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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:32 Mo 05.07.2004 | | Autor: | mssdfg |
Sei V [mm] =\left\{f\in\ IR[x] : deg(f)\le3\right\} [/mm] der R-Vektorraum der Polynome in x, deren Grad höchstens 3 ist, [mm] \left\langle *,* \right\rangle [/mm] das durch
[mm] \left\langle f,g \right\rangle [/mm] := [mm] \int_{0}^{1} [/mm] f(x)g(x)dx
auf V definierte Skalarprodukt.
a) Sei U := [mm] Lin(\left\{x^2; x^3\right\}). [/mm]
Zu berechnen ist U^Bottom (so ein umgedrehtes T)
Keine Ahnung was hiervon die Definition ist.
b) Berechne den Winkel zwischen x und [mm] x^2.
[/mm]
c) Bestimme den Abstand von 1-x und [mm] x^3
[/mm]
Kann mir bei der Aufgabe jemand einen Lösungsansatz geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es gilt:
[mm] $U^{\perp}:= \{ p \in V\, :\, \langle p,f \rangle = 0 \ \mbox{für alle}\ f \in U\}$.
[/mm]
Wie kannst du nun [mm] $U^{\perp}$ [/mm] berechnen?
Prinzipiell hast du zwei Möglichkeiten:
1. Möglichkeit:
Du setzt:
$p(x) = [mm] a_3 x^3 [/mm] + [mm] a_2x^2 [/mm] + a_1x + [mm] a_0$
[/mm]
und kannst aus den beiden Gleichungen
$0 = [mm] \int_0^1 x^2 p(x)\, [/mm] dx$
und
$0 = [mm] \int_0^1 x^3 [/mm] p(x) [mm] \, [/mm] dx$
zwei der vier Parameter [mm] $a_0,\ldots,a_3$ [/mm] elminieren; die Darstellung mit den beiden anderen Parametern liefert dir eine zweidimensionale Unterraumstruktur von [mm] $U^{\perp}$.
[/mm]
2. Möglichkeit:
Du konstruierst in $U$ eine Orthonormalbasis und erweiterst diese (etwa nach Gram-Schmidt) zu einer Orthonormalbasis von ganz $V$. Die beiden neuen Basiselemente sind dann eine Basis von [mm] $U^{\perp}$.
[/mm]
Versuche bitte mal selber einen der beiden Wege einzuschlagen. Wenn du nicht weiterkommst, dann helfen wir dir gerne weiter. Aber ein bisschen eigenes Bemühen würden wir jetzt schon mal gerne sehen.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Mo 05.07.2004 | | Autor: | mssdfg |
ich kann [mm] U=Lin(\left\{x^2; x^3\right\}) [/mm] auch so schreiben:
U= (0,1,1,0)
Dann wäre die Orthonormalbasis von U: (0,1,1,0)*1/ [mm] \wurzel{2}, [/mm] wie muß ich die jetzt zu einer Basis von V erweitern?
Mittels ganz normaler Basiserweiterung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Mo 05.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> ich kann [mm]U=Lin(\left\{x^2; x^3\right\})[/mm] auch so
> schreiben:
> U= (0,1,1,0)
Nein, das macht keinen Sinn.
Lies dir doch mal diesen Diskussionsstrang https://matheraum.de/read?f=16&t=1392&i=1397 aufmerksam durch. Dann sollte es eigentlich klar sein, was du zu tun hast.
Es geht nicht um das Standardskalarprodukt. Wir sind im Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens $3$, mit dem Skalarprodukt
[mm] $\langle [/mm] f,g [mm] \rangle [/mm] := [mm] \int_0^1 f(x)g(x)\, [/mm] dx$.
Solltest du nach intensivem Studium des obigen Diskussionsstranges immer noch nicht wissen, was zu tun ist, kannst du dich ja wieder melden.
(Lass dich nicht davon irritieren, dass in dem angegebenen Diskussionsstrang andere Intervallgrenzen genannt werden. Das Prinzip, und um das geht es, bleibt das Gleiche!)
