Spaltenoperationen (1.11) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | Spaltenoperationen auf M( n [mm] \times [/mm] n , K )
a) Wir definieren folgende Elementarmatrize
-Für [mm] \lambda \in [/mm] K \ {0} sei T(k; [mm] \lambda) [/mm] die Matrix, die aus der Einheitsmatrix entsteht, in dem man den Eintrag Eins in der k-ten Zeile, k-ten Spalte durch [mm] \lambda [/mm] ersetzt
Beschreiben sie das Ergebnis, wenn man eine Matrix A [mm] \in [/mm] M( n [mm] \times [/mm] n, K) mit dieser Elementarmatrize von rechts Multipliziert.
b)
Zeilenoperationen ändern den Kern der zur Matrix gehörenden Abbildung ( und somit die Lösungsmenge des zuhegörigen homogenen Gleichungssystems) nicht.
Zeigen Sie, dass Spaltenoperationen, d.h. Multiplikation von A von rechts mit T [mm] \in [/mm] GL(n,K) das Bild zu der A gehörigen linearen Abbildung nicht ändert. |
Hallo,
ich habe eine Lösung für a) bitte um eine Überprüfung
wenn ich die Matrix A mit der El.Matrix von rechts multiplizieren soll, dann heißt es doch:
A * T = [mm] A_{T}
[/mm]
oder?
dann wäre meine Lösung:
Die Matrix A wird in der k-ten Spalte mit [mm] \lambda [/mm] multipliziert, die restlichen Spalten bleiben unverändert.
bsp. 3x3
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 8 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & \lambda 2 & 3 \\ 4 & \lambda 5 & 6 \\ 7 & \lambda 8 & 8 }
[/mm]
bei b) habe ich keine ahnung...
was genau ist der Kern der Matrix und wie lese ich den ab?
hilft mir da die ZSF?
habe mit dem Kern und Image echt große probleme, kann es mir kaum vorstellen. und wie genau gehe ich da vor?
danke.
|
|
| |
|
Hallo,
nur, weil es so sehr schmerzt, wenn man es liest:
Es heißt eine Matrix, 2 oder mehr Matrizen.
Was für ein Unsinn soll eine Matrize sein?
Bitte achte darauf!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:40 Do 10.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur kurz:
> bei b) habe ich keine ahnung...
> was genau ist der Kern der Matrix und wie lese ich den
> ab?
den musst Du berechnen:
Ist $A [mm] \in K^{m \times n}\,$ [/mm] für einen Körper [mm] $K\,,$ [/mm] so ist
[mm] $$\text{kern}(A):=\{x \in K^{\red{n}}:\;A*x=\blue{0}\}$$ [/mm] mit der [mm] $\blue{0}=0 \in K^m\,.$ [/mm] Dabei ist [mm] $K^r \cong K^{r \times 1}\,,$ [/mm] d.h. wir fassen Elemente des [mm] $K^r$ [/mm]
als "Spaltenvektoren" auf.
Triviales Beispiel: Für [mm] $\pmat{1 & 0 \\ 0 &1} \in \IR^{2 \times 2}$ [/mm] ist einfach
[mm] $$\text{kern}\left(\pmat{1 & 0 \\ 0 &1}\right)=\left\{\vektor{0\\0}\right\}\,.$$
[/mm]
(Das kannst Du nachrechnen, oder?)
Trivial, aber ein bisschen weniger trivial: Für [mm] $\pmat{1 & 0 \\ 0 &0} \in \IR^{2 \times 2}$ [/mm] ist einfach
[mm] $$\text{kern}\left(\pmat{1 & 0 \\ 0 &0}\right)=\left\{r*\vektor{0\\1}:\;\;r \in \IR\right\}\,.$$
[/mm]
> hilft mir da die ZSF?
Na, wie löst Du denn die Aufgabe, alle [mm] $x\,$ [/mm] zu berechnen, für die
$$A*x=0$$
gilt? (Gaussalgorithmus, oder ...)
Wenn man ein [mm] $A\,$ [/mm] hat, für dass $x [mm] \mapsto [/mm] A*x$ injektiv ist, wird diese
Aufgabe übrigens sehr einfach. Ist halt die Frage, ob Du auch schon
darüber Kenntnisse hast...
> habe mit dem Kern und Image echt große probleme, kann es
> mir kaum vorstellen. und wie genau gehe ich da vor?
Was der Kern ist, steht oben. Das Bild einer Matrix kann man einfach
beschreiben:
Es ist die Menge aller Linearkombinationen der Spalten (die man dann als
entsprechende Spaltenvektoren auffasst) der Matrix.
Beispiel:
Ist [mm] $A=\pmat{1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 6}\,,$ [/mm] so ist
[mm] $$\text{Bild}(A)=\left\{r*\vektor{1\\0}+s*\vektor{2\\2}+t*\vektor{3\\6}:\;\;r,s,t \in \IR\right\}\,.$$
[/mm]
Dass man dieses Bild dann auch noch "kürzer" schreiben kann, ist eine
andere Sache.
