Skalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 So 21.04.2013 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | Gegeben seien die Matrizen
[mm] A_{1}:= \pmat{ 4 & 2 \\ 2 & 1 }, A_{2}:= \pmat{ 4 & 1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
[mm] A_{3}:= \pmat{ -4 & 1 \\ 1 & -1 }
[/mm]
sowie die Abbildung [mm] f_{i}: \IR^{2} [/mm] x [mm] \IR^{2} \to \IR, f_{i}(x,y) [/mm] = [mm] x^{T}A_{i}y. [/mm] Prüfen Sie für i = 1,2,3 ob die Matrix [mm] A_{i} [/mm] mit [mm] f_{i} [/mm] ein Skalarprodukt definiert. |
Mein Problem liegt in erster Linie daran, dass ich nicht weiß wie ich das hier zu interpretieren habe:
[mm] f_{i}: \IR^{2} [/mm] x [mm] \IR^{2} \to \IR, f_{i}(x,y) [/mm] = [mm] x^{T}A_{i}y
[/mm]
Zu Teil 1: [mm] f_{i}: \IR^{2} [/mm] x [mm] \IR^{2} \to \IR. [/mm] Darunter verstehe ich das alle Wertepaare des [mm] \IR^{2} [/mm] auf [mm] \IR [/mm] abbilden. Mein erster Gedanke hierzu war, dass man eine Funktionsvorschrift braucht die ein Wertepaar [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] zu einem Wert y [mm] \in \IR [/mm] verarbeitet.
Zu Teil 2: [mm] f_{i}(x,y) [/mm] = [mm] x^{T}A_{i}y.
[/mm]
[mm] A_{i}y [/mm] bedeutet für mich: [mm] \pmat{a_{1,1}*y_{1} +&a_{1,2}*y_{2} \\ a_{2,1}*y_{1} +&a_{2,2}*y_{2}}. [/mm]
Also würde ich [mm] x^{T}A_{i}y [/mm] interpretieren als: [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] * [mm] \pmat{a_{i,j} & a_{i,j+1} \\ a_{i+1,j} & a_{i+1,j+1}} [/mm] * [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2}}
[/mm]
Was ich zu tun habe weiß ich:
Das hier beweisen: (S1) (u+v,w) = (u,w) + (v,w)
(S2) [mm] (\lambda [/mm] u,v) = [mm] \lambda(u,v)
[/mm]
(S3) (u,v) = (v,u)
(S4) (u,u) [mm] \ge [/mm] 0, (u,u) = 0 [mm] \gdw [/mm] u = 0
wobei hier (u,v) definiert ist als [mm] u_{1}*v_{1} [/mm] + [mm] u_{2}*v_{2} [/mm] + ... + [mm] u_{n}*v_{n}
[/mm]
Jetzt mal als Beispiel [mm] A_{2}.
[/mm]
[mm] x^{T}A_{2}y [/mm] = [mm] x_{1}*((4*y_{1}*y_{2})+(y_{1}*y_{2})) [/mm] + [mm] x_{2}*((4*y_{1}*y_{2})+(y_{1}*y_{2}))
[/mm]
Angenommen ich habe kein Unsinn gemacht. Dann ist die obige Gleichung = (u+v) und ich könnte mit den Beweisen loslegen. Unglückicherweise glaube ich mir selbst nicht. Ich bin einfach zu sehr verwirrt.
Vielleicht kann mir jemand anhand von [mm] A_{2} [/mm] meine Fehler aufzeigen. Wüsste ich wirklich zu schätzen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:52 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Maurizz |
Ich denke wenn nach 15 Blicken keine Antwort kommt, dann gibt es auch nicht viel zu sagen.
Frage kann geschlossen werden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:11 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Maurizz,
> Ich denke wenn nach 15 Blicken keine Antwort kommt, dann
> gibt es auch nicht viel zu sagen.
Du bist ja sehr geduldig - vielleicht hatten auch nur 15 Schüler Deine Frage
angeguckt? Oder Leute, die gerade keine Zeit hatten (ich nicht, ich war
nicht mal online)!