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mo 05.07.2004 | | Autor: | mssdfg |
Ich habe mal die 1. Berechnungsart durchgespielt:
0 = [mm] \int_0^1 x^2 [/mm] p(x)\ mit p(x) = [mm] a_3 x^3 [/mm] + [mm] a_2x^2 [/mm] + a_1x + [mm] a_0
[/mm]
0 = [mm] \int_0^1 x^2 (a_3 x^3 [/mm] + [mm] a_2x^2 [/mm] + a_1x + [mm] a_0)
[/mm]
0 = [mm] \int_0^1 a_3x^5 [/mm] + [mm] a_2x^4 [/mm] + [mm] a_1x^3 [/mm] + [mm] a_0x^2
[/mm]
0 = [mm] \bruch{1}{6}a_3 x^6 [/mm] + [mm] \bruch{1}{5}a_2x^5 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}a_1x^4 [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}a_0x^3 [/mm] in den Grenzen von 0;1
0 = [mm] \int_0^1 x^3 [/mm] p(x)\ mit p(x) = [mm] a_3 x^3 [/mm] + [mm] a_2x^2 [/mm] + a_1x + [mm] a_0
[/mm]
0 = [mm] \bruch{1}{7}a_3 x^7 [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}a_2x^6 [/mm] + [mm] \bruch{1}{5}a_1x^5 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}a_0x^4 [/mm] in den Grenzen von 0;1
als Ergebnis erhalte ich:
[mm] a_3 a_2 a_1 a_0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{6} \bruch{1}{5} \bruch{1}{4} \bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{7} \bruch{1}{6} \bruch{1}{5} \bruch{1}{4}
[/mm]
multipliziert mit 6 bzw. 7:
1 [mm] \bruch{6}{5} \bruch{3}{2} [/mm] 2
1 [mm] \bruch{7}{6} \bruch{7}{5} \bruch{7}{4}
[/mm]
1 [mm] \bruch{6}{5} \bruch{3}{2} [/mm] 2
0 [mm] \bruch{1}{30} \bruch{1}{10} \bruch{1}{4}
[/mm]
da kürzt sich bei mir aber nur ein a weg und nicht 2.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Di 06.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo!
> kannst aus den beiden Gleichungen
> $0 = [mm] \int_0^1 x^2 p(x)\, [/mm] dx$
> und
> $0 = [mm] \int_0^1 x^3 [/mm] p(x) [mm] \, [/mm] dx$
> zwei der vier Parameter [mm] $a_0,\ldots,a_3$ [/mm] elminieren; die Darstellung mit
> den beiden anderen Parametern liefert dir eine zweidimensionale
> Unterraumstruktur von [mm] $U^{\perp}$.
[/mm]
Hier stimmt leider der 1. Teil nicht: es kürzen sich nicht zwei Parameter weg, wohl erhältst du aber eine zweidimensionale Unterraumstruktur von [mm] $U^{\perp}$
[/mm]
Wenn du nämlich dein Gleichungssystem noch etwas weiter auflöst, dann erhältst du 2 linear unabhängige Lösungen für [mm] $(a_{3},a_{2},a_{1},a_{0})$: [/mm] $(21,-30,10,0)$ und $(14,-15,0,2)$
Jedes Polynom mit einer beliebigen Linearkombination davon bildet den [mm] $U^{\perp}$.
[/mm]
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Di 06.07.2004 | | Autor: | mssdfg |
gut, das hab ich verstanden und war auch auf demselben Lösungsweg.
jetzt benötige ich noch den Abstand zwischen x un [mm] x^2.
[/mm]
es gilt:
cos [mm] (\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{\left\langle u,v \right\rangle } {\begin{Vmatrix}
u \end{Vmatrix} *\begin{Vmatrix} v \end{Vmatrix} }
[/mm]
also gilt:
cos [mm] (\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{\int_{0}^{1} u(x)v(x)\, dx}{\wurzel{\int_{0}^{1} u(x)u(x)\, dx}\wurzel{\int_{0}^{1} v(x)v(x)\, dx}}
[/mm]
cos [mm] (\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{\int_{0}^{1} x*x^2\, dx}{\wurzel{\int_{0}^{1} x*x\, dx}\wurzel{\int_{0}^{1} x^2*x^2\, dx}}
[/mm]
cos [mm] (\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{4}x^4}{\wurzel{\bruch{1}{3}x^3}\wurzel{\bruch{1}{5}x^5}}
[/mm]
cos [mm] (\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{4}x^4}{(\bruch{1}{3}x^3)^\bruch{1}{2}(\bruch{1}{5}x^5)^\bruch{1}{2}}
[/mm]
cos [mm] (\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{4}x^4}{(\bruch{1}{15}x^8)^\bruch{1}{2}}
[/mm]
der Abstand von 1-x und [mm] x^3 [/mm] wäre
d(u,v) = [mm] \begin{Vmatrix}u-v\end{Vmatrix} [/mm]
d(u,v) = [mm] \begin{Vmatrix}1-x-x^3\end{Vmatrix} [/mm]
d(u,v) = [mm] \wurzel{\int_{0}^{1} (1-x-x^3)(1-x-x^3)\, dx}
[/mm]
d(u,v) = [mm] \wurzel{\int_{0}^{1} 1-2x+x^2-2x^3+2x^4+x^6\, dx}
[/mm]
d(u,v) = [mm] \wurzel{x-x^2 + \bruch{1}{3}x^3 - \bruch{1}{2}x^4 +\bruch{2}{5}x^5 + \bruch{1}{7}x^7}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Do 08.07.2004 | | Autor: | mausi |
wenn ich den Ausdruck
[mm] wurzel(1/7x^7+2/5x^5-1/2x^4+1/3x^3-x^2+x) [/mm] habe für den Abstand,wie rechne ich dann weiter um auf den Wert zu kommen???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Do 08.07.2004 | | Autor: | mausi |
Ich habs alles klar wäre dann wurzel(79/210)
mal wieder den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen,hihi
mfg mausi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Do 08.07.2004 | | Autor: | mausi |
Hallo,meine Frage ist wie löse ich denn die Gleichungen die übrig sind???
