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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Oberflächeninhalt der dreiseitigen Pyramide mit den Eckpunkten:
A(3/3/0)
B(1/1/4)
C(6/0/2)
D(4/4/3) |
Also:
B ist in diesem Fall die Spitze und es ist keine gleichschenklige Pyramide.
Als Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks hatten wir heute: A= [mm] \bruch{1}{2}*|\vec{a}|*|\vec{b}|*sin\gamma
[/mm]
Ich habe ja jezt aber eine Pyramide und weiß nciht so recht weiter.
Ich würde jetzte jede Dreicksseite der Pyramide einzeln ausrechnen und dann alle addieren.
Aber gibts noch eine schnellere Möglichkeit die Fläche herauszubekommmen bzw. kann man es überhaupt so machen?
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> Bestimmen Sie den Oberflächeninhalt der dreiseitigen
> Pyramide mit den Eckpunkten:
> A(3/3/0)
> B(1/1/4)
> C(6/0/2)
> D(4/4/3)
> Also:
> B ist in diesem Fall die Spitze und es ist keine
> gleichschenklige Pyramide.
>
> Als Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks hatten wir
> heute: A= [mm]\bruch{1}{2}*|\vec{a}|*|\vec{b}|*sin\gamma[/mm]
>
> Ich habe ja jezt aber eine Pyramide und weiß nciht so recht
> weiter.
> Ich würde jetzte jede Dreicksseite der Pyramide einzeln
> ausrechnen und dann alle addieren.
> Aber gibts noch eine schnellere Möglichkeit die Fläche
> herauszubekommmen bzw. kann man es überhaupt so machen?
Du kannst es natürlich so machen, dazu musst du alle vier seiten als Ebene betrachten bzw eben die jeweiligen Vektoren der Kanten aufstellen. Dann kannst du mit deiner Formel für jede Pyramidenseite den Winkel y ausrechnen, indem du nach siny umstellst und dann alles einsetzen, um den Flächeninhalt rauszubekommen. Dann vier mal addieren und voilà, eine Oberflächensumme :)
Danke an den Hinweis, was hier stand, war Blödsinn...Und wie weiter unten erwähnt, kannst du später die Beziehung ausnutzen, dass $ [mm] \vec{a}\times\vec{b}=|\vec{a}|*|\vec{b}|*sin\gamma [/mm] $ ist, d.h. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist gleich dem Flächeninhalt des Rechteckes, das sie aufspannen. Aber ansonsten musst du jede Seite ausrechnen.
Aber so musst du leider viel rechnen :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Angeleyes |
ok danke, muss ich wohl durch
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> Mir fällt auch kein wirklich schnellerer Weg ein, es sei
> denn, ihr habt irgendwann das Spatprodukt, was aber erst
> kommt, wenn ihr gelernt habt, Vektoren zu Kreuzen. Dann
> gibt es eine einfache Formal, die besagt:
> [mm]V_{pyramide}=\bruch{1}{6}*(\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c}[/mm]
Es ist gar nicht das Volumen, sondern die Oberfläche der Pyramide
gesucht !
Die Dreiecksflächeninhalte könnte man mit dem
Vektorprodukt berechnen, z.B.:
[mm] F_{ABC}=\bruch{1}{2}*|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|
[/mm]
also
[mm] Oberflaeche_{ABCD}=\bruch{1}{2}*\left(|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}|+|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}|+|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BD}|\right)
[/mm]
Auch dies gäbe einiges zu rechnen.
Gruß al-Chw.
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 18:10 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Adamantin |
Vollkommen richtig, dann vergesst das Spatprodukt wieder, stand ich wohl völlig auf dem Schlauch..
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also wir hatten das Kreuzprodukt noch nicht und werden es auch nicht haben,da es nur für den Leistungskurs Mathe vorgesehen ist.
Bei mir ist gerade ein weiteres Problem aufgetaucht: mein gemessener Winkel und mein errechneter stimmen übrhaupt nicht überein.