Übrigens passt das alles zusammen zu den Definitionen, die man für
Abbildungen kennt. Den Kern einer linearen Abbildung $f: V [mm] \to [/mm] W$ kannst
Du als die Nullstellenmenge der Abbildung auffassen (Nullstellenmenge von
$f$ ist [mm] $=\{v_N \in V:\;f(v_N)=0\}$), [/mm]
und das Bild ist die Menge der "durch [mm] $f\,$ [/mm] erreichbaren Elemente von [mm] $W\,$":
[/mm]
[mm] $$\text{Bild}(f)=\{w^\* \in W: \;\exists v \in V \text{ mit }f(v)=w^\*\}\,.$$
[/mm]
Wobei man, wenn man vom Kern einer Matrix [mm] $A\,$ [/mm] spricht, dann für
$A [mm] \in K^{m \times n}$ [/mm] in Wahrheit wirklich den Kern (die Nullstellenmenge)
von
[mm] $$f_A\colon K^n \to K^m \text{ definiert durch }f_A(x):=\underbrace{A*x}_{{\in K}^m} \text{ für alle }x \in K^n$$
[/mm]
meint, und das Bild/Image von [mm] $A\,$ [/mm] halt [mm] $\text{Bild}(f_A)$ [/mm] meint.
Dass der Kern der Matrix die Nullstellenmenge von [mm] $f_A$ [/mm] ist, ergibt sich ja
per Definitionem (übrigens weißt Du hier sicher mehr - nämlich, welche
Eigenschaften die Nullstellenmenge von [mm] $f_A$ [/mm] hat: Sie ist ein Unterraum
von [mm] $K^n\,.$)
[/mm]
Die Aussage, dass man [mm] $\text{Bild}(f_A)$ [/mm] als die Menge aller
Linearkombinationen der Spalten von [mm] $A\,$ [/mm] auffassen kann, ist nun nicht
ganz so direkt ersichtlich. (Es ist nicht schwer, aber ich behaupte mal, dass
hier eine Vielzahl von drüber nachdenkenden Menschen das nicht nur
durch "reines angucken" sehen (würden), sondern, dass sie sich das ein
bisschen was zu aufschreiben würden...)
Wenn Du Dir das nochmal genauer angucken willst: ![[]](/images/popup.gif) hier (klick(!)),
Durchstöber' dort mal Kapitel 8 / so um Bemerkung und Definition 8.9...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Do 10.01.2013 | | Autor: | Aguero |
habe paar std versucht dir zu folgen, mehr oder weniger erfolgreich. mein problem ist, dass ich morgen die aufgaben abgeben muss!
kannst du, bzw irgendjemand mir eine lösung nennen?, wäre sehr dankbar für. die abgabe ist morgen.
ich verspreche auch dass ich es die tage sofort nachlerne :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Fr 11.01.2013 | | Autor: | meili |
Hallo Aguero,
b)
Zeigen Sie, dass Spaltenoperationen, d.h. Multiplikation von A von rechts mit
T $ [mm] \in [/mm] $ GL(n,K) das Bild zu der A gehörigen linearen Abbildung nicht ändert.
Zu b) mit Deinem Beispiel:
$A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 8 } [/mm] $
$ T = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] $
$A*T = [mm] \pmat{ 1 & \lambda 2 & 3 \\ 4 & \lambda 5 & 6 \\ 7 & \lambda 8 & 8 } [/mm] = [mm] A_T [/mm] $
Nach dem Beitrag von Marcel ist: $ [mm] \text{Bild}(A)=\left\{r\cdot{}\vektor{1\\4\\7}+s\cdot{}\vektor{2\\5\\8}+t\cdot{}\vektor{3\\8\\8}:\;\;r,s,t \in \IR\right\}$
[/mm]
und
$ [mm] \text{Bild}(A_T)=\left\{r\cdot{}\vektor{1\\4\\7}+s\cdot{}\vektor{\lambda 2\\ \lambda 5\\ \lambda 8}+t\cdot{}\vektor{3\\8\\8}:\;\;r,s,t \in \IR\right\} [/mm] = [mm] \left\{r\cdot{}\vektor{1\\4\\7}+s\lambda\cdot{}\vektor{2\\5\\8}+t\cdot{}\vektor{3\\8\\8}:\;\;r,s,t \in \IR\right\}$
[/mm]
Da r, s, t alle Elemente von [mm] $\IR$ [/mm] durchlaufen, ist es nicht schwer $ [mm] \text{Bild}(A) [/mm] = [mm] \text{Bild}(A_T)$ [/mm]
einzusehen.
Vielleicht siehst Du an diesem Beispiel, wie es allgemein funktioniert und
kannst einen Beweis aufschreiben.
Gruß
meili
|
|
|
|
