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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:32 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Aileron |
| Aufgabe | Die Lineare Abbildung [mm]\phi : P_2(\IR) \to \IR[/mm] sei definiert durch [mm]\phi (f) = f(1)[/mm] . Finden Sie [mm](Ker(\psi))^\star[/mm] (* = Orthogonal) bezüglich des folgenden Skalarproduktes:
[mm]s(f, g) = \integral_{-1}^{1}{f(t) g(t) dt}[/mm] |
Nun habe ich zwei Fragen:
1) was ist mit dem [mm]\phi (f) = f(1)[/mm] gemeint?
Bedeutet das, ich nehme für das integral nur die Skalaren Elemente aus dem Polynom, oder nehme ich das Polynom und setze für das x jeweils 1 ein, und erhalte damit im prinzip die Faktoren des Polynoms?
2) span<Kern(psi) Orthogonal> = span<Bild(psi)> oder?
Mein Lösungsansatz ist (sobald ich weiß was mit der aufgabenstellung gemeint ist): ich rechne die Orthogonalbasis des Kerns aus, und ergänze sie zum VR, und erhalte so den/die fehlenen/n Vektor/en für das Bild (also Kern Orthogonal)
Da wir uns im Raum von Polynomen zweiten Grades bewegen gibt es ja nur 3 Basisvektoren [mm] (x^2, [/mm] x, 1)
mit freundlichen Grüßen,
Aileron
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Was mir viel wichtiger erscheint: Was ist [mm]\psi[/mm] ?
Zu Anfang definierst du eine Abbildung [mm]\phi[/mm] - gut, die ist damit gegeben. Aber was ist [mm]\psi[/mm] ?
Wie soll man von einer Abbildung, die man nicht kennt, den Kern bestimmen? Oder soll das zweimal derselbe Bezeichner sein? Also ein Schreibfehler?
Und [mm]\phi[/mm] wertet einfach ein Polynom an der Stelle 1 aus. Für das Polynom [mm]f(t) = 2t^2 - 3t + 4[/mm] wäre dann [mm]\phi(f) = f(1) = 3[/mm]. Damit ist [mm]\phi[/mm] eine lineare Abbildung in den Skalarkörper, eine sogenannte Linearform.
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