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| Aufgabe | | Leite aus der folgenden Definition den Satz des Skalarprodukts her! |
Hallo!
Ich soll der folgenden Gleichung
a * b = [mm] |\vec{a}| [/mm] * [mm] |\vec{b}| [/mm] * cos [mm] \alpha
[/mm]
den Satz des Skalarproduktes herleiten.
Satz des Skalarprodukts:
[mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \pmat{ a1 \\ a2 \\ a3 } [/mm] * [mm] \pmat{ b1 \\ b2 \\ b3 } [/mm] = a1 * b1 + a2 * b2+ a3 * b3
EIGENER LÖSUNGSVORSCHLAG:
Ich weiß das ich es mit dem Kosinussatz lösen muss und dann nach Kosinus umformen soll.
Kann mir jemand ein paar weitere Ideen geben? Die Aufgabe ist ganz doll wichtig !
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> Leite aus der folgenden Definition den Satz des
> Skalarprodukts her!
> Hallo!
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> Ich soll der folgenden Gleichung
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> a * b = [mm]|\vec{a}|[/mm] * [mm]|\vec{b}|[/mm] * cos [mm]\alpha[/mm]
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> den Satz des Skalarproduktes herleiten.
> Satz des Skalarprodukts:
> [mm]\vec{a}[/mm] * [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\pmat{ a1 \\ a2 \\ a3 }[/mm] * [mm]\pmat{ b1 \\ b2 \\ b3 }[/mm]
> = a1 * b1 + a2 * b2+ a3 * b3
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> EIGENER LÖSUNGSVORSCHLAG:
> Ich weiß das ich es mit dem Kosinussatz lösen muss und
> dann nach Kosinus umformen soll.
>
> Kann mir jemand ein paar weitere Ideen geben? Die Aufgabe
> ist ganz doll wichtig !
Wenn ich richtig verstanden habe, sollst du aus der
Gleichung
[mm] \vec{a}*\vec{b}=[/mm] [mm]|\vec{a}|*|\vec{b}|* cos\alpha[/mm]
unter Zuhilfenahme des Cosinussatzes die Gleichung
[mm]\vec{a}*\vec{b}=\pmat{ a1 \\ a2 \\ a3 }*\pmat{ b1 \\ b2 \\ b3 }= a1 * b1 + a2 * b2+ a3 * b3[/mm]
herleiten. Nun, für den Cosinussatz brauchst du ein
Dreieck. Hier z.B. eines mit den Seitenvektoren
[mm] \vec{a}=\overrightarrow{CB},[/mm] [mm]\vec{b}=\overrightarrow{CA}[/mm] und [mm]\vec{c}=\overrightarrow{AB}=\vec{a}-\vec{b}[/mm]
Ich möchte den vorkommenden Winkel (also den
zwischen den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}) [/mm] nun lieber
mit [mm] \gamma [/mm] statt mit [mm] \alpha [/mm] bezeichnen.
Der Cosinussatz sagt:
[mm] c^2=a^2+b^2-2*a*b*cos(\gamma)
[/mm]
Mit Hilfe der Betragsformel und [mm]\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}=\vektor{a_1-b_1\\a_2-b_2\\a_3-b_3}[/mm]
kann man nun a, b, [mm] a^2, b^2 [/mm] und [mm] c^2 [/mm] in dieser Gleichung
durch die Komponenten [mm] a_i [/mm] und [mm] b_i [/mm] ausdrücken. Nach
Vereinfachungen kommt man ziemlich zwangsläufig
zur zu beweisenden Formel.
LG al-Chw.
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Hy, ich danke dir recht herzlich für die Hilfestellung.
Es gibt aber noch kleine Probleme:
Ich erkläre kurz wie ich vorgehen will.
Den Kosinussatz habe ich nach Kosinus Gamma umgestellt.
Jetzt würde ich das c durch a-b ersetzen damit das c verschwindet und ich nur noch die Variablen a , b und Kosinus Gamma habe.
Was mache ich nun mit dem Kosinus Gamma , da es in meiner Skalargleichung nicht vorkommt?
Was hast du mit Betragsformel gemeint? Meintest du $ [mm] |\vec{a}|\cdot{}|\vec{b}|\cdot{} cos\alpha [/mm] $
Nochmal vielen Dank für deine Mühe. Wenn es dieses Forum nicht gebe wäre ich manchmal ganz schön aufgeschmissen ;)
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> Hy, ich danke dir recht herzlich für die Hilfestellung.
> Es gibt aber noch kleine Probleme:
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> Ich erkläre kurz wie ich vorgehen will.
> Den Kosinussatz habe ich nach Kosinus Gamma umgestellt.
> Jetzt würde ich das c durch a-b ersetzen damit das c
> verschwindet und ich nur noch die Variablen a , b und
> Kosinus Gamma habe.
> Was mache ich nun mit dem Kosinus Gamma , da es in meiner
> Skalargleichung nicht vorkommt?
Hallo,
es ist schön, daß Du erzählst, was Du zu tun gedenkst.
Nun poste dazu bitte auch die passende Rechnung bis zu der Stelle, an der Du nicht mehr weiterkommst.
> Was hast du mit Betragsformel gemeint?
Die Formel, mit der man die Länge von Vektoren ausrechnet.
Was ist | vec{a}|, [mm] |\vec{b}, [/mm] |vec{c}| ?
Gruß v. Angela
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> Den Kosinussatz habe ich nach Kosinus Gamma umgestellt.
das wäre zunächst nicht einmal nötig
> Jetzt würde ich das c durch a-b ersetzen damit das c
> verschwindet und ich nur noch die Variablen a , b und
> Kosinus Gamma habe. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was mache ich nun mit dem Kosinus Gamma , da es in meiner
> Skalargleichung nicht vorkommt?
Ich habe den Winkel nur [mm] \gamma [/mm] genannt,
weil das besser zum Cosinussatz (im Dreieck ABC)
passt. Nenne den Winkel am Schluss wieder [mm] \alpha
[/mm]
(Hat aber nichts zu tun mit dem Dreieckswinkel
bei der Ecke A)
> Was hast du mit Betragsformel gemeint?
[mm] a=|\vec{a}|=\left|\vektor{a_1\\a_2\\a_3}\right|=\wurzel{a_1^2+a_2^2+a_3^2}
[/mm]
LG
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