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| Aufgabe | Folgende Beispielaufgabe:
$U := [mm] \{\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 } \in \IR^4: v_1=v_3 {} \ und \ v_4=v_1+v_2\}$ [/mm] |
Hi,
wie kann ich aus dieser Beispielaufgabe den Span bilden?
Ich bräuchte eine Beispielaufgabe um das verstehen zu können. Oder könnt ihr mir einen Tip geben?
Danke!
Gruß Thomas
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> Folgende Beispielaufgabe:
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> [mm]U := \{\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 } \in \IR^4: v_1=v_3 {} \ und \ v_4=v_1+v_2\}[/mm]
>
>
> wie kann ich aus dieser Beispielaufgabe den Span bilden?
Hallo,
möchtest Du, daß ich auf Deine Frage antworte, oder möchtest Du, daß ich die Frage beantworte, die Du meintest?
U ist ein Untervektorraum des [mm] \IR^4, [/mm] und somit ist span U =U. Das interessiert natürlich fast keinen Menschen...
Stellen wir also eine andere Frage: von welchen Vektoren wird U erzeugt, bzw. - richtig interessant - was ist eine Basis von U?
Dieser Frage wollen wir uns nähern.
Welche Eigenschaft haben die Elemente von U?
Es sind genau die Vektoren [mm] \vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 } \in \IR^4,
[/mm]
welche das homogene Gleichungssystem
[mm] v_1 -v_3 [/mm] =0
[mm] v_1+v_2 -v_4=0
[/mm]
lösen.
Wir haben hier ein lineares Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit 4 Variablen.
Das bedeutet, daß wir zwei Variable völlig frei wählen können, z.B.
[mm] v_1=s
[/mm]
[mm] v_2=t [/mm] mit s,t [mm] \in \IR. [/mm] Hieraus erhalten wir
[mm] v_3=s
[/mm]
[mm] v_4=s+t.
[/mm]
Wie sehen nun unsere Lösungsvektoren [mm] \vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 } [/mm] aus?
[mm] \vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 }=\vektor{s \\ t \\ s \\ s+t }=s\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }+t\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] mit s.t [mm] \in \IR.
[/mm]
Aha: man kann also jedes Element aus U schreiben als Linearkombination von ... und ...,
und somit ist
U=span (..., ...)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Di 12.12.2006 | | Autor: | aineias |
hallo, also ich habe mir mal diese afg angeguckt, da wir so was ähnliches machen...
wäre es denn jetzt eine linearkomibnation von s und t und der spann= due basisvektroren, sprich die vektoren die ich mit s und t multipiziere?? ist das denn richtig???
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> hallo, also ich habe mir mal diese afg angeguckt, da wir so
> was ähnliches machen...
> wäre es denn jetzt eine linearkomibnation von s und t und
> der spann= due basisvektroren, sprich die vektoren die ich
> mit s und t multipiziere?? ist das denn richtig???
Büschen kraus formuliert...
Es ist der span der beiden Vektoren =U.
Der Raum U wird von diesen beiden Vektoren aufgespannt.
Gruß v. Angela
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Hi,
$ [mm] \vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 }=\vektor{s \\ t \\ s \\ s+t }=s\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }+t\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] $
Diese beiden Vektoren sind die Basis, da sie ein minimales Erzeugendensystem darstellen d. h. du kannst keiner dieser Vektoren durch einen anderen ersetzen (z. B. duch Streckung, Stauchung, Addition...)
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 }\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
Gruß Thomas
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Hi Angela,
vielen Dank für diese superausführliche Rechnung! Den Span{} zu bestimmen geht fast genauso wie den Kern zu bestimmen oder? Man setzt die Gleichungen = 0 und setzt aufgrund des Freiheitsgrades die Variablen s, t ein.
Jetzt noch eine kleine Frage, ist es so, dass man so viele Variablen (s, t, ...) einsetzt wie man verschiedene Variablen im Vektor hat? Also in unserem Fall hatte der Vektor 2 verschiedene Variablen [mm] ($v_1 [/mm] \ [mm] v_2$) [/mm] deshalb auch 2 Variablen s, t.
