Skalarprodukt beweisen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] x\circ y=3x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+3x_{2}y_{2}
[/mm]
Beweisen Sie, dass [mm] \circ [/mm] ein Skalarprodukt auf V ist. |
Hallo zusammen,
ich benötige ein wenig Hilfe bei der o.g. Aufgabe.
Ich hab mir bisher überlegt, dass ich die lineare Unabhängigkeit der beiden Vektoren nachweisen könnte und somit folgern kann, dass das Skalarprodukt gebildet werden kann.
Ich weiß leider nur nicht, wie ich das rechnerisch lösen kann. Geht mein Ansatz schonmal in die richtige Richtung? Mit V ist übrigens der 2-dimensionale Vektorraum gemeint.
Viele Grüße
datenmuell
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
> [mm]x\circ y=3x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}-3x_{2}y_{2}[/mm]
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> Beweisen Sie, dass [mm]\circ[/mm] ein Skalarprodukt auf V ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich benötige ein wenig Hilfe bei der o.g. Aufgabe.
> Ich hab mir bisher überlegt, dass ich die lineare
> Unabhängigkeit der beiden Vektoren nachweisen könnte und
> somit folgern kann, dass das Skalarprodukt gebildet werden
> kann.
>
> Ich weiß leider nur nicht, wie ich das rechnerisch lösen
> kann. Geht mein Ansatz schonmal in die richtige Richtung?
> Mit V ist übrigens der 2-dimensionale Vektorraum gemeint.
>
Da du als Mathe-Background nicht Mathestudium angegeben hast weiss ich halt nicht, ob dir diese Lösung helfen kann...
Was ist ein Skalarprodukt? Eine symmetrische, positive definite Bilinearform, richtig?
Nun, dein Skalarprodukt hat die darstellende Matrix A = [mm] \pmat{3 & -1 \\ -1 & -3}
[/mm]
(Bist du sicher, dass es da bei deiner Definition -3 heissen sollte am Schluss und nicht +3?)
Jetzt prüfe diese Matrix auf Symmetrie und positive Definitheit.
> Viele Grüße
> datenmuell
>
Grüsse, Amaro
> P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke für die schnellen Antworten!
Du hast Recht, ich habe mich beim Abtippen vertan. Die Matrix lautet demnach: A= [mm] \pmat{ 3 & -1 \\ -1 & 3 }
[/mm]
Sie ist also positiv definit, da die Determinante > 0 ist. Zudem ist die Matrix symmetrisch.
Wie beweise ich denn damit, dass dies Gleichung ein Skalarprodukt ist?
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Hallo
> Danke für die schnellen Antworten!
>
> Du hast Recht, ich habe mich beim Abtippen vertan. Die
> Matrix lautet demnach: A= [mm]\pmat{ 3 & -1 \\ -1 & 3 }[/mm]
>
> Sie ist also positiv definit, da die Determinante > 0 ist.
> Zudem ist die Matrix symmetrisch.
Das stimmt, aber falsche Begründung. Die Determinante > 0 beweist keine positive Definitheit. Aber die Hauptminoren tun es.. und beide Hauptminoren sind > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] A positiv Definit. :)
>
> Wie beweise ich denn damit, dass dies Gleichung ein
> Skalarprodukt ist?
Das ist hiermit gezeigt.. ein Skalarprodukt ist eine symmetrische, positiv definite Bilinearform, wie ich dir bereits im letzten Post geschrieben habe.
Grüsse, Amaro
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Begründung nachvollziehbar, alles klar! :)
Könntest du vielleicht nochmal kurz erläutern, wie du von meiner Ausgangsgleichung auf die darstellende Matrix gekommen bist?
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> Könntest du vielleicht nochmal kurz erläutern, wie du von
> meiner Ausgangsgleichung auf die darstellende Matrix
> gekommen bist?
Hallo,
es ist
$ [mm] x\circ y=3x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+3x_{2}y_{2} [/mm] $ = [mm] (x_1 x_2)$ \pmat{3 & -1 \\ -1 & -3} $\vektor{y_1\\y_2}.
[/mm]
(Oder halt durch Ausrechen der Produkte der Standardbasisvektoren.)
War das mit der pos. definiten symmetrischen Bilinearform und den darstellenden Matrizen bereits dran bei Euch?
Ansonsten mußt Du die ![[]](/images/popup.gif) Eigenschaften einzeln nachweisen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Di 08.09.2009 | | Autor: | datenmuell |
Nein, das mit der pos. definiten symmetrischen Bilinearform und den darstellenden Matrizen hatten wir leider noch nicht. Ich werde die Eigenschaften dann wohl einzeln nachweisen.
Vielen Dank für alle Antworten!
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> [mm]x\circ y=3x_{1}y_{1}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}-3x_{2}y_{2}[/mm]
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> Beweisen Sie, dass [mm]\circ[/mm] ein Skalarprodukt auf V ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Um zu beweisen, daß Deine Verknüpfung [mm] \circ [/mm] ein Skalarprodukt ist, müßtest Du ja erstmal wissen, was ein Skalarprodukt ist.
Also: wie ist "Skalarprodukt" definiert? Das ist das erste, was benötigt wird.
Die entsprechenden Eigenschaften wären dann nachzuweisen.
Gruß v. Angela
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