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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Sa 28.05.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo
Habe diese Frage in keinem anderen Forum vorher gestellt.
Ich hoffe mir kann jemand bei folgender Aufgabe helfen:
Seien g und h Geraden im [mm] \IR^3, [/mm] die sich nicht schneiden, P [mm] \in [/mm] g und Q [mm] \in [/mm] h die Punkte, für die |PQ| minimal wird. Zeigen Sie, dass der Vektor PQ auf den Richtungsvektoren von g und h senkrecht steht.
Das heißt ja das gelten muss PQ*g=0 und PQ*h=0 (mit g und h meine ich die Richtungsvektoren nicht die Geraden). Der Winkel cos [mm] \alpha [/mm] muss 90° sein. Aber ich weiß jetzt nicht wie ich das zeigen kann.
Tschau Marietta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Sa 28.05.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo
Habe diese Frage in keinem anderen Forum vorher gestellt.
Ich hoffe mir kann jemand bei folgender Aufgabe helfen:
Seien g und h Geraden im [mm] \IR^3, [/mm] die sich nicht schneiden, P [mm] \in [/mm] g und Q [mm] \in [/mm] h die Punkte, für die |PQ| minimal wird. Zeigen Sie, dass der Vektor PQ auf den Richtungsvektoren von g und h senkrecht steht.
Bist du dir sicher dass es hier nur um Skalarprodukt geht?
Habt ihr schon die ORTHOGONALE PROJEKTION gemacht.? Meiner Meinung Nach kann man es mit orthogonale Projektion beweisen.
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Hallo Marietta,
> Seien g und h Geraden im [mm]\IR^3,[/mm] die sich nicht schneiden,
> P [mm]\in[/mm] g und Q [mm]\in[/mm] h die Punkte, für die |PQ| minimal
> wird. Zeigen Sie, dass der Vektor PQ auf den
> Richtungsvektoren von g und h senkrecht steht.
>
> Das heißt ja das gelten muss PQ*g=0 und PQ*h=0 (mit g und h
> meine ich die Richtungsvektoren nicht die Geraden). Der
> Winkel cos [mm]\alpha[/mm] muss 90° sein. Aber ich weiß jetzt nicht
> wie ich das zeigen kann.
bei der Aufgabe handelt es sich um ein Minimierungsproblem:
Sind g und h zwei Geraden
[mm]\begin{gathered}
g:\;\overrightarrow x \; = \;a_{1} \; + \;t\;b_{1} \hfill \\
h:\;\overrightarrow x \; = \;a_{2} \; + \;u\;b_{2} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
und [mm]P\; \in \;g,\;Q\; \in \;h[/mm], dann muß laut Aufgabe der Abstand PQ minimal werden:
[mm]\begin{gathered}
< \;Q\; - \;P,\;Q\; - \;P > \; \to \;\min \hfill \\
< \;a_{2} \; + \;u\;b_{2} \; - \;a_{1} \; - \;t\;b_{1} ,\;a_{2} \; + \;u\;b_{2} \; - \;a_{1} \; - \;t\;b_{1} > \; \to \;\min \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Nun, das ganze wird genau dann minimal wenn die partiellen Ableitungen nach t und u verschwinden.
[mm]\begin{gathered}
\frac{\delta }
{{\delta u}}\; < \;a_{2} \; + \;u\;b_{2} \; - \;a_{1} \; - \;t\;b_{1} ,\;a_{2} \; + \;u\;b_{2} \; - \;a_{1} \; - \;t\;b_{1} > \; = \;0 \hfill \\
\frac{\delta }
{{\delta t}}\;\; < \;a_{2} \; + \;u\;b_{2} \; - \;a_{1} \; - \;t\;b_{1} ,\;a_{2} \; + \;u\;b_{2} \; - \;a_{1} \; - \;t\;b_{1} > \; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Dann steht die Behauptung auch schon da.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Sa 28.05.2005 | | Autor: | NECO |
hi Mathepower,
ich dachte mir dass kann man auch mit orthogonale projektion auf g uzw rechnen. meinst du nicht?
Ich nehme ein punkt von einer gerade, und dann die Projektion auf die andere,
meinst du es klapt oder nicht??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 So 29.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo NECO!
Sicherlich hat das was mit der orthogonalen Projektion zu tun, und damit lässt sich die Aussage sicherlich auch beweisen.  Vielleicht kannst du deinen Beweis ja mal etwas ausführen und hier reinstellen?
Die Frage ist nur, ob dies Marietta als Vorwissen zur Verfügung steht. Das weiß ich nicht.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 So 29.05.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo MathePower,
Ich verstehe die Ausführungen noch nicht so ganz genau.