Hätten wir jetzt einen Vektor mit [mm] ($v_1 [/mm] \ [mm] v_2 [/mm] \ [mm] v_3$) [/mm] dann hätten wir als Variablen s, t, u nehmen müssen also 3?
Stimmt das was ich da jetzt gesagt habe?
Danke Gruß Thomas
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> Jetzt noch eine kleine Frage, ist es so, dass man so viele
> Variablen (s, t, ...) einsetzt wie man verschiedene
> Variablen im Vektor hat? Also in unserem Fall hatte der
> Vektor 2 verschiedene Variablen ([mm]v_1 \ v_2[/mm]) deshalb auch 2
> Variablen s, t.
> Hätten wir jetzt einen Vektor mit ([mm]v_1 \ v_2 \ v_3[/mm]) dann
> hätten wir als Variablen s, t, u nehmen müssen also 3?
>
>
> Stimmt das was ich da jetzt gesagt habe?
Ich weiß nicht. Es ist auch - kraus...
Im konkreten Falle hatten wir 4 Variable [mm] v_1, v_2, v_3, v_4, [/mm] welche aber durch nur 2 Gleichungen eingeschränkt waren. Daher konnten wir 4-2= 2 Variable frei wählen. Und hieran sieht man gar nichts.
Anders: hätten wir Vektoren aus dem [mm] \IR^5 [/mm] gehabt, Variable [mm] v_1, v_2, v_3, v_4, v_5 [/mm] und auch nur zwei Gleichungen. Dann hätten wir 5-2=3 Variable frei wählen können und = r,s,t setzen können.
Hätten wir es mit dem [mm] \IR^3 [/mm] zu tun, Variable [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] und zwei Gleichungen, hätten wir 3-2=1 Variable frei wählen können.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Mi 13.12.2006 | | Autor: | KnockDown |
Hi Angela,
danke für die Ausführliche Erklärung ich glaube ich habe das jetzt verstanden!
Ich werde morgen einen neuen Thread in diesem Thread "Span{}" eröffnen und dort Aufgaben rechnen (nur so 2-3). Vielleicht kannst du dir die dann mal ansehen, ob ich 1. das so schreiben kann wie ich es schreiben will (da ich es etwas kürzer und weniger ausführlich schreiben möchte, da es in Klausuren auch um Zeit geht) und 2. ob die Aufgaben auch richtig sind!
Das wäre echt nett!
Danke
Gruß Thomas
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Hi,
mir ist gerade eine Frage gekommen und zwar, kann man diese (ursprüngliche) Aufgabenstellung:
$U := [mm] \{\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 } \in \IR^4: v_1=v_3 {} \ und \ v_4=v_1+v_2\}$
[/mm]
Auch so schreiben:
$F: [mm] \IR^4 \to \IR^4 [/mm] \ (ist\ das\ so\ richtig? \ Oder \ müsste \ hier \ ein \ anderes \ [mm] \IR^x [/mm] \ hin \ da \ etwas \ "wegf"allt"?)$
[mm] $\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 } \mapsto \vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_1 \\ v_1+v_2 }$
[/mm]
Würden beide Aufgabenstellungen trotz ihrer unterschiedlichen Schreibweise das selbe aussagen?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:11 Do 14.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
kurz und knapp : ja !
(ist dieselbe aufgabenstellung)
für [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] kannst du nun variablen einsetzen, wenn du willst...
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Fr 15.12.2006 | | Autor: | KnockDown |
Hi, danke für die schnelle Antwort!
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Hi, es wurde jetzt doch ein bisschen später bis ich zu den Aufgaben gekommen bin obwohl es nicht lange gedauert hat sie zu rechnen.
Könnt ihr mir das bitte evtl. korrigieren wenn etwas falsch ist oder bestätigen wenn es richtig ist?
