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Skalarprodukt = 0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 So 03.08.2014
Autor: Trikolon

Aufgabe
Es sei f: [mm] \IR \to \IR^n [/mm] eine diffbare Funktion mit ||f(t)||=1 für alle t [mm] \in \IR. [/mm] Zeige:
<f'(t),f(t)>=0 für alle t [mm] \in \IR. [/mm]

Hallo,

zunächst folgt aus ||f(t)||=1 ja mal dass [mm] \summe_{i=1}^{n} f_i^2(t) [/mm] = 1 ist.

<f'(t),f(t)>= [mm] \summe_{i=1}^{n} f_i'(t) [/mm] * [mm] f_i(t) [/mm]

Jetzt muss ich ja vermutlich noch irgendwie die Differenzierbarkeit von f mit einbringen oder? Vielleicht als Differenzenquotient darstellen?

        
Bezug
Skalarprodukt = 0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 So 03.08.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Es sei f: [mm]\IR \to \IR^n[/mm] eine diffbare Funktion mit
> ||f(t)||=1 für alle t [mm]\in \IR.[/mm] Zeige:
> <f'(t),f(t)>=0 für alle t [mm]\in \IR.[/mm]
> Hallo,

>

> zunächst folgt aus ||f(t)||=1 ja mal dass [mm]\summe_{i=1}^{n} f_i^2(t)[/mm]
> = 1 ist.

>

> <f'(t),f(t)>= [mm]\summe_{i=1}^{n} f_i'(t)[/mm] * [mm]f_i(t)[/mm]

>

> Jetzt muss ich ja vermutlich noch irgendwie die
> Differenzierbarkeit von f mit einbringen oder? Vielleicht
> als Differenzenquotient darstellen?

Nein, das ist alles viel einfacher. Stelle den Betrag mal konkret auf, setze ihn gleich 1 und quadriere. Danach das ganze (auf beiden Seiten) nach t ableiten - fertig.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt = 0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 So 03.08.2014
Autor: Trikolon

Welchen Betrag meinst du denn?

Bezug
                        
Bezug
Skalarprodukt = 0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 So 03.08.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Welchen Betrag meinst du denn?

[mm] \left|f(t)\right|=\wurzel{\sum_{k=1}^{n}x_k^2(t)} [/mm]

EDIT: sorry, ich sehe gerade, dass du das ja schon gemacht hast (nur die Komponenten sind anders benannt).

Du musst nichts weiter mehr tun als abzuleiten.


Gruß, Diophant

 

Bezug
                                
Bezug
Skalarprodukt = 0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 So 03.08.2014
Autor: Trikolon

Dann erhalte ich als Ableitung:

[mm] \bruch{f_i'(t)^2}{\wurzel{\summe_{i=1}^{n} f_i^2(t)}} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Skalarprodukt = 0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 So 03.08.2014
Autor: fred97


> Dann erhalte ich als Ableitung:
>  
> [mm]\bruch{f_i'(t)^2}{\wurzel{\summe_{i=1}^{n} f_i^2(t)}}[/mm]  

Nein. Wenn Du die Gleichung

  [mm] f_1^2(t)+f_2^2(t)+...+f_n^2(t)=1 [/mm]

nach t differenzierst, bekommst Du was ?

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Skalarprodukt = 0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 So 03.08.2014
Autor: Trikolon

Dann erhalte ich

[mm] f_1(t)*f_1'(t)+...+f_n(t)*f_n'(t)=0, [/mm]

womit ja alles gezeigt ist.

Bezug
                                                        
Bezug
Skalarprodukt = 0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 So 03.08.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Dann erhalte ich

>

> [mm]f_1(t)*f_1'(t)+...+f_n(t)*f_n'(t)=0,[/mm]

>

> womit ja alles gezeigt ist.

Genau. [ok]

Gruß, Diophant

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