> Frage kann geschlossen werden.
Deine Reaktion ist sehr seltsam - warte doch in Zukunft generell
wenigstens ein paar Stunden. Es kann sein, dass es auch mal ein oder
zwei Tage dauert, bis eine Antwort kommt. Aber erwarte doch nicht, dass
die Leute hier sitzen und nur darauf warten, DIR helfen zu dürfen! ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Also für die Zukunft: Immer locker auf'm Hocker!!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Du hast die Aufgabe falsch verstanden. Das vermeintliche Skalarprodukt [mm]\langle x,y \rangle[/mm] wird durch die Gleichung
[mm]\langle x,y \rangle = x^{\top} A_i y[/mm]
definiert und ist keineswegs die Summe der Koordinatenprodukte. Beachte auch, daß der erste Faktor des Matrizenprodukts ein Zeilenvektor ist. In der Tat mußt du jetzt mit der obigen Definition (S1) bis (S4) nachweisen. Dabei sind (S1) und (S2) immer erfüllt. Die Axiome folgen direkt aus den Gesetzen der Matrizenrechnung. Interessant sind daher nur die Symmetrie (S3) und die positive Definitheit (S4). Um etwa (S3) nachzuprüfen, mußt du [mm]\langle x,y \rangle = x^{\top} A_i y[/mm] und [mm]\langle y,x \rangle = y^{\top} A_i x[/mm] miteinander vergleichen. Und das ist bei allen drei [mm]A_i[/mm] erfüllt. Warum? (Tip: Erst [mm]\left( x^{\top} A_i y \right)^{\top}[/mm] umformen).
Bleibt somit nur noch (S4).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:49 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Maurizz,
wie Leopold schon sagte, hast Du die Aufgabe falsch verstanden. Dass
eine Abbildung [mm] $f_i$ [/mm] ein Skalarprodukt auf [mm] $\IR^2$ [/mm] sein soll, bedeutet, dass
sie die Axiome des Skalarprodukts erfüllen soll. Es geht nicht darum, zu
zeigen, dass diese [mm] $f_i$ [/mm] mit dem "Standardskalarprodukt" des [mm] $\IR^2$ [/mm]
übereinstimmen; was auch falsch ist! (Beachte übrigens, dass, wenn die
Sprechweise [mm] "$s\,$ [/mm] ist Skalarprodukt auf [mm] $V\,$" [/mm] verwendet wird, insbesondere
auch gemeint ist, dass der Definitionsbereich von [mm] $s\,$ [/mm] gerade $V [mm] \times [/mm] V$
ist - und nicht 'nur' [mm] $V\,.$ [/mm] Insbesondere muss $s [mm] \colon [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \IR$ [/mm] sein,
wenn [mm] $s\,$ [/mm] ein Skalarprodukt auf [mm] $V\,$ [/mm] sein soll!)
> Gegeben seien die Matrizen
>
> [mm]A_{1}:= \pmat{ 4 & 2 \\ 2 & 1 }, A_{2}:= \pmat{ 4 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> [mm]A_{3}:= \pmat{ -4 & 1 \\ 1 & -1 }[/mm]
>
> sowie die Abbildung [mm]f_{i}: \IR^{2}[/mm] x [mm]\IR^{2} \to \IR, f_{i}(x,y)[/mm]
> = [mm]x^{T}A_{i}y.[/mm] Prüfen Sie für i = 1,2,3 ob die Matrix
> [mm]A_{i}[/mm] mit [mm]f_{i}[/mm] ein Skalarprodukt definiert.
> Mein Problem liegt in erster Linie daran, dass ich nicht
> weiß wie ich das hier zu interpretieren habe:
> [mm]f_{i}: \IR^{2}[/mm] x [mm]\IR^{2} \to \IR, f_{i}(x,y)[/mm] =
> [mm]x^{T}A_{i}y[/mm]
>
> Zu Teil 1: [mm]f_{i}: \IR^{2}[/mm] x [mm]\IR^{2} \to \IR.[/mm] Darunter
> verstehe ich das alle Wertepaare des [mm]\IR^{2}[/mm] auf [mm]\IR[/mm]
> abbilden. Mein erster Gedanke hierzu war, dass man eine
> Funktionsvorschrift braucht die ein Wertepaar [mm](x_{1}, x_{2})[/mm]
> zu einem Wert y [mm]\in \IR[/mm] verarbeitet.