Danke! Gruß Thomas
1. Aufgabe:
[mm] $F:\IR^3 \to \IR^2$
[/mm]
[mm] $\vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x + z\\ 2x + 4y + 2z }$
[/mm]
$x=s$
$y=t$
$z=u$
[mm] $s*\vektor{1 \\ 2} [/mm] + [mm] t*\vektor{0 \\ 4} [/mm] + [mm] u*\vektor{1 \\ 2}=Span$
[/mm]
2. Aufgabe
[mm] $F:\IR^3 \to \IR^3$
[/mm]
[mm] $\vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x-y \\ y-z \\ z-x}$
[/mm]
$x=s$
$y=t$
$z=u$
[mm] $s*\vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] t*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] u*\vektor{0 \\ -1 \\ 1}=Span$
[/mm]
3. Aufgabe
[mm] $F:\IR^2 \to \IR^3$
[/mm]
[mm] $\vektor{x \\ y } \mapsto \vektor{x+2y \\ 2x+5y \\ 3x+7y}$
[/mm]
$x=s$
$y=t$
[mm] $s*\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] t*\vektor{2 \\ 5 \\ 7}=Span$
[/mm]
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Hallo,
ob Du das im Prinzip richtig oder nur halbrichtig gemacht hast, hängt von der Aufgabenstellung ab.
Wie lautet sie genau?
Bestimme das Bild der Abbildung?
Bestimme eine Basis des Bildes der Abbildung?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Sa 16.12.2006 | | Autor: | KnockDown |
Hi Angela,
also eigentlich wollte ich in diesen Aufgaben den Span bestimmen (ich muss für manche Aufgaben unter anderem auch den Span bestimmen um herausfinden zu können ob eine Aufgabe injektiv oder bijektiv ist)
Ist der Span ein Bild? *jetzt versteh ich das nicht mehr*
Aber wir haben Aufgaben bei denen wir einmal nur das Bild bestimmen müssen und einmal die Basis. Ich glaube der der zweiten Aufgabe ist ein Vektor überflüssig da der 1 und 3 Vektor gleich sind also ist das keine Basis oder?
Ich würde gerne beides können da wir Aufgaben haben die so und so gestellt sind:
Bestimme das Bild der Abbildung.
Bestimme eine Basis des Bildes der Abbildung.
Lg Thomas
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Hallo,
ich glaube, Dein Problem liegt weniger in der Rechentechnik als bei der Begrifflichkeit.
Guck' mal in Deinen Unterlagen nach, wie "span von irgendwas" definiert ist. "Von irgendwas" ist wichtig! Es gibt nämlich nicht einfach den Spann, sondern er wird von irgendetwas aufgespannt. Dieses "irgendetwas " ist eine Menge von Vektoren.
Wie also lautet die Definition z.B. von [mm] span\{v_1,v_2,v_3\}?
[/mm]
Mit "span" kann man Räume angeben durch Angabe der erzeugenden Vektoren.
[mm] U=span\{a,b\} [/mm] bedeutet: U wird aufgespannt von den Vektoren a,b oder etwas anders formuliert
U ist die Menge der Linearkombinationen von a und b.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Sa 16.12.2006 | | Autor: | KnockDown |
Hi Angela,
ich glaube du hast recht, dass ich das mittlerweile garnicht mehr so ganz unterscheiden kann bzw. eigentlich überhaupt nicht so recht weiß was was genau tut.
Ich werde jetzt nochmal folgendes machen und werde die kompletten Mitschriften dieses Kapitels durchgehen und mir nochmal ansehen wie wir was definiert haben.
Vielleicht werde ich dann ja nochmal schlau draus wenn ich das von Anfang an durchgehe.
Ich danke dir für deine Hilfe! Ich werde dir auch später noch auf deine Antwort antworten/evtl. noch was Fragen, dort werde ich auch reinschreiben wie man Kern bestimmt hab ich verstanden, dazu habe ich die 2. Beispielaufgabe geschrieben bzw. hingerechnet UNI FAQ - Kern bestimmen
Ich werde mich nochmal melden!
Vielen Dank für deine Hilfe!
Gruß Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Sa 16.12.2006 | | Autor: | KnockDown |
Hi Angela,
also hier das wie ich mit dem Rang, dim Bild, etc. bestimmen kann ob etwas surjektiv oder injektiv ist.
