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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Skalarprodukt / Winkel
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Skalarprodukt / Winkel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 So 14.11.2010
Autor: student124

Aufgabe
Es gilt für die Skalarprodukte der Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} [/mm] eines eukl. Vektorraums:

[mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{a} [/mm] = 3
[mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = 0
[mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{c} [/mm] = 2
[mm] \vec{b} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = 2
[mm] \vec{b} [/mm] * [mm] \vec{c} [/mm] = 1
[mm] \vec{c} [/mm] * [mm] \vec{c} [/mm] = 2

Es soll der Winkel zwischen [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} [/mm] bestimmt werden.

Hey Leute,

ich bräuchte bitte mal eure Hilfe bezüglich der Aufgabe.

Nun ist mein Ansatz folgender:

da [mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = 0 --> [mm] \vec{a} \perp \vec{b} [/mm]

[mm] \vec{a} [/mm] * [mm] \vec{a} [/mm] = 3 [mm] \hat= [/mm]    
[mm] \vec{a}^2 [/mm] = 3
deswegen [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm]

[mm] \vec{b} [/mm] * [mm] \vec{b} [/mm] = 2 [mm] \hat= [/mm]    
[mm] \vec{b}^2 [/mm] = 2
deswegen [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm]

Und nun wollte ich, da ich ja nun die Längen der Dreiecksseiten haben, die Winkel mit Hilfe cos/sin bestimmen. Nur leider klappt meine Idee nicht. Hat mir jemand einen Rat?

Danke!
Grüße

        
Bezug
Skalarprodukt / Winkel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:11 So 14.11.2010
Autor: leduart

Hallo
du hast doch bc=1 und kennst die Beträge von b und c.
welche Beziehung zw. Winkel und Skalarprodukt kennst du denn?
Gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Skalarprodukt / Winkel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 So 14.11.2010
Autor: student124

Nun ja, ich weiß dass:

[mm] \bruch {\vec{a} * \vec{a}}{|\vec{a}| |\vec{b}| } [/mm] = cos eingeschlossener Winkel

Nur komme ich dann ja mit meinen Werten (die Wurzeln) von [mm] \vec{c} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] auf einen Kosinus von 0.

Hast du mir noch einen Tipp? :)

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Skalarprodukt / Winkel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 So 14.11.2010
Autor: M.Rex

Hallo

Die Formel ist korrekt, mit ihr bekommst du, wenn [mm] \vec{a} [/mm] der Seitea des Dreiecks entspricht, [mm] \vec{b} [/mm] der Seite b und [mm] \vec{c} [/mm] der Seite c:


[mm] \cos(\alpha)=\bruch{\vec{b}*\vec{c}}{|\vec{b}|*|\vec{c}|}=\bruch{1}{\wurzel{2}*\wurzel{2}} [/mm]

[mm] \cos(\gamma)=\bruch{\vec{b}*\vec{a}}{|\vec{b}|*|\vec{a}|}=0 [/mm]


[mm] \cos(\beta)=\bruch{\vec{a}*\vec{c}}{|\vec{a}|*|\vec{c}|}=\bruch{2}{\wurzel{3}*\wurzel{2}} [/mm]

Und da hast du mitnichten immer [mm] \cos(\ldots)=0 [/mm]

Marius


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Skalarprodukt / Winkel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 So 14.11.2010
Autor: student124

Danke!

Habe mich im Zähler vertan.

Mein letztes Problem ist nun, dass ich jetzt für [mm] \alpha [/mm] = 60 ° und /beta = 35,25 ° raus bekomme.

Nun dürfen die Innenwinkel aber zusammen ja nur 180° ergeben und [mm] \gamma [/mm] muss ja 90 ° sein. D.h. da scheint irgendwo was nicht zu stimmen.

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Skalarprodukt / Winkel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 So 14.11.2010
Autor: chrisno

Warum meinst Du ein Dreieck zu haben? Das wäre rechtwinklig. Dann sieht man schon an den Seitenlängen, dass es nicht sein kann.

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Skalarprodukt / Winkel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:27 So 14.11.2010
Autor: student124

Danke, war irgendwie darauf fixiert, dass es ein Dreieck wird...

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