>
> Zu Teil 2: [mm]f_{i}(x,y)[/mm] = [mm]x^{T}A_{i}y.[/mm]
> [mm]A_{i}y[/mm] bedeutet für mich: [mm]\pmat{a_{1,1}*y_{1} +&a_{1,2}*y_{2} \\ a_{2,1}*y_{1} +&a_{2,2}*y_{2}}.[/mm]
>
> Also würde ich [mm]x^{T}A_{i}y[/mm] interpretieren als:
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm] * [mm]\pmat{a_{i,j} & a_{i,j+1} \\ a_{i+1,j} & a_{i+1,j+1}}[/mm]
> * [mm]\vektor{y_{1} \\ y_{2}}[/mm]
>
> Was ich zu tun habe weiß ich:
>
> Das hier beweisen: (S1) (u+v,w) = (u,w) + (v,w)
> (S2) [mm](\lambda[/mm] u,v) = [mm]\lambda(u,v)[/mm]
> (S3) (u,v) = (v,u)
> (S4) (u,u) [mm]\ge[/mm] 0, (u,u) = 0 [mm]\gdw[/mm] u = 0
>
> wobei hier (u,v) definiert ist als [mm]u_{1}*v_{1}[/mm] +
> [mm]u_{2}*v_{2}[/mm] + ... + [mm]u_{n}*v_{n}[/mm]
>
>
> Jetzt mal als Beispiel [mm]A_{2}.[/mm]
>
> [mm]x^{T}A_{2}y[/mm] = [mm]x_{1}*((4*y_{1}*y_{2})+(y_{1}*y_{2}))[/mm] +
> [mm]x_{2}*((4*y_{1}*y_{2})+(y_{1}*y_{2}))[/mm]
>
> Angenommen ich habe kein Unsinn gemacht. Dann ist die obige
> Gleichung = (u+v) und ich könnte mit den Beweisen
> loslegen. Unglückicherweise glaube ich mir selbst nicht.
> Ich bin einfach zu sehr verwirrt.
>
> Vielleicht kann mir jemand anhand von [mm]A_{2}[/mm] meine Fehler
> aufzeigen. Wüsste ich wirklich zu schätzen.
Na, machen wir mal folgendes: Ein ![[]](/images/popup.gif) Skalarprodukt erfüllt die positive
Definitheit. Den Begriff gibt's auch bei symmetrischen Matrizen und das
Ganze läßt sich dann auch mit Eigenwerten prüfen (Bemerkung 20.20.2,
Seite 200 (interne Zählung)) - was gerade bei "großen Matrizen"
hilfreich sein kann, aber wir rechnen hier mal ganz 'stupide':
Es war
[mm] $$A_{2}:=\pmat{ 4 & 1 \\ 1 & 1 }\,.$$
[/mm]
Wenn [mm] $f_2$ [/mm] ein Skalarprodukt [mm] $\IR^2 \times \IR^2 \to \IR$ [/mm] sein soll, dann muss notwendig [mm] $f_2$ [/mm]
positiv definit sein. Es ist also zu beweisen oder zu widerlegen, dass für
alle [mm] $x=(x_1,x_2)^T \in \IR^2$ [/mm] gilt [mm] $f_2(x,x) \ge 0\,.$ [/mm] Ferner, dass [mm] $f_2(x,x)=0 \gdw x=(0,0)^T \in \IR^2\,.$
[/mm]
Sei also [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2} \in \IR^2\,,$ [/mm] dann gilt
[mm] $$f_2(x,x)=x^T \pmat{ 4 & 1 \\ 1 & 1 }x=(x_1,x_2)\pmat{ 4 & 1 \\ 1 & 1 }\vektor{x_1\\x_2}=(x_1,x_2) \pmat{ 4x_1+x_2 \\ x_1+x_2 }=4x_1^2+x_1x_2+x_2x_1+x_2^2$$
[/mm]
[mm] $$=4x_1^2+2x_1x_2+x_2^2={(x_1+x_2)}^2+3{x_1}^2\,.$$
[/mm]
Das ist jetzt (m)eine rechnerische Steilvorlage - begründe nun mal selbst,
warum daraus folgt, dass [mm] $f_2(x,x) [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] für [mm] $x=(x_1,x_2)^T \in \IR^2 \red{\;\setminus \left\{\vektor{0\\0}\right\}\;}\,,$ [/mm] und dass [mm] $f_2((0,0)^T,(0,0)^T)=0\,.$ [/mm]
Wieso folgt daraus dann die Gültigkeit von (S4) bzgl. [mm] $f_2$?
