Skalarprodukt /Betrag < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] u=\vektor{-1\\ 1\\1} v=\vektor{6\\ -3\\1}
[/mm]
Zeige [mm] \vmat{ u*v } \le \vmat{ \vmat{ u}\vmat{ v}} [/mm] |
stimmt folgendes:
u*v= -8
[mm] \vmat{ u*v }=8 [/mm] (betrag von u*v)
aber was sind die doppelstriche bei [mm] \vmat{ \vmat{ u}\vmat{ v}}
[/mm]
Ich vermute:
(Betrag von u)*(Betrag von v)---> 1,73*6,78=11,73
Gruß gmh
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]u=\vektor{-1\\ 1\\1} v=\vektor{6\\ -3\\1}[/mm]
>
> Zeige [mm]\vmat{ u*v } \le \vmat{ \vmat{ u}\vmat{ v}}[/mm]
> stimmt
> folgendes:
> u*v= -8
> [mm]\vmat{ u*v }=8[/mm] (betrag von u*v)
>
> aber was sind die doppelstriche bei [mm]\vmat{ \vmat{ u}\vmat{ v}}[/mm]
Für $u= [mm] \vektor{x \\ y \\ z}$ [/mm] ist $||u||= [mm] \wurzel{x^2+y^2+z^2}$
[/mm]
>
> Ich vermute:
> (Betrag von u)*(Betrag von v)---> 1,73*6,78=11,73
Du hast richtig gerechnet, aber diese Dezimalzahlen ..............................
Eleganter wäre, zu zeigen: $ [mm] |u*v|^2 \le ||u||^2*||v||^2$
[/mm]
Es ist $ [mm] |u*v|^2=64$, $||u||^2=3$ [/mm] und [mm] $||v||^2=46$
[/mm]
FRED
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> Gruß gmh
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Do 15.07.2010 | | Autor: | abakus |
> > [mm]u=\vektor{-1\\ 1\\1} v=\vektor{6\\ -3\\1}[/mm]
> >
> > Zeige [mm]\vmat{ u*v } \le \vmat{ \vmat{ u}\vmat{ v}}[/mm]
> >
> stimmt
> > folgendes:
> > u*v= -8
> > [mm]\vmat{ u*v }=8[/mm] (betrag von u*v)
> >
> > aber was sind die doppelstriche bei [mm]\vmat{ \vmat{ u}\vmat{ v}}[/mm]
>
> Für [mm]u= \vektor{x \\ y \\ z}[/mm] ist [mm]||u||= \wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
>
> >
> > Ich vermute:
> > (Betrag von u)*(Betrag von v)---> 1,73*6,78=11,73
>
> Du hast richtig gerechnet, aber diese Dezimalzahlen
> ..............................
>
> Eleganter wäre, zu zeigen: [mm]|u*v|^2 \le ||u||^2*||v||^2[/mm]
>
>
> Es ist [mm]|u*v|^2=64[/mm], [mm]||u||^2=3[/mm] und [mm]||v||^2=46[/mm]
>
> FRED
Noch eleganter (ganz ohne Zahlenwerte):
|u|*|v| ist stets kleiner oder gleich [mm] |u|*|v|*|cos(\angle(u,v))|, [/mm]
da [mm] |cos(\angle(u,v))| \le [/mm] 1
Gruß Abakus
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> >
> > Gruß gmh
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > [mm]u=\vektor{-1\\ 1\\1} v=\vektor{6\\ -3\\1}[/mm]
> > >
> > > Zeige [mm]\vmat{ u*v } \le \vmat{ \vmat{ u}\vmat{ v}}[/mm]
> >
> >
> > stimmt
> > > folgendes:
> > > u*v= -8
> > > [mm]\vmat{ u*v }=8[/mm] (betrag von u*v)
> > >
> > > aber was sind die doppelstriche bei [mm]\vmat{ \vmat{ u}\vmat{ v}}[/mm]
>
> >
> > Für [mm]u= \vektor{x \\ y \\ z}[/mm] ist [mm]||u||= \wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ich vermute:
> > > (Betrag von u)*(Betrag von v)---> 1,73*6,78=11,73
> >
> > Du hast richtig gerechnet, aber diese Dezimalzahlen
> > ..............................
