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| Aufgabe | Betrachte den von den Vektoren
[mm] v_1=\vektor{1 \\ 2\\4\\6\\1},v_2=\vektor{2 \\ 4\\8\\15\\6},v_3=\vektor{1 \\ 2\\4\\9\\8},v_4=\vektor{4\\ 8\\16\\30\\15},v_5=\vektor{3 \\ 6\\12\\24\\12}
[/mm]
aufgespannten Teilraum [mm] W: \subseteq \IR^5
[/mm]
1) Bestimme die Basis von W |
Fassen wir die Vektoren zu einer Matrix zusammen.
[mm] \pmat{ 1 & 2&1&4&3 \\ 2&4&2&8&6\\4&8&4&16&12\\6&15&9&30&24\\1&6&8&15&12}
[/mm]
dann ist W der Spaltenraum von A
Ja man könnte nun Spaltenumformungen tätigen, und die ersten k (rank(A)=k) Spalten der Spaltenstufenform A'(umgeformte Matrix) bilden eine Basis des Spaltenraums W von A.
Meine Frage:
Könnte ich auch Zeilenumformungen durchführen und dann das Korollar verwenden:
Die Spalten von A, wo die Spünge stattfinden bilden eine Basis des Spaltenraums von A.
Jedoch kommt da jeweils was anderes raus!
Spaltenmformungen:
[mm] \pmat{ 1 & 0&0&0&0 \\ 2&0&0&0&0\\4&0&0&0&0\\6&3&0&0&0\\1&4&3&0&0}
[/mm]
Die Vektoren [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] bilden Basis von W
Zeilumformungen:
[mm] \pmat{ 1 & 2&1&4&3 \\ 0&3&3&6&6\\0&0&-3&-3&-1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0}
[/mm]
1,2,3 Spalte finden Sprünge statt. Also
[mm] v_1, v_2,v_3 [/mm] Basis von W.
Wo liegt mein denkfehler? Rechenfehler sind mal nicht weiter wichtig!
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> Betrachte den von den Vektoren
> [mm]v_1=\vektor{1 \\
2\\
4\\
6\\
1},v_2=\vektor{2 \\
4\\
8\\
15\\
6},v_3=\vektor{1 \\
2\\
4\\
9\\
8},v_4=\vektor{4\\
8\\
16\\
30\\
15},v_5=\vektor{3 \\
6\\
12\\
24\\
12}[/mm]
>
> aufgespannten Teilraum [mm]W: \subseteq \IR^5[/mm]
>
> 1) Bestimme die Basis von W
> Fassen wir die Vektoren zu einer Matrix zusammen.
> [mm]\pmat{ 1 & 2&1&4&3 \\
2&4&2&8&6\\
4&8&4&16&12\\
6&15&9&30&24\\
1&6&8&15&12}[/mm]
>
> dann ist W der Spaltenraum von A
> Ja man könnte nun Spaltenumformungen tätigen, und die
> ersten k (rank(A)=k) Spalten der Spaltenstufenform
> A'(umgeformte Matrix) bilden eine Basis des Spaltenraums W
> von A.
>
> Meine Frage:
> Könnte ich auch Zeilenumformungen durchführen und dann
> das Korollar verwenden:
> Die Spalten von A, wo die Spünge stattfinden bilden eine
> Basis des Spaltenraums von A.
>
> Jedoch kommt da jeweils was anderes raus!
>
> Spaltenmformungen:
> [mm]\pmat{ 1 & 0&0&0&0 \\
2&0&0&0&0\\
4&0&0&0&0\\
6&3&0&0&0\\
1&4&3&0&0}[/mm]
>
> Die Vektoren [mm]b_1, b_2, b_3[/mm] bilden Basis von W
>
> Zeilumformungen:
> [mm]\pmat{ 1 & 2&1&4&3 \\
0&3&3&6&6\\
0&0&-3&-3&-1\\
0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&0}[/mm]
>
> 1,2,3 Spalte finden Sprünge statt. Also
> [mm]v_1, v_2,v_3[/mm] Basis von W.
>
>
> Wo liegt mein denkfehler? Rechenfehler sind mal nicht
> weiter wichtig!
Hallo,
beide Vorgehesweisen sind richtig und liefern ein richtiges Ergebnis.
Deinen Denkfehler sieht man schon in der Aufgabenstellung:
> 1) Bestimme die Basis von W
Es gibt nicht die Basis von W. Vektorräume haben i.d.R. viele Basen, und eine davon bestimmt man bei seinen Bemühungen.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Sa 18.02.2012 | | Autor: | theresetom |
Ah, ist klar;)
DANKE
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