[/mm]
(Beachte: [mm] $(x_1,x_2)^T \not=(0,0)^T$ $\iff$ ($x_1 \not=0$ \textbf{ oder }$x_2 \not=0$).)
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Maurizz |
OK!
Zunächst beweise ich ob die Matrix symmetrisch ist indem ich zeige das A = [mm] A^{T}.
[/mm]
Kann ich damit die Symmetrie nicht beweisen, dann gibt es noch die Möglichkeit eines symmetrischen Anteils, was ich mit A = [mm] \bruch{1}{2}(A+A^{T}) [/mm] berechnen kann. Dementsprechend muss ich dann diesen Anteil überprüfen auf positive Definitheit.
Es besteht aber auch die Möglichkeit, dass eine nicht symmetrische Matrix positiv Definit ist. Da aber dann (S3) nicht gilt, ist auch kein Skalarprodukt darauf definiert.
Nun zur positiven Definitheit. Zu beweisen ist, dass [mm] x^{T}Ax [/mm] > 0. Deshalb [mm] x^{T}Ax [/mm] = 0 wenn v [mm] \in [/mm] V gleich v = [mm] \vec{0}.
[/mm]
Nimmt man z.b [mm] A_{2} [/mm] aus der Aufgabenstellung und formt es um(so wie marcel es getan hat) erhält man [mm] (x_{1}+x_{2})^2 [/mm] + [mm] 3x_{1}^{2}
[/mm]
[mm] (x_{1}+x_{2})^2 [/mm] + [mm] 3x_{1}^{2} [/mm] > 0
Aus der Tatsache, dass aus einem geraden Exponenten in [mm] \IR [/mm] immer ein r [mm] \ge [/mm] 0 folgt(Es sei denn ein negativer Koeffizient ist vorhaden, was hier nicht der Fall ist), können wir schließen, dass [mm] (x_{1}+x_{2})^2 [/mm] + [mm] 3x_{1}^{2} [/mm] immer > 0 außer der Fall tritt ein, dass beide Ausdrücke 0 sind. Und beide Ausdrücke sind genau dann 0, wenn alle Koordinaten [mm] x_{n} [/mm] = 0 und somit haben wir [mm] \vec{0}.
[/mm]
Abgesehn von dieser Methode, kann man positive Definitheit noch über Eigenwerte prüfen. Aus Übungsgründen will ich es mal probieren.
Zu berechnen ist: [mm] det(A_{2}-\lambda*E) [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow (4-\lambda)(-\lambda) [/mm] - 1 = [mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] 4\lambda [/mm] - 1
Dies ist eine quadratische Gleichung für [mm] \lambda.
[/mm]
[mm] \lambda_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{4 \pm \wurzel[2]{(16 + 4)}}{2}
[/mm]
Das ist jetzt aber merkwürdig. Denn jetzt habe ich ja ein positives und ein negatives Ergebnis und damit wäre die matrix undefinit.
Das Prinzip habe ich aber verstanden denke ich.
Trotzdem eigenartig, dass ich zweimal was anderes rausbekommen habe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Mo 22.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> OK!