[mm] 1/6a_3+1/5a_2+1/4a_1+1/3a_0=0
[/mm]
[mm] 1/7a_3+1/6a_2+1/5a_1+1/4a_0=0
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Do 08.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, zunächst einmal musst du versuchen zwei der beiden Unbekannten, unten [mm] $a_0$ [/mm] und [mm] $a_1$, [/mm] zu "eliminieren" (auch wenn sich Paul, vermutlich zu recht, an dem Ausdruck stört, aber ich finde es so vielleicht nicht streng mathematisch, aber intuitiv formuliert und wir meinen auf jeden Fall das Gleiche  ):
Löst man die eine Gleichung nach [mm] $a_1$ [/mm] auf und setzt in die andere ein, so erhält man die beiden Gleichungen:
[mm] $a_0 [/mm] = [mm] \frac{21}{10}a_2 [/mm] + [mm] 7a_3$
[/mm]
[mm] $a_1 [/mm] = - [mm] 3a_2 [/mm] - [mm] 7,5a_3$,
[/mm]
d.h. man hat zwei der Parameter durch die beiden anderen ausgedrückt und damit in meinem Sinne "eliminiert".
Daraus folgt:
[mm] $\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] a_2 \cdot \begin{pmatrix} \frac{21}{10} \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] a_3 \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ -7,5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Jetzt suchen wir noch schöne Vielfache und stellen fest, dass [mm] $U^{\perp}$ [/mm] von
[mm] $\begin{pmatrix} 21 \\ -30 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
und
[mm] $\begin{pmatrix} 14 \\ -15 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
(Achtung: das sind natürlich nur die Koordinatenvektoren!) aufgespannt wird.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Do 08.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Julius
> Also, zunächst einmal musst du versuchen zwei der beiden
> Unbekannten, unten [mm]a_0[/mm] und [mm]a_1[/mm], zu "eliminieren" (auch wenn
> sich Paul, vermutlich zu recht, an dem Ausdruck stört, aber
> ich finde es so vielleicht nicht streng mathematisch, aber
> intuitiv formuliert und wir meinen auf jeden Fall das
> Gleiche ):
>
> Löst man die eine Gleichung nach [mm]a_1[/mm] auf und setzt in die
> andere ein, so erhält man die beiden Gleichungen:
>
> [mm]a_0 = \frac{21}{10}a_2 + 7a_3[/mm]
> [mm]a_1 = - 3a_2 - 7,5a_3[/mm],
>
>
> d.h. man hat zwei der Parameter durch die beiden anderen
> ausgedrückt und damit in meinem Sinne "eliminiert".
Gut, so betrachtet bin ich wieder einverstanden mit "eliminieren".
Ein Beispiel mehr wie wichtig es, gerade in einer "präzisen" Wissenschaft, alle Ausdrücke vor ihrer Anwendung genau zu definieren, damit alle das Gleiche meinen und nicht aneinander vorbeireden und sich möglicherweise in die Haare geraten. ![[fechtduell]](/images/smileys/fechtduell.gif "[fechtduell]")
Wenn ich etwas eliminiere, dann ist es für immer verschwunden.
Genau wie in einem Mafia-Film!
Du siehst das aber in einer eher abgeschwächten Form: das Eliminierte darf noch vorhanden sein, lässt sich aber durch etwas anderes ausdrücken. 
Mit lieben Grüssen und nichts für Ungut wegen des Missverständnisses
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Do 08.07.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Pauk!
> Hier stimmt leider der 1. Teil nicht: es kürzen sich nicht
> zwei Parameter weg
Aber man kann doch zwei Parameter eliminieren, und nichts anderes hatte ich ja auch behauptet. Ich meine es ist ja klar, dass man aus zwei Gleichungen mit vier Parametern zwei eliminieren kann.
Liebe Grüße
Julius
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Warum erscheint hier noch ein $x$? Die obere Grenze ist ja $1$, die untere $0$.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]"){kind=small}
