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Hallo zusammen,
ich habe in den letzten Tagen bereits die Weiten des Internets durchsucht und bin da auf ein kleines Verständnisproblem gestoßen.
An dieser Stelle hoffe ich, dass meine folgende Ausführung verständlich und nicht zu Komplex wird.
Folgende Aufgabe(n) möchte ich lösen:
1. Eine Person möchte monatlich vorschüssig einen Betrag (r) sparen
Laufzeit (n) = 37 Jahre, Monate (m) = 12
Zinsfuß (p) = 6% (nominal), Inflationsrate [mm] (i_{inf}) [/mm] = 0,025
Folgende Formeln habe ich verwendet:
Realverzinsung ([mm]i_{rel}[/mm]):
[mm]
i_{rel} = \frac{i_{nom} - i_{inf}} {1 + i_{inf}}
[/mm]
[mm]
i_{rel} = 0,0341
[/mm]
Wert der jährlichen Einzahlung ([mm]r_{Jahrein}[/mm]):
[mm]
r_{Jahrein} = r * \left[ m + \frac{i_{rel} (m+1)} {2} \right]
[/mm]
[mm]
r_{Jahrein} = 12.995,85 EUR
[/mm]
Rentenentwert ([mm]R_{n}[/mm]):
[mm]
R_{n} = r_{Jahrein} * \frac{q^{n} - 1} {q - 1}
[/mm]
[mm]
R_{37} = 937.646,96 EUR
[/mm]
2. Diese Person möchhte nun 937.646,96 EUR monatlich vorschüssig über 25 Jahre verzehren (= 0 EUR)
Laufzeit (n) = 25, Monate (m) = 12
Realzins [mm] (i_{rel}) [/mm] = 0,0341
Folgende Formeln verwendet:
Ausgangsformel = Entwert der Einzahlung = Barwert der Auszahlung [mm] (R_{37} [/mm] = [mm] R_{0})
[/mm]
Wert der jährl. Auszahlung ([mm] r_{Jahraus} [/mm]):
[mm]
r_{Jahraus} = \frac{R_{0} * q^{n} * (q - 1) } {q^{n} - 1}
[/mm]
[mm]
r_{Jahraus} = 56.365,00 EUR
[/mm]
Wert der monatlichen Auszahlung ([mm] r_{M} [/mm]):
[mm]
r_{M} = \frac{r_{Jahraus}} {\left[ m + \frac{i_{rel} (m+1)} {2} \right]}
[/mm]
[mm]
r_{M} = 4.611,78 EUR
[/mm]
..:: ab hier nun das Formelproblem bzw. die Verwirrung::..
Alternative Frage zu Punkt 2. (umgekehrte Rechnung)
Eine Person möchte sich in 37 Jahren einen monatlichen vorschüssigen Betrag ([mm] r_{Maus} [/mm]) in Höhe von 4.611,80 EUR 25 Jahre lang auszahlen lassen (Kapitalverzehr; = 0). Welche monatliche vorschüssige Sparrate ([mm] r_{Mein} [/mm]) muss er sparen?
Realzins ([mm] i_{rel} [/mm]) = 0,0341
Stelle ich die obigen Formeln entsprechend um ergibt sich eine monatliche Sparrate von 1.063,32 EUR. Diese ergibt ein Kapital nach 37 Jahr zu 3,41% in Höhe von 937.646,96 EUR --> logisch
ABER
Zu diesem Sachverhalt habe ich in dem Script aus dem ich nun die obigen Formeln zusammengestellt hab ein Formelherleitung gefunden die zu einem andern Ergebnis kommt, was mich gerade in den Wahnsinn treibt, da ich nun nicht mehr weiss, was richtig und was falsch ist.