Wenn |PQ | minimal ist heißt das doch das die Wurzel aus <Q-P,Q-P> minimal ist, oder nicht weil |x|= [mm] \wurzel{}: [/mm] fehlt bei dir dann nicht noch ne Wurzel?
Wie rechne ich das mit der Ableitung? Komme irgendwie nicht darauf, dass dann PQ senkrecht auf den Richtungsvektoren steht.
Gruß Marietta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 So 29.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marietta!
> Ich verstehe die Ausführungen noch nicht so ganz genau.
> Wenn |PQ | minimal ist heißt das doch das die Wurzel aus
> <Q-P,Q-P> minimal ist, oder nicht weil |x|=
> [mm]\wurzel{}:[/mm] fehlt bei dir dann nicht noch ne Wurzel?
Prinzipiell schon. Aber man kann sich hier das Leben vereinfachen: Denn eine positive Funktion $f(t,u)$ ist genau dann minimal, wenn [mm] $f(t,u)^2$ [/mm] minimal ist (dies liegt an der Monotonie der Funktion [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] für $x>0$).
> Wie rechne ich das mit der Ableitung? Komme irgendwie
> nicht darauf, dass dann PQ senkrecht auf den
> Richtungsvektoren steht.
Naja, du kannst das Skalarprodukt ja auseinanderziehen. Da einige Terme gar kein $u$ mehr enthalten, fallen sie weg. Übrig bleibt im ersten Fall nach dem Ableiten:
[mm] $\langle b_2,a_2-a_1-tb_1 \rangle [/mm] + [mm] \langle a_2-a_1-tb_1,b_2 \rangle [/mm] + 2u [mm] \langle b_2,b_2 \rangle [/mm] = 0$.
Fasst man dies zusammen und teilt man am Schluss durch $2$, so erhält man:
[mm] $\langle (a_2 [/mm] + [mm] ub_2) [/mm] - [mm] (a_1+tb_1),b_2 \rangle [/mm] =0$.
Daraus folgt, dass der Differenzvektor orthogonal auf $h$ steht.
Geht man analog für die zweite Gleichung vor, so erhält man:
[mm] $\langle (a_2 [/mm] + [mm] ub_2) [/mm] - [mm] (a-1+tb_1),b_1 \rangle [/mm] =0$.
Versuche es mal! Und wenn du es nicht hinbekommst, dann meldest du dich wieder mit deinen Rechenschritten und wir sagen dir, was du falsch (und was dur richtig ) gemacht hast.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 So 29.05.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo Stefan,
Ich verstehe diesen Schritt irgendwie nicht.
Fasst man dies zusammen und teilt man am Schluss durch 2, so erhält man:
$ [mm] \langle (a_2 [/mm] + [mm] ub_2) [/mm] - [mm] (a-1+tb_1),b_2 \rangle [/mm] =0 $.
(Ist es richtig das du [mm] a_1 [/mm] anstatt a-1 meintest?)
Wie kann ich das zusammenfassen? Ich glaube mein Problem ist, dass ich nicht so gut mit dem Skalarprodukt rechnen kann. Kenne zwar so ein paar Eigenschaften, aber das ich da etwas zusammenfassen kann sehe ich jetzt nicht.
Bin soweit gekommen:
[mm] 2+2u. [/mm] Jetzt teile ich durch 2. Nun kann ich ja da ich bei beiden [mm] b_2 [/mm] habe weiter zusammenfassen: [mm] . [/mm] Aber jetzt habe ich [mm] ub_1 [/mm] und nicht [mm] ub_2.
[/mm]
Wo ist der Fehler?
Gruß Marietta
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo,
[mm] +2u [/mm] ist logisch. War ja vorher auch immer [mm] u*b_2.
[/mm]
Denke habe es dann verstanden.
Danke für die Hilfe.
Tschau Marietta
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Hallo,
ich habe auch noch eine Verständnisfrage. Wieso gilt die folgende Aussage von MathePower:
>Nun, das ganze wird genau dann minimal wenn die partiellen Ableitungen >nach t und u verschwinden.
viele Dank schonmal!
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Hallo!
> ich habe auch noch eine Verständnisfrage. Wieso gilt die
> folgende Aussage von MathePower:
>
> >Nun, das ganze wird genau dann minimal wenn die partiellen
> Ableitungen >nach t und u verschwinden.
Ich habe jetzt nicht die ganze Aufgabe hier gelesen, aber es ist doch immer so, dass man für ein Maximierungs- oder Minimierungsproblem die Ableitung gleich 0 setzen muss. Und wenn man nun eine Funktion hat, die von mehreren Variablen abhängt, dann müssen eben alle partiellen Ableitungen =0 sein. Oder nicht?
Ist deine Frage damit beantwortet oder wolltest du noch etwas genaueres wissen?
Viele Grüße
Bastiane
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