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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Sa 22.05.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: [mm] \nabla\times(E\times B)=E(\nabla\cdot B)-B(\nabla\cdot E)+(B\cdot\nabla)E-(E\cdot\nabla)B, [/mm] wobei B,E Vektoren sind. |
Hallo,
ich habe so angefangen:
[mm] \nabla\times(E\times B)=\nabla\times(E_{C}\times B+E\times B_{C}), [/mm] wobei das C bedeuten soll, dass ich den entsprechenden Vektor als Konstante betrachte, [mm] \nabla [/mm] also keine Wirkung darauf hat.
Dann: [mm] \nabla\times(E_{C}\times B+E\times B_{C})=\nabla\times(E_{C}\times B)+\nabla\times(E\times B_{C}). [/mm] Normalerweise darf ich doch jetzt auf den ersten Summanden die Graßmann-Identität anwenden oder? und käme dann zu: [mm] \nabla\times(E_{C}\times B)=E_{C}(\nabla\cdot B)-B(\nabla\cdot E_{C}). [/mm] Den zweiten Summanden wollte ich so umschreiben: [mm] \nabla\times(E\times B_{C})=\nabla\times-(B_{C}\times E)=-\nabla\times(B_{C}\times [/mm] E) und dann wieder Graßmann: [mm] B_{C}(-\nabla\cdot E)-E(-\nabla\cdot B_{C})=E(\nabla\cdot B_{C})-B_{C}(\nabla\cdot [/mm] E). Kann ich nun innerhalb der Klammern die Reihenfolge vertauschen, gilt also [mm] (\nabla\cdot B_{C})=(\nabla\cdot B_{C})? [/mm] Eigentlich ja schon, wenn man die Komponenten von [mm] B_{C} [/mm] noch als konstante Elemente betrachtet.
Kann man am Ende einfach wieder die C's wegmachen?
Ich hoffe es ist einigermaßen korrekt.
Kann man es vllt auch noch viel einfacher beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 So 23.05.2010 | | Autor: | Calli |
> ich habe so angefangen:
>
> [mm]\nabla\times(E\times B)=\nabla\times(E_{C}\times B+E\times B_{C}),[/mm]
> wobei das C bedeuten soll, dass ich den entsprechenden
> Vektor als Konstante betrachte, [mm]\nabla[/mm] also keine Wirkung
> darauf hat.
>
> Dann: [mm]\nabla\times(E_{C}\times B+E\times B_{C})=\nabla\times(E_{C}\times B)+\nabla\times(E\times B_{C}).[/mm]
> Normalerweise darf ich doch jetzt auf den ersten Summanden
> die Graßmann-Identität anwenden oder?
Nein !
Wende die Graßmann-Identität auf [mm]\nabla\times(E\times B)=...[/mm] an.
> Kann ich nun innerhalb der Klammern die Reihenfolge
> vertauschen, gilt also [mm](\nabla\cdot B_{C})=(\nabla\cdot B_{C})?[/mm]
Hä ?
Es gilt: [mm](\nabla\cdot B)=(B\cdot \nabla )[/mm]
> Kann man es vllt auch noch viel einfacher beweisen?
Ja, siehe oben. 
Ciao Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 So 23.05.2010 | | Autor: | Unk |
> Wende die Graßmann-Identität auf [mm]\nabla\times(E\times B)=...[/mm]
> an.
>
Das geht nicht so einfach, da [mm] \nabla [/mm] ein Operator ist. Wenn ich da jetzt einfach Graßmann drauf anwende, käme auch nicht das raus, was rauskommen sollte.
Deswegen schreibe ich doch gerade [mm] \nabla\times(E\times B)=\nabla\times(E_{C}\times B)+\nabla\times(E\times B_{C})=E(\nabla\cdot B)-B(\nabla\cdot E)+E(\nabla\cdot B)-B(\nabla\cdot [/mm] E).