>
> Zunächst beweise ich ob die Matrix symmetrisch ist indem
> ich zeige das A = [mm]A^{T}.[/mm]
Ja
>
> Kann ich damit die Symmetrie nicht beweisen, dann gibt es
> noch die Möglichkeit eines symmetrischen Anteils, was ich
> mit A = [mm]\bruch{1}{2}(A+A^{T})[/mm] berechnen kann.
> Dementsprechend muss ich dann diesen Anteil überprüfen
> auf positive Definitheit.
>
> Es besteht aber auch die Möglichkeit, dass eine nicht
> symmetrische Matrix positiv Definit ist. Da aber dann (S3)
> nicht gilt, ist auch kein Skalarprodukt darauf definiert.
>
>
> Nun zur positiven Definitheit. Zu beweisen ist, dass
> [mm]x^{T}Ax[/mm] > 0. Deshalb [mm]x^{T}Ax[/mm] = 0 wenn v [mm]\in[/mm] V gleich v =
> [mm]\vec{0}.[/mm]
x ? v ? ???
A ist positiv definit [mm] \gdw[/mm] [mm]x^{T}Ax[/mm] > 0 für alle x [mm] \ne [/mm] 0.
>
> Nimmt man z.b [mm]A_{2}[/mm] aus der Aufgabenstellung und formt es
> um(so wie marcel es getan hat) erhält man [mm](x_{1}+x_{2})^2[/mm]
> + [mm]3x_{1}^{2}[/mm]
>
> [mm](x_{1}+x_{2})^2[/mm] + [mm]3x_{1}^{2}[/mm] > 0
> Aus der Tatsache, dass aus einem geraden Exponenten in
> [mm]\IR[/mm] immer ein r [mm]\ge[/mm] 0 folgt(Es sei denn ein negativer
> Koeffizient ist vorhaden, was hier nicht der Fall ist),
> können wir schließen, dass [mm](x_{1}+x_{2})^2[/mm] + [mm]3x_{1}^{2}[/mm]
> immer > 0 außer der Fall tritt ein, dass beide Ausdrücke
> 0 sind. Und beide Ausdrücke sind genau dann 0, wenn alle
> Koordinaten [mm]x_{n}[/mm] = 0 und somit haben wir [mm]\vec{0}.[/mm]
Ja
>
> Abgesehn von dieser Methode, kann man positive Definitheit
> noch über Eigenwerte prüfen. Aus Übungsgründen will ich
> es mal probieren.
>
> Zu berechnen ist: [mm]det(A_{2}-\lambda*E)[/mm] = 0
>
> [mm]\Rightarrow (4-\lambda)(-\lambda)[/mm] - 1 = [mm]\lambda^{2}[/mm] -
> [mm]4\lambda[/mm] - 1
>
> Dies ist eine quadratische Gleichung für [mm]\lambda.[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{4 \pm \wurzel[2]{(16 + 4)}}{2}[/mm]
>
> Das ist jetzt aber merkwürdig. Denn jetzt habe ich ja ein
> positives und ein negatives Ergebnis und damit wäre die
> matrix undefinit.
>
> Das Prinzip habe ich aber verstanden denke ich.
> Trotzdem eigenartig, dass ich zweimal was anderes
> rausbekommen habe.
Das ist nun überhaupt nicht eigenartig, denn Du hast Dich verrechnet:
es ist [mm]det(A_{2}-\lambda*E)=\lambda^2-5 \lambda+3[/mm]
FRED
>
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Maurizz,
> OK!
>
> Zunächst beweise ich ob die Matrix symmetrisch ist indem
> ich zeige das A = [mm]A^{T}.[/mm]
das ist doch eigentlich so gut wie immer offensichtlich, ob [mm] $A=A^T$ [/mm] gilt.
Wie/woran erkennt man symmetrische (unsymmetrische) Matrizen?