> >
> > Eleganter wäre, zu zeigen: [mm]|u*v|^2 \le ||u||^2*||v||^2[/mm]
>
> >
> >
> > Es ist [mm]|u*v|^2=64[/mm], [mm]||u||^2=3[/mm] und [mm]||v||^2=46[/mm]
> >
> > FRED
> Noch eleganten (ganz ohne Zahlenwerte):
> |u|*|v| ist stets kleiner oder gleich
> [mm]|u|*|v|*|cos(\angle(u,v))|,[/mm]
> da [mm]|cos(\angle(u,v))| \le[/mm] 1
> Gruß Abakus
Ja, ja und noch eleganter (ganz ohne Winkel): in jedem Innenproduktraum mit dem Skalarprodukt $<*,*>$ und der Norm $||u||= [mm] \wurzel{}$ [/mm] gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung:
$ [mm] ||^2 \le ||u||^2\cdot{}||v||^2 [/mm] $
FRED
> >
> >
> > >
> > > Gruß gmh
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> > >
> > >
> > >
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Do 15.07.2010 | | Autor: | abakus |
> > > > [mm]u=\vektor{-1\\ 1\\1} v=\vektor{6\\ -3\\1}[/mm]
> > > >
>
> > > > Zeige [mm]\vmat{ u*v } \le \vmat{ \vmat{ u}\vmat{ v}}[/mm]
> >
> >
> > >
> > > stimmt
> > > > folgendes:
> > > > u*v= -8
> > > > [mm]\vmat{ u*v }=8[/mm] (betrag von u*v)
> > > >
> > > > aber was sind die doppelstriche bei [mm]\vmat{ \vmat{ u}\vmat{ v}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Für [mm]u= \vektor{x \\ y \\ z}[/mm] ist [mm]||u||= \wurzel{x^2+y^2+z^2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Ich vermute:
> > > > (Betrag von u)*(Betrag von v)--->
> 1,73*6,78=11,73
> > >
> > > Du hast richtig gerechnet, aber diese Dezimalzahlen
> > > ..............................
> > >
> > > Eleganter wäre, zu zeigen: [mm]|u*v|^2 \le ||u||^2*||v||^2[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > Es ist [mm]|u*v|^2=64[/mm], [mm]||u||^2=3[/mm] und [mm]||v||^2=46[/mm]
> > >
> > > FRED
> > Noch eleganten (ganz ohne Zahlenwerte):
> > |u|*|v| ist stets kleiner oder gleich
> > [mm]|u|*|v|*|cos(\angle(u,v))|,[/mm]
> > da [mm]|cos(\angle(u,v))| \le[/mm] 1
> > Gruß Abakus
>
>
> Ja, ja und noch eleganter (ganz ohne Winkel): in jedem
> Innenproduktraum mit dem Skalarprodukt [mm]<*,*>[/mm] und der Norm
> [mm]||u||= \wurzel{}[/mm] gilt die Cauchy-Schwarzsche
> Ungleichung:
>
> [mm]||^2 \le ||u||^2\cdot{}||v||^2[/mm]
>
>
> FRED
Ich bin tief beeindruckt.
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> > > >
> > > > Gruß gmh
> > > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > > Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Noch eleganter (ganz ohne Zahlenwerte):
> |u|*|v| ist stets kleiner oder gleich
> [mm]|u|*|v|*|cos(\angle(u,v))|,[/mm]
> da [mm]|cos(\angle(u,v))| \le[/mm] 1
Das stimmt aber nicht. Es ist |u|*|v| ist stets größer oder gleich [mm]|u|*|v|*|cos(\angle(u,v))|,[/mm] , da [mm]|cos(\angle(u,v))| \le[/mm] 1
GrußFRED
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