Spaltende exakte Sequenz < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Mi 08.06.2005 | | Autor: | R4ph43l |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich habe folgende Aufgabe und bin etwas ratlos:
"Es seien m,n teilerfremde nat. Zahlen. Zeigen sie dass jede exakte Sequenz der Form
0 [mm] \to \IZ/n\IZ \to [/mm] E [mm] \to \IZ/m\IZ \to [/mm] 0
mit einer abelschen Gruppe E spaltet."
Ich benenne jetzt die Morphismen [mm] \IZ/n\IZ \to [/mm] E mit [mm] \alpha [/mm] und
E [mm] \to \IZ/m\IZ [/mm] mit [mm] \beta.
[/mm]
Die Eigenschaft "spaltet" ist ja äquivalent zu folgenden Aussagen (bzw. die Aussagen untereinander):
(i) E [mm] \cong \IZ/n\IZ \oplus \IZ/m\IZ
[/mm]
(ii) Es ex. ein f: E [mm] \to \IZ/n\IZ [/mm] mit [mm] f\circ\alpha [/mm] = id
(iii) Es ex. ein g: [mm] \IZ/m\IZ \to [/mm] E mit [mm] \beta\circg [/mm] = id
Aus der Exaktheit der Sequenz weiß ich ausserdem, dass [mm] \alpha [/mm] injektiv und [mm] \beta [/mm] surjektiv sind. Dies reicht jedoch nicht um eine der obigen Funktionen zu finden, deswegen wird die Lösung wohl eher über den Weg der Isomorphie in (i) zu finden sein (?). Aber wie zeige ich diese?
Vielleicht über die univ. Eigenschaft einer anderen Funktion? Wie sieht das dann aus?
Danke schonmal für alle kreativen Einfälle und Lösungshilfen!
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Hallo!
Als ich den Titel las, dachte ich "Oh, exakte Sequenzen, das kann ich." Denkste - es hat mich über eine halbe Stunde gekostet, die Aussage zu beweisen. Ich hoffe, dass der Beweis richtig ist, Du solltest ihn gründlich nachvollziehen, ich übernehme keine Garantie.
Also, ich werde eine Abbildung $g: [mm] \IZ [/mm] / m [mm] \IZ \to [/mm] E$ konstruieren, die zu dem [mm] $\beta$ [/mm] passt.
Dazu definiere ich [mm] $\gamma: [/mm] E [mm] \to [/mm] E$ durch [mm] $\gamma(e) [/mm] := [mm] e^n$. [/mm] Das ist ein Homomorphismus und daher ist das Bild $B := [mm] \gamma(E)$ [/mm] eine Untergruppe von $E$.
Ich behaupte, dass die Einschränkung von [mm] $\beta$ [/mm] auf $B$ einen Isomorphismus von $E$ nach [mm] $\IZ [/mm] / m [mm] \IZ$ [/mm] induziert - seine Umkehrabbildung ist dann das gesuchte $g$.
Also, zur Injektivität: sei $b [mm] \in [/mm] B$ mit [mm] $\beta(b) [/mm] = 0$ gegeben. Ich will zeigen, dass $b = 0$ gilt. Da $b [mm] \in [/mm] B$ ist $b = [mm] e^n$ [/mm] für ein $e [mm] \in [/mm] E$. Es gilt also:
$0 = [mm] \beta(b) [/mm] = [mm] \beta(e^n) [/mm] = n [mm] \cdot \beta(e)$
[/mm]
Die Multiplikation ist einfach die Multiplikation in [mm] $\IZ [/mm] / m [mm] \IZ$. [/mm] Da aber $n$ und $m$ teilerfremd sind, ist $n$ in dem Ring eine Einheit, also muss [mm] $\beta(e) [/mm] = 0$ gelten. Damit ist aber $e$ im Kern von [mm] $\beta$, [/mm] was zugleich das Bild von [mm] $\alpha$ [/mm] ist, also gibt es ein $x [mm] \in \IZ [/mm] / n [mm] \IZ$ [/mm] mit [mm] $\alpha(x) [/mm] = e$. Natürlich ist $n [mm] \cdot [/mm] x = 0$ in [mm] $\IZ/n \IZ$. [/mm] Es folgt:
$0 = [mm] \alpha(n \cdot [/mm] x) = [mm] \alpha(x)^n [/mm] = [mm] e^n [/mm] = b$
Also ist $b = 0$ und damit ist die Abbildung injektiv.
Zur Surjektivität muss man nur das richtige Diagramm anschauen. In Formelsprache: bezeichne mit [mm] $\bar{\gamma}$ [/mm] die Abbildung von [mm] $\IZ/ [/mm] m [mm] \IZ$ [/mm] in sich, die Multiplikation mit $n$ darstellt. Da $n$ eine Einheit in [mm] $\IZ [/mm] / m [mm] \IZ$ [/mm] ist, ist [mm] $\bar{\gamma}$ [/mm] ein Isomorphismus und es gilt natürlich
[mm] $\beta \circ \gamma [/mm] = [mm] \bar{\gamma} \circ \beta$.
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] $\beta$ [/mm] eingeschränkt auf $B$ auch surjektiv ist.
Also sind $B$ und [mm] $\IZ [/mm] / m [mm] \IZ$ [/mm] isomorph und man kann $g: [mm] \IZ [/mm] / m [mm] \IZ \to [/mm] E$ einfach als Umkehrabbildung von [mm] $\beta|_B$ [/mm] definieren. Dann müsste alles passen. 
Lars
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