zunächst die Formelherleitung:
[mm]
r_{Jahrein} = r_{Mein} * \left[ m + \frac{i_{rel} (m+1)} {2} \right]
[/mm]
eingesetzt und aufgelöst ergibt sich daraus
[mm]
r_{Jahrein} = r_{Mein} * 12,22195122
[/mm]
Für den Entwert einer jährlichen Rente gilt dann:
[mm]
R_{37} = r_{Jahrein} * \frac{q^{37} - 1} {q - 1} = r_{Mein} * 12,22195122 * \frac{q^{37} - 1} {q - 1}
[/mm]
So, der Entwert der Einzahlung ([mm] R_{37} [/mm]) kann nur mit dem Barwert der Auszahlung ([mm] R_{0aus} [/mm]) verglichen werden (vorschüssige Betrachtung):
[mm]
R_{0aus} = \frac{R_{naus}} {q^{naus}}
[/mm]
[mm]
R_{0aus} = \frac{r_{Jahraus}} {q^{naus}} * q * \frac{q^{naus} - 1} {q - 1} = \frac{r_{Mein} * 12,22195122} {q^{naus}} * q * \frac{q^{naus} - 1} {q - 1}
[/mm]
alles eingesetz ergibt:
[mm]R_{0aus} = 969.666,95 EUR = R_{37}
[/mm]
[red]Häääää....[/red]
es müsste doch aber rein theoretisch ein Wert um die 937.646,96 EUR rauskommen (siehe Punkt 2)
... daraus folgt:
Der Barwert der monatlichen Auszahlungen in Höhe von 969.666,95 EUR ist dem Entwert der Einzahlung gleichzusetzen, daraus ergibt sich nach einsetzen und auflösen der Formel:
[mm]r_{Mein} * 12,2219512 * \frac{q^{37} - 1} {q - 1} = 969.666,95 EUR
[/mm]
[mm]
r_{Mein} = 1.099,63 EUR
[/mm]
!!!und im Ergebnis der beiden Rechenwege sind 1.099,63 EUR nun mal nicht gleich 1.063,32 EUR!!!
Was ist hier nun richtig und was falsch? Sind die Punkte 1 und 2 falsch oder ...?
Vielleicht habe ich auch vorschüssig und nachschüssig irgendwo durcheinander gebracht?
Ansonsten noch eine Bitte:
vielleicht kann mir einer einen Tip zur Inflation geben, also ob ich sie so wie ob mit der Realverzinsung rechnen kann oder oben dies anders gerechnet werden muss!!??
Ich sag schon mal danke um Voraus und hoffe, dass sich jemand findet der sich besser auskennt als ich ...
MfG
_ViRGiL_
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: ![[]](/images/popup.gif) http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=482965
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Josef |
Hallo ooViRGiLoo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> 1. Eine Person möchte monatlich vorschüssig einen Betrag
> (r) sparen
> Laufzeit (n) = 37 Jahre, Monate (m) = 12
> Zinsfuß (p) = 6% (nominal), Inflationsrate [mm](i_{inf})[/mm] =
> 0,025
>
> Folgende Formeln habe ich verwendet:
>
> Realverzinsung ([mm]i_{rel}[/mm]):
>
> [mm]
i_{rel} = \frac{i_{nom} - i_{inf}} {1 + i_{inf}}
[/mm]
>
> [mm]
i_{rel} = 0,0341
[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wert der jährlichen Einzahlung ([mm]r_{Jahrein}[/mm]):
>
> [mm]
r_{Jahrein} = r * \left[ m + \frac{i_{rel} (m+1)} {2} \right]
[/mm]
>
> [mm]
r_{Jahrein} = 12.995,85 EUR
[/mm]
>
> Rentenentwert ([mm]R_{n}[/mm]):
>
> [mm]
R_{n} = r_{Jahrein} * \frac{q^{n} - 1} {q - 1}
[/mm]
> [mm]
R_{37} = 937.646,96 EUR
[/mm]
>
>
937.647,30
>
> 2. Diese Person möchhte nun 937.646,96 EUR monatlich
> vorschüssig über 25 Jahre verzehren (= 0 EUR)
> Laufzeit (n) = 25, Monate (m) = 12
> Realzins [mm](i_{rel})[/mm] = 0,0341
>
> Folgende Formeln verwendet:
>
> Ausgangsformel = Entwert der Einzahlung = Barwert der
> Auszahlung [mm](R_{37}[/mm] = [mm]R_{0})[/mm]
>
> Wert der jährl. Auszahlung ([mm] r_{Jahraus} [/mm]):
>
> [mm]
r_{Jahraus} = \frac{R_{0} * q^{n} * (q - 1) } {q^{n} - 1}
[/mm]
>
> [mm]
r_{Jahraus} = 56.365,00 EUR
[/mm]
>
56.365,07
> Wert der monatlichen Auszahlung ([mm] r_{M} [/mm]):
>
> [mm]
r_{M} = \frac{r_{Jahraus}} {\left[ m + \frac{i_{rel} (m+1)} {2} \right]}
[/mm]
>
> [mm]
r_{M} = 4.611,78 EUR
[/mm]
>
4.611,79
>
> ..:: ab hier nun das Formelproblem bzw. die Verwirrung::..
>
> Alternative Frage zu Punkt 2. (umgekehrte Rechnung)
> Eine Person möchte sich in 37 Jahren einen monatlichen
> vorschüssigen Betrag ([mm] r_{Maus} [/mm]) in Höhe von 4.611,80
> EUR 25 Jahre lang auszahlen lassen (Kapitalverzehr; = 0).
> Welche monatliche vorschüssige Sparrate ([mm] r_{Mein} [/mm]) muss
> er sparen?
