mm] und
> C:2
> Gruß leduart
Danke für den Hinweis.
x(t) = [mm] c_{1}e^{-t}cos(3t) [/mm] + [mm] c_{2}e^{-t}sin(3t) [/mm] - [mm] \bruch{1}{25}e^{3t}
[/mm]
[mm] \dot{x}(t) [/mm] = [mm] (-(3c_{1}e^{-t}sin(3t))-c_{1}e^{-t}cos(3t)) [/mm] + [mm] (3c_{2}e^{-t}cos(3t)-c_{2}e^{-t}sin(3x)) [/mm] - [mm] (\bruch{3e^{3t}}{25})
[/mm]
Jetzt x(0) = [mm] \bruch{-1}{25} [/mm] in x(t)
[mm] \bruch{-1}{25} [/mm] = [mm] c_{1}e^{-0}cos(0) [/mm] + [mm] c_{2}e^{-0}sin(0) [/mm] - [mm] \bruch{1}{25}e^{0} [/mm] = [mm] c_{1} [/mm] + 0 - [mm] \bruch{1}{25} [/mm] -> [mm] c_{1} [/mm] = 0
Jetzt [mm] \dot{0} [/mm] = [mm] \bruch{-3}{25} [/mm] in [mm] \dot{x}(t)
[/mm]
[mm] \bruch{-3}{25} [/mm] = [mm] (-(3*0*e^{-0}sin(0))-0*e^{-0}cos(0)) [/mm] + [mm] (3c_{2}e^{-0}cos(0)-c_{2}e^{-0}sin(0)) [/mm] - [mm] \bruch{3e^{0}}{25} [/mm] = (-0-0) + [mm] (3c_{2}-0) [/mm] - [mm] \bruch{3}{25} [/mm] = [mm] 3c_{2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{25} [/mm] -> [mm] c_{2} [/mm] = 0
x(t) = [mm] -\bruch{1}{25}e^{3t}
[/mm]
Der homogene Part fällt weg, da [mm] c_{1}=c_{2}=0.
[/mm]
Damit habe ich die Aufgabe gelöst, richtig ?
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Hallo Bindl,
> > Hallo
> > dein A ist richtig
> > du musst immer beide Anfangsbedingungen einsetztn, also
> > deine Lösung differenzieren und dann x'(0) einsetzen
> > genau wie mit x(0)
> > dann hast du 2 lineare gl. mit den 2 Unbekannten [mm]C_1[/mm]
> und
> > C:2
> > Gruß leduart
> Danke für den Hinweis.
>
> x(t) = [mm]c_{1}e^{-t}cos(3t)[/mm] + [mm]c_{2}e^{-t}sin(3t)[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{25}e^{3t}[/mm]
>
> [mm]\dot{x}(t)[/mm] = [mm](-(3c_{1}e^{-t}sin(3t))-c_{1}e^{-t}cos(3t))[/mm] +
> [mm](3c_{2}e^{-t}cos(3t)-c_{2}e^{-t}sin(3x))[/mm] -
> [mm](\bruch{3e^{3t}}{25})[/mm]
>
> Jetzt x(0) = [mm]\bruch{-1}{25}[/mm] in x(t)
> [mm]\bruch{-1}{25}[/mm] = [mm]c_{1}e^{-0}cos(0)[/mm] + [mm]c_{2}e^{-0}sin(0)[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{25}e^{0}[/mm] = [mm]c_{1}[/mm] + 0 - [mm]\bruch{1}{25}[/mm] -> [mm]c_{1}[/mm] =
> 0
>
> Jetzt [mm]\dot{0}[/mm] = [mm]\bruch{-3}{25}[/mm] in [mm]\dot{x}(t)[/mm]
> [mm]\bruch{-3}{25}[/mm] = [mm](-(3*0*e^{-0}sin(0))-0*e^{-0}cos(0))[/mm] +
> [mm](3c_{2}e^{-0}cos(0)-c_{2}e^{-0}sin(0))[/mm] - [mm]\bruch{3e^{0}}{25}[/mm]
> = (-0-0) + [mm](3c_{2}-0)[/mm] - [mm]\bruch{3}{25}[/mm] = [mm]3c_{2}[/mm] -
> [mm]\bruch{3}{25}[/mm] -> [mm]c_{2}[/mm] = 0
>
> x(t) = [mm]-\bruch{1}{25}e^{3t}[/mm]
>
> Der homogene Part fällt weg, da [mm]c_{1}=c_{2}=0.[/mm]
>
> Damit habe ich die Aufgabe gelöst, richtig ?
>
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Fr 30.01.2015 | | Autor: | Bindl |
Danke für die zahlreiche Hilfe.
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