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Forum "Funktionalanalysis" - Spektralmaß
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Spektralmaß: Eigenschaft
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Mi 26.11.2008
Autor: SorcererBln

Aufgabe
Sei $H$ ein Hilbertraum. Sei [mm] $\sum$ [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] über einer Menge [mm] $\Omega$ [/mm] und [mm] $E:\sum \to [/mm] L(H)$ ein Spektralmaß, also

a) Für jede Menge [mm] $A\in \Sum$ [/mm] ist [mm] $E_A:=E(A)$ [/mm] eine Orthogonalprojektion

b) [mm] $E_\emptyset=0, E_\Omega=Id$ [/mm]

c) Für paarweise disjunkte [mm] $A_1,A_2,... \in \sum$ [/mm] gilt

[mm] $\sum^\infty_{i=1}E(A_i)x=E(\bigcup_i A_i)x$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] H$

Nun soll nach Werner FA ganz automatische die folgende Eigenschaft folgen:

[mm] $E(A)E(B)=E(B)A(A)=E(A\cap [/mm] B)$

bzw. $E(A)E(B)=0$, wenn [mm] $A\cap B=\emptyset$. [/mm]

Leider habe ich nun eine ganze Seite vollgeschrieben und finde einfach keinen einfachen Weg. Vielleicht gibt es hier jemanden, der das Problem schon kennt?

        
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Spektralmaß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:17 Mi 26.11.2008
Autor: fred97

Das Problem kenne ich gut.

Du sollst zeigen:  (*)    $ [mm] E(A)E(B)=E(B)E(A)=E(A\cap [/mm] B) $

Versuche mal folgendes zu zeigen (das kann man immer mal wieder brauchen)

SATZ: Seien P und Q Orthogonalprojektionen. Dann sind äquivalent:
(1)  PQ = QP = P
(2) P(H) [mm] \subseteq [/mm] Q(H)
(3) kern(Q) [mm] \subseteq [/mm] kern(P)


Wenn Du das hast , sollte (*) kein Problem sein.

FRED

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Spektralmaß: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:09 Mi 26.11.2008
Autor: SorcererBln

Ok. Den Satz habe ich mir bewiesen. Danke dir :-)

Ich wähle nun [mm] $P=E(A\cap [/mm] B)$ und $Q=E(X)$, $X=A,B$. Dann folgt mit dem Satz

[mm] $E(A\cap B)E(X)=E(X)E(A\cap B)=E(A\cap [/mm] B)$, $X=A,B$.

Daraus könnte man folgern:

[mm] $E(A\cap B)E(B)E(A)=E(A)E(B)E(A\cap B)=E(A\cap [/mm] B)$,

aber ich sehe noch nicht, was das jetzt bringt? Ich habe auch noch nicht wirklich die Eigenschaften des Spektralmaßes benutzt! Hast du noch einen Tipp? Bin ich auf der richtigen Spur?

Frank

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Spektralmaß: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:58 Do 27.11.2008
Autor: SorcererBln

Ich könnte auch folgendes zeigen:

[mm] $I=E(A)+E(B)+E(A^c\cap B^c)$, [/mm]

falls $A$ und $B$ disjunkt, d.h. ich will ersteinmal [mm] $E_AE_B=0$ [/mm] zeigen.

Anwenden von $E(A)$ ergibt (beachte $E(X)E(X)=E(X)$

[mm] $E(A)E(B)+E(A)E(A^c\cap B^c)=0$ [/mm]

Ich muss also zeigen: [mm] $E(A)E(A^c\cap B^c)=0$. [/mm] Wie mache ich das mit dem Tipp von Dr. Fred97?




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Spektralmaß: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:26 Sa 29.11.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
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Spektralmaß: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:24 Fr 28.11.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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