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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Mo 31.10.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Gegeben seien die Vektoren [mm] \vec{x}, \vec{y} \in \IR^n [/mm] mit [mm] <\vec{x},\vec{z}>=<\vec{y},\vec{z}> [/mm] für jeden beliebigen Vektor [mm] \vec{z}\in\IR^n. [/mm] Folgt dann, dass [mm] \vec{x}=\vec{y}? [/mm] |
Guten Tag. Also ich habe die gleiche Aufgabe für EINEN Vektor [mm] \vec{z} [/mm] gelöst und zwar in dem ich mein einem Gegenbeispiel wiederlegt habe.
Meine Überlegung hierzu: Ich nehme für [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] den gleichen Vektor, z.B. 1 1 1 (btw: ic hseh hier unten nur einen [mm] \IR^2 [/mm] Vektor, gibt es auch einen [mm] \IR^3 [/mm] Vektor?) und bilde das Skalarprodukt:
[mm] 1*\vec{z}+1*\vec{z}+1*\vec{z}=1*\vec{z}+1*\vec{z}+1*\vec{z}
[/mm]
Dann hab ichs doch schon bewiesen oder?
Danke
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moin durden,
Soll $< [mm] \cdot [/mm] , [mm] \cdot [/mm] >$ das Standardskalarprodukt sein?
Wenn ja ist die Aussage wahr, deswegen würde mich gerne mal dein Gegenbeispiel interessieren... xD
Und was genau du da bewiesen haben willst ist auch so eine Frage...
Also, erzähl erstmal ob du die Aussage nun zeigen oder widerlegen möchtest, poste ggf. mal dein Gegenbeispiel und dann sehen wir weiter. ;)
lg
Schadow
PS:
Bei dem 2D-Vektor einfach noch eine dritte Koordinate einfügen, also so:
\vektor{x \\ y \\ z}
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mo 31.10.2011 | | Autor: | durden88 |
Für einen Vektor [mm] \vec{z} [/mm] kann man eintragen
[mm] \vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ -1} [/mm] , [mm] \vec{y}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 0} ,\vec{z}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm]
Dann bekommt man für [mm] <\vec{x},\vec{z}>=-1 [/mm] und für [mm] <\vec{y}, \vec{z}>=-1 [/mm] .
Aber da [mm] \vec{x} [/mm] ungleich [mm] \vec{y} [/mm] ist die aussage widerlegt. So und nun soll für jeden beliebigen Vektor [mm] \vec{z} [/mm] bewiesen werden und das habe ich versucht.
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> Für einen Vektor [mm]\vec{z}[/mm] kann man eintragen
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> [mm]\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ -1}[/mm] , [mm]\vec{y}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 0} ,\vec{z}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Dann bekommt man für [mm]<\vec{x},\vec{z}>=-1[/mm] und für
> [mm]<\vec{y}, \vec{z}>=-1[/mm] .
>
> Aber da [mm]\vec{x}[/mm] ungleich [mm]\vec{y}[/mm] ist die aussage widerlegt.
Nein, ist sie nicht.
Die Aussage lautet: Wenn für alle z gilt: $<x,z> = <y,z>$ so folgt daraus, dass $x=y$.
Du hast gezeigt:
Es gibt $x [mm] \not= [/mm] y$ so, dass $<x,z> = <y,z>$.
Das ist aber nicht die logische Verneinung und auch kein Gegenbeispiel, somit hast du damit leider nix gezeigt.
> So und nun soll für jeden beliebigen Vektor [mm]\vec{z}[/mm]
> bewiesen werden und das habe ich versucht.
Jain.
Du sollst zeigen:
Wenn, egal was du für z einsetzt, immer das selbe rauskommt, dann müssen schon x und y gleich gewesen sein.
Setze dafür für z am besten mal ein paar ganz bestimmte Vektoren ein.
Welche Vektoren mit vielen sehr schönen Eigenschaften kennst du, die hier nützlich sein könnten?
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Mo 31.10.2011 | | Autor: | durden88 |
Also ich schwöre für EINEN Vektor z haben wir da so in der Übung besprochen und es wurde uns so vorgestellt.
Ja schöne Vektoren wären Vektoren [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] oder [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\1} [/mm] etc. und dann wär das korrekt...aber was hilft mir das weiter?
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Hmm, ne, es gibt noch schönere Vektoren.^^
Setz zum Beispiel mal [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}$ [/mm] ein und guck was da rauskommt.
Das dürfte dir einen gewissen Ansatzpunkt geben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Di 01.11.2011 | | Autor: | durden88 |
Ja dann is klar, dass der erste Term beim Skalarprodukt bleibt. Sowieso wird doch immer der gleiche Term der Addition im Skalarprodukt auf beiden Seiten mit dem Gleichen Faktor von [mm] \vec{z} [/mm] multiplizert, also ist es immer nur abhängig von [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{y} [/mm] und daher stimmt die Aussage oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Di 01.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich lasse die Pfeile mal weg.
Wir haben: x,y fest und es gilt:
<x,z>=<y,z> für alle z [mm] \in \IR^n.
[/mm]
Dann: <x-y,z>=0 für alle z [mm] \in \IR^n.
[/mm]
Dann gilt auch <x-y,x-y>=0 . Was folgt ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Di 01.11.2011 | | Autor: | durden88 |
> Ich lasse die Pfeile mal weg.
>
> Wir haben: x,y fest und es gilt:
>
> <x,z>=<y,z> für alle z [mm]\in \IR^n.[/mm]
>
> Dann: <x-y,z>=0 für alle z [mm]\in \IR^n.[/mm]
Egal ob x<y oder x>y, wenn als Ergebniss 0 rauskommt muss z ein Nullvektor sein.
> Dann gilt auch <x-y,x-y>=0 . Was folgt ?
Wieso gilt das folgedessen auch?
Ja z muss [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] sein und x und y gleich.
>
> FRED
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Di 01.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Ich lasse die Pfeile mal weg.
> >
> > Wir haben: x,y fest und es gilt:
> >
> > <x,z>=<y,z> für alle z [mm]\in \IR^n.[/mm]
> >
> > Dann: <x-y,z>=0 für alle z [mm]\in \IR^n.[/mm]
> Egal ob x<y
> oder x>y,
Was ist das für ein Unsinn ?
> wenn als Ergebniss 0 rauskommt muss z ein
> Nullvektor sein.
Quatsch !
> > Dann gilt auch <x-y,x-y>=0 . Was folgt ?
> Wieso gilt das folgedessen auch?
>
> Ja z muss [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] sein und x und y gleich.
Quatsch !
Aus <x-y,x-y>=0 folgt:x=y
FRED
> >
> > FRED
> >
> >
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Ja vielleicht denk ich was zu kompliziert, also ich finde deine Schlussfolgerung sehr simpel, kann ich das so begründen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 03.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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