> Realzins ([mm] i_{rel} [/mm]) = 0,0341
>
> Stelle ich die obigen Formeln entsprechend um ergibt sich
> eine monatliche Sparrate von 1.063,32 EUR. Diese ergibt ein
> Kapital nach 37 Jahr zu 3,41% in Höhe von 937.646,96 EUR
> --> logisch
>
> ABER
>
> Zu diesem Sachverhalt habe ich in dem Script aus dem ich
> nun die obigen Formeln zusammengestellt hab ein
> Formelherleitung gefunden die zu einem andern Ergebnis
> kommt, was mich gerade in den Wahnsinn treibt, da ich nun
> nicht mehr weiss, was richtig und was falsch ist.
> zunächst die Formelherleitung:
>
> [mm]
r_{Jahrein} = r_{Mein} * \left[ m + \frac{i_{rel} (m+1)} {2} \right]
[/mm]
>
> eingesetzt und aufgelöst ergibt sich daraus
> [mm]
r_{Jahrein} = r_{Mein} * 12,22195122
[/mm]
>
> Für den Entwert einer jährlichen Rente gilt dann:
> [mm]
R_{37} = r_{Jahrein} * \frac{q^{37} - 1} {q - 1} = r_{Mein} * 12,22195122 * \frac{q^{37} - 1} {q - 1}
[/mm]
>
> So, der Entwert der Einzahlung ([mm] R_{37} [/mm]) kann nur mit dem
> Barwert der Auszahlung ([mm] R_{0aus} [/mm]) verglichen werden
> (vorschüssige Betrachtung):
>
Rentenendwert 1. Rente = Rentenbarwert 2. Rente
Es muss gelten:
[mm] 1.063,32*(12+\bruch{0,034146341}{2}*13)*\bruch{1,034146341^{37}-1}{0,034146341} [/mm] = [mm] 4.611,79*(12+\bruch{0,034146341}{2}*13)*\bruch{1,034146341^{25}-1}{0,034146341}*\bruch{1}{1,034146341^{25}}
[/mm]
Geringe Abweichungen durch Rundungsfehler!
> Ansonsten noch eine Bitte:
> vielleicht kann mir einer einen Tip zur Inflation geben, also ob ich sie so > wie ob mit der Realverzinsung rechnen kann oder oben dies anders > >gerechnet werden muss!!??
[mm] i_{real} [/mm] = [mm] \bruch{1,06}{1,025} [/mm] = 1,034146341
Viele Grüße
Josef
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Hallo Josef,
vielen Dank fürs drüberschauen!
Ich habe gerade nur die ganzen Daumen hoch gesehen 
Habe ich das richtig verstanden, die ersten beiden Aufgaben habe - abgesehen von den Rundungsfehlern - richtig gelöst; genauso wie 3 (umgekehrte Rechnung) in der ersten Alternative (Sprich 1.063,32 EUR), womit ich die Formel aus dem Script (Sprich Sparrate 1.099,63 EUR) wegschmeissen sollte??
Eine Verständnisfrage: Wie können denn Rundungsfehler entstehen, wenn ich das Ganze doch letztlich mit Excel berechnet habe??
Ansonsten besten Dank für die rasche Antwort, das beruhigt mich ungemein!!
MfG
ooViRGiLoo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:42 Di 14.02.2012 | | Autor: | Josef |
Hallo ooViRGiLoo,
> Hallo Josef,
>
> vielen Dank fürs drüberschauen!
>
Gern geschehen!
> Ich habe gerade nur die ganzen Daumen hoch gesehen
>
> Habe ich das richtig verstanden, die ersten beiden Aufgaben
> habe - abgesehen von den Rundungsfehlern - richtig gelöst;
> genauso wie 3 (umgekehrte Rechnung) in der ersten
> Alternative (Sprich 1.063,32 EUR),
1.063,32 € ist ja die Rate bei der erstem Rente. Da du sie nicht genannt hast, habe ich sie aus dem angegebenen Jahresbetrag ermittelt.
> womit ich die Formel aus
> dem Script (Sprich Sparrate 1.099,63 EUR) wegschmeissen
> sollte??
Du musst immer auf auf das Äquivalenzprinzip achten.
>
> Eine Verständnisfrage: Wie können denn Rundungsfehler
> entstehen, wenn ich das Ganze doch letztlich mit Excel
> berechnet habe??
>
Die Rundungsfehler sind bei meinen Rechnungen entstanden, weil ich die Berechnungen nicht mit Excel sondern mit einem Taschenrechner vorgenommen habe. Zwischenschritte sind nicht zu Runden!
> Ansonsten besten Dank für die rasche Antwort,
Habe es gern gemacht!
> das beruhigt
> mich ungemein!!
>
Freut mich!
Viele Grüße
Josef
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