Spalte in Einheitsmatrix ersetzen (Determinante) < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Leibniz |
Hallo!
Hiermit bitte ich nun auch um Hilfe bei einer LA-Aufgabe. Vielen Dank dafür im Voraus.
Und zwar sollen wir bei der Einheitsmatrix [mm] 1_{n} [/mm] die i-te Spalte (i [mm] \le [/mm] n) durche eine Spalte b = [mm] \vektor{b_{1} \\ ... \\ b_{n}} [/mm] ersetzen
und zeigen, dass die Determinate = [mm] b_{i} [/mm] ist.
Geht das auch ohne das ich endlos lange dran rumrechne?
Da gibts doch sicher einen Trick (auf den ich leider nicht gekommen bin)!?
Grüße, Leibnix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Leibniz
> Hallo!
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> Hiermit bitte ich nun auch um Hilfe bei einer LA-Aufgabe.
> Vielen Dank dafür im Voraus.
>
> Und zwar sollen wir bei der Einheitsmatrix [mm]1_{n}[/mm] die i-te
> Spalte (i [mm]\le[/mm] n) durche eine Spalte b = [mm]\vektor{b_{1} \\ ... \\ b_{n}}[/mm]
> ersetzen
> und zeigen, dass die Determinate = [mm]b_{i}[/mm] ist.
>
> Geht das auch ohne das ich endlos lange dran rumrechne?
Endlos wirds ja sicher nicht, denn $n$ ist wohl endlich? 
> Da gibts doch sicher einen Trick (auf den ich leider nicht
> gekommen bin)!?
Ich denke, wenn du geschickt ausnützen kannst, dass sich die Determinante nicht ändert, wenn man zu einer Spalte das x-Fache einer anderen Spalte addiert, dann kannst du doch alle Werte in der i-ten Spalte bis auf den Wert [mm] $b_i$ [/mm] zu $0$ machen.
Folgendermassen:
Wenn der Wert [mm] $b_k$ [/mm] ($k [mm] \not [/mm] = i$) nicht schon Null ist, dann addierst du einfach das [mm] $-b_{k}$-Fache [/mm] der k-ten Spalte zur i-ten Spalte. So erhältst du sukzessive eine Matrix, die in der Hauptdiagonalen lauter $1$ aufweist, ausser dort, wo eben das [mm] $b_{i}$ [/mm] steht. Ansonsten ist die Matrix mit lauter Nullen bevölkert. 
Mit lieben Grüssen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo zusammen,
wie wäre es denn, wenn du die Matrix mal nach der $i$-ten Spalte entwickelst? Die "nächst-kleineren" Matrizen (die dabei auftauchen) haben (bis auf genau eine Ausnahme) alle eine (komplette) $0$-Zeile (und damit hat deren Determinante den Wert $0$), bis auf eine (einmal taucht die Matrix [m]1_{n-1}[/m] auf, und deren Determinante hat bekanntlich den Wert $1$).
Viele Grüße
Marcel
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(Diese haben jetzt keinen speziellen Sinn, mir gefallen sie nur so gut, dass ich die jetzt hier mal reinstellen will! 