> Kann ich damit die Symmetrie nicht beweisen,
[mm] $A_2$ [/mm] war offensichtlich symmetrisch:
$$ [mm] A_{2}:= \pmat{ 4 & 1 \\ 1 & 1 }$$
[/mm]
Das habe ich nicht bewiesen, aber meinetwegen:
Es ist bei
$$ [mm] A_{2}:= \pmat{ 4 & 1 \\ 1 & 1 }=\pmat{a_{1,1} & a_{1,2}\\a_{2,1} & a_{2,2}}$$
[/mm]
offenbar [mm] $a_{1,2}=1=a_{2,1}\,.$ [/mm] (Das nun alle [mm] $a_{i,j} \in \IR$ [/mm] sind, beweisen
wir jetzt aber nun wirklich nicht...)
> dann gibt es
> noch die Möglichkeit eines symmetrischen Anteils, was ich
> mit A = [mm]\bruch{1}{2}(A+A^{T})[/mm] berechnen kann.
> Dementsprechend muss ich dann diesen Anteil überprüfen
> auf positive Definitheit.
Das weiß ich jetzt nicht - aber wozu erwähnst Du das hier überhaupt?
(Sofern das denn so stimmt!) Dass [mm] $B:=A+A^T$ [/mm] symmetrisch ist, ist
offensichtlich [mm] ($B^T=(A+A^T)^T=A^T+A=A+A^T=B$), [/mm] und damit ist auch [mm] $\tfrac{1}{2}B$ [/mm] dieses...
und das nennt man, sofern ich weiß, auch symmetrischen Anteil (man
'zerlegt' [mm] $A\,$ [/mm] damit). Aber brauchen wir sowas hier überhaupt?
> Es besteht aber auch die Möglichkeit, dass eine nicht
> symmetrische Matrix positiv Definit ist. Da aber dann (S3)
> nicht gilt, ist auch kein Skalarprodukt darauf definiert.
Na, dann beweis' mir das mal (allgemein): Ist [mm] $A\,$ [/mm] unsymmetrisch, so kann
[mm] $f_A(x,y):=x^T [/mm] A y$ nicht symmetrisch sein. Ich meine: Wenn Du hier schon
solche Behauptungen aufstellst... (ich weiß nämlich nicht, ob diese Aussage
so überhaupt stimmt...)
(Edit: Vermutlich läßt sich das beweisen, indem man mit [mm] $e_i$ [/mm] als [mm] $i\,$-ten [/mm] Einheitsvektor
dann die Forderung [mm] $f_A(e_i,e_j)=f_A(e_j,e_i)$ [/mm] nachrechnet!)
Nebenbei: Bei Deiner Aufgabe brauchst Du Dich nicht um unsymmetrische
Matrizen zu kümmern, denn da gibt's keine!
Ansonsten: Siehe Freds Antwort!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Maurizz |
Gut ich habe da ein bisschen weit ausgeholt und ich sollte nicht Behaupten ohne zu beweisen... dieser Fehler hat mir schon im 1. Semester probleme gemacht.
Danke für die tollen antworten und ich entschuldige mich für die erste Mitteilung. Ein Gleichgewicht zwischen studieren und entspannen fällt mir oft schwer beim Umfang was zu lernen ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Maurizz,
> Gut ich habe da ein bisschen weit ausgeholt und ich sollte
> nicht Behaupten ohne zu beweisen... dieser Fehler hat mir
> schon im 1. Semester probleme gemacht.
>
> Danke für die tollen antworten und ich entschuldige mich
> für die erste Mitteilung.
na, wirklich bösartig war sie ja nicht. Die Erwartungshaltung war etwas
unangebracht (steht übrigens sogar in den Forenregeln). Man ärgert sich
halt ein bisschen, wenn man sowas liest, aber generell können sich die
meisten schon in Deine Lage versetzen. Ich finde es gut, dass Du Dich
entschuldigst, aber erzwingen wollte ich das nicht - sondern nur Dich drauf
aufmerksam machen, die Erwartung anzupassen - dann beruhigt sich der
Tonfall eh von alleine.
> Ein Gleichgewicht zwischen
> studieren und entspannen fällt mir oft schwer beim Umfang
> was zu lernen ist.
Wie gesagt: Nachvollziehbar!  Aber ab und an sollte man halt mal
versuchen, sein Temperament ein wenig zu zügeln, wenn man merkt, dass
man ein wenig 'nervös' wird.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