Dass bei Vektoren mit Einträgen in [mm] \mathbb{R} [/mm] die Symmetrie gilt, weiß ich. Nun ist aber [mm] \nabla [/mm] wieder ein Operator und irgendwie ist doch [mm] \partial_x\cdot x\neq x\partial_x [/mm] oder nicht, bzw. ich weiß nicht was ich mit [mm] x\partial_x [/mm] anfangen soll? Wenn das doch gilt, dann wäre ich mit obigem ja praktisch fertig!
Ist nun das bisher oben so richtig? Oder muss man noch weitere Schritte hinzufügen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 So 23.05.2010 | | Autor: | Calli |
> Das geht nicht so einfach, da [mm]\nabla[/mm] ein Operator ist. Wenn
> ich da jetzt einfach Graßmann drauf anwende, käme auch
> nicht das raus, was rauskommen sollte.
> Deswegen schreibe ich doch gerade [mm]\nabla\times(E\times B)=\nabla\times(E_{C}\times >B)+\nabla\times(E\times B_{C})=E(\nabla\cdot B)-B(\nabla\cdot E)+E(\nabla\cdot B)-B(\nabla\cdot E)[/mm] .
Hi, warum soll folgendes nicht gelten:
[mm]\nabla\times(E\times B)=E(\nabla\cdot B)-B(\nabla\cdot E)=\nabla (B\cdot E)-\nabla(E\cdot B)[/mm]
Und jetzt auf beide Terme die Produktregel anwenden.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Ciao Calli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:27 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Unk |
> > Das geht nicht so einfach, da [mm]\nabla[/mm] ein Operator ist. Wenn
> > ich da jetzt einfach Graßmann drauf anwende, käme auch
> > nicht das raus, was rauskommen sollte.
> > Deswegen schreibe ich doch gerade [mm]\nabla\times(E\times B)=\nabla\times(E_{C}\times >B)+\nabla\times(E\times B_{C})=E(\nabla\cdot B)-B(\nabla\cdot E)+E(\nabla\cdot B)-B(\nabla\cdot E)[/mm]
> .
> Hi, warum soll folgendes nicht gelten:
>
> [mm]\nabla\times(E\times B)=E(\nabla\cdot B)-B(\nabla\cdot E)=\nabla (B\cdot E)-\nabla(E\cdot B)[/mm]
>
Warum gilt denn [mm] E(\nabla\cdot B)=\nabla (B\cdot [/mm] E). Auf der linken Seite differenzieren wir erst die Komponenten von B, erhalten was skalares und multiplizieren mit E. Auf der rechten Seite machen wir aber zuerst das Skalarprodukt von E und B und differenzieren dann erst. Das ist doch nicht gleich oder? Wieso?
Was ist denn nun mit meinem Weg? Kann man das so machen? Und wie ist nun sowas hier gemeint: [mm] B\cdot \nabla? [/mm] Normalerweise wirkt doch [mm] \nabla [/mm] immer auf den rechten Vektor, hier stehe [mm] \nabla [/mm] aber links. Oder ist das vollkommen egal? Ich kann einfach mit x [mm] \partial_x [/mm] nix anfangen.
> Und jetzt auf beide Terme die Produktregel anwenden.
Hmm ok.
>
>
> Ciao Calli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Calli |
Ok, gehen wir den Weg vom Anfang:
[mm]\nabla\times(E\times B)=\nabla\times(E_{c}\times B+E\times B_{c})=\nabla\times(E_{c}\times B)+\nabla\times(E\times B_{c})[/mm]
Auf beide Terme den 'Graßmann':
1: [mm]E_{c}\cdot (\nabla B)-B\cdot(\nabla E_{c})=E_{c}\cdot (\nabla B)- (E_{c} \nabla)\cdot B[/mm]
wg.: [mm] $d(c\cdot u)=c\cdot [/mm] du$
2: [mm] $E\cdot (\nabla B_{c})-B_{c}\cdot (\nabla E)=(B_{c} \nabla)\cdot [/mm] E- [mm] B_{c}\cdot (\nabla [/mm] E)$
Summe bilden (ohne Index c) !
Ciao Calli
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