Ich habe angefangen mit dem Dreieck ABC
Für den Winke(nenne ihn [mm] alpha)\alpha [/mm] bei Punkt A habe ich gerechnet:
COS [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{BA}*\overrightarrow{BC} }{ |\overrightarrow{BA}|*|\overrightarrow{BC}|}
[/mm]
also:
COS [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{2 \\ 2\\-4}*\vektor{3 \\ -3\\2}}{\wurzel{2²+2²+(-4)²}* \wurzel{3²+(-3)²+2²}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-8}{\wurzel{24}*\wurzel{22}}
[/mm]
kommt dann zum Scluss raus: [mm] \alpha= [/mm] 69,25°
mein gemessener ist aber : [mm] \approx [/mm] 87°
ich sehe einfach meinen fehler bei der rechnung nicht.
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Wenn Du die Vektoren [mm] \overrightarrow{BA} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] verwendest, dann kannst Du einen Winkel des Dreiecks ABC bestimmen, nämlich den bei B.
Übrigens ist der cos, den Du bestimmst, ja negativ. Dann liegt der Winkel zwischen 90° und 180°. Rechne nochmal nach.
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stimmt ich meinte auch den Winkel bei B, der beträgt dann auch laut zeichnung rund 45° und der oben genante winkel von rund 82° lag bei A.
ich komme egal welchen winkel ich ausrechne immer auf einen anderen
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Prüfe doch mal nach, ob du die Vektoren richtig
berechnet hast. [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] war wohl falsch.
Hier einige Winkel zur Kontrolle:
[mm] $\angle [/mm] ABC = [mm] \beta=53.40°$
[/mm]
[mm] $\angle [/mm] BAC = [mm] \alpha=69.63°$
[/mm]
[mm] $\angle [/mm] ABD =41.47°$
[mm] $\angle [/mm] BCD =50.40°$
[mm] $\angle [/mm] ACD =41.89°$
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:53 So 09.11.2008 | | Autor: | weduwe |
dann reiche ich die restlichen winkel nach
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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richtig
für die vorliegende Aufgabe reichen allerdings 4 Winkel aus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:23 So 09.11.2008 | | Autor: | weduwe |
wie heißt es so schön:
...kontrolle ist besser
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reverend hat dir gerade geantwortet
ich hätte aber noch eine Frage:
du schreibst, du hättest den Winkel auch gemessen
ich frage mich, wie du das gemacht hast bei diesem
Dreieck im Raum ...
(man könnte das mit darstellender Geometrie zwar
machen, aber nur durch eine nicht ganz elementare
Konstruktion)
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Angeleyes |
Och nö, danke du hast mir gerade den entscheidenen tipp gegeben  ich kann den ja echt schlecht messen im raum, war kjetzt einafch davon ausgegangen das man den winkel so messen kann wie in der Ebene
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Sa 08.11.2008 | | Autor: | weduwe |
> also wir hatten das Kreuzprodukt noch nicht und werden es
> auch nicht haben,da es nur für den Leistungskurs Mathe
> vorgesehen ist.
>
> Bei mir ist gerade ein weiteres Problem aufgetaucht: mein
> gemessener Winkel und mein errechneter stimmen übrhaupt
> nicht überein.
>
> Ich habe angefangen mit dem Dreieck ABC
>
> Für den Winke(nenne ihn [mm]alpha)\alpha[/mm] bei Punkt A habe ich
> gerechnet:
>
> COS [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{\overrightarrow{BA}*\overrightarrow{BC} }{ |\overrightarrow{BA}|*|\overrightarrow{BC}|}[/mm]
>
> also:
>
> COS [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{\vektor{2 \\ 2\\-4}*\vektor{3 \\ -3\\2}}{\wurzel{2²+2²+(-4)²}* \wurzel{3²+(-3)²+2²}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{-8}{\wurzel{24}*\wurzel{22}}[/mm]
>
> kommt dann zum Scluss raus: [mm]\alpha=[/mm] 69,25°
> mein gemessener ist aber : [mm]\approx[/mm] 87°
>
> ich sehe einfach meinen fehler bei der rechnung nicht.
den winkel [mm] \alpha [/mm] hast du aber richtig berechnet [mm] \alpha= [/mm] 69.6255°
vielleicht wäre es besser, deine meßmethode zu überdenken?
[mm] \beta=53.3957°
[/mm]
[mm] \gamma=56.9788°
[/mm]
zur kontrolle: [mm] \alpha+\beta+\gamma=180°
[/mm]
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