Bemerkung: Sei $F:V [mm] \to [/mm] W$ eine lineare Abbildung zwischen zwei endlichdimenionalen Vektorräumen. Die folgenden Aussagen sind äquivalent zueinander ("gleichbedeutend"):
(i) Rang(F) = dim(W)
(ii) dim Bild(F) = dim(W)
(iii) Bild(F)=W
(iv) F ist surjektiv
Bemerkung: Seit $F:V [mm] \to [/mm] W$ wie oben. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(i) Rang(F)=dim(V)
(ii) dim Bild(F)=dim(V)
(iii) dim Kern(F) = 0
(iv) [mm] Kern(F)=\vec{0}
[/mm]
(v) F ist injektiv
Deshalb möchte ich das ganze bestimmen können, da es in den Aufgaben dann auch gefragt wird ob ... surjektiv oder injektiv ist.
Gruß Thomas
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> 1. Aufgabe:
Bestimme das Bild von F.
>
> [mm]F:\IR^3 \to \IR^2[/mm]
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x + z\\ 2x + 4y + 2z }[/mm]
Sei [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3.
[/mm]
Es ist [mm] F(\vektor{x \\ y \\ z})=\vektor{x + z\\ 2x + 4y + 2z }=x*\vektor{1 \\ 2} [/mm] + [mm] y*\vektor{0 \\ 4} [/mm] + [mm] z*\vektor{1 \\ 2}=Span\{\vektor{1 \\ 2},\vektor{0 \\ 4},\vektor{1 \\ 2}\}=Span\{\vektor{1 \\ 2},\vektor{0 \\ 4}\}
[/mm]
Die beiden Vektoren sind linear unabhängig, bilden also eine Basis des Bildes von F.
Du siehst, daß Du völlig richtig gerechnet hast, die s,t,u sind zwar überflüssig, aber nicht falsch.
Du könntest auch schreiben:
[mm] BildF=\{\vektor{x \\ y \\ z}\in \IR^3 | s*\vektor{1 \\ 2} + t*\vektor{0 \\ 4} + u*\vektor{1 \\ 2} mit s,t,u \in \R^3 \}=\{\vektor{x \\ y \\ z}\in \IR^3 | s*\vektor{1 \\ 2} + t*\vektor{0 \\ 4} mit s,t \in \R^3 \}
[/mm]
> 2. Aufgabe
>
> [mm]F:\IR^3 \to \IR^3[/mm]
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x-y \\ y-z \\ z-x}[/mm]
>
> [mm]x=s[/mm]
> [mm]y=t[/mm]
> [mm]z=u[/mm]
>
> [mm]s*\vektor{1 \\ 0 \\ -1} + t*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} + u*\vektor{0 \\ -1 \\ 1}=Span[/mm]
Wie oben:
BildF=span [mm] \{\vektor{1 \\ 0 \\ -1},\vektor{-1 \\ 1 \\ 0},\vektor{0 \\ -1 \\ 1}\}
[/mm]
Wenn Du eine Basis angeben sollst, mußt Du nachschauen, ob die Vektoren linear unabhängig sind.
Hier sind sie es nicht, sicher findest Du heraus, auf welchen Du verzichten kannst.
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>
> 3. Aufgabe
>
> [mm]F:\IR^2 \to \IR^3[/mm]
>
> [mm]\vektor{x \\ y } \mapsto \vektor{x+2y \\ 2x+5y \\ 3x+7y}[/mm]
>
> [mm]x=s[/mm]
> [mm]y=t[/mm]
>
> [mm]s*\vektor{1 \\ 2 \\ 3} + t*\vektor{2 \\ 5 \\ 7}=Span[/mm]
[mm] BildF=span\{\vektor{1 \\ 2 \\ 3},\vektor{2 \\ 5 \\ 7}\}
[/mm]
Offensichtlich sind die beiden Vektoren linear unabhängig, bilden also eine Basis des Bildes.
Da Du gerade am Üben bist: sehr gerne wird ja auch KernF bestimmt, das könntest Du bei diesen Aufgaben auch noch tun.
Und noch eine Anregung: wie erkennst Du an KernF bzw. Bild F, ob die Funktion injektiv oder surjektiv ist?
Gruß v. Angela
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