Spektralradius... < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:29 Mi 21.12.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo alle miteinander!
Ich weiß gerade gar nicht, ob die Frage hierher oder eher in die Lineare Algebra gehört... Folgendes steht im Buch:
Gehen wir von einer spd-Matrix (symmetrisch, positiv definit) A aus, so ergibt sich für den Spektralradius
[mm] \rho(I-A)=max\{|1-\lambda_{max}(A)|,|1-\lambda_{min}(A)|\}
[/mm]
Wieso gilt das? Wie kommt man auf die Eigenwerte von I-A? Ich vermute, dass das nicht allzu schwierig ist, aber ich weiß irgendwie nicht, wie ich anfangen soll...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane,
also, aus einer der letzten Aufgaben weisst Du, glaub ich, dass der Spektralradius
von einer Matrix B die Wurzel des max. [mm] |\lambda|, \lambda [/mm] ein Eigenwert von adj(B) ist, und es ist
adj(B)=B^TB (falls wir [mm] \IR [/mm] zugrundelegen, sonst [mm] \overline{B}^TB).
[/mm]
Nehmen wir mal einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A und einen zug. Eigenvektor v, und
schauen wir mal, was
[mm] (I-A)^T(I-A)v [/mm] ist:
Aufloesen des Matrixproduktes gibt
[mm] (I-A-A^T+A^TA)v [/mm] = (weil [mm] A^T=A [/mm] nach Vor.)
(I-2A+A^TA)v = (weil [mm] \lambda [/mm] Eigenwert usw.)
[mm] v-2\lambda v+\lambda^2v [/mm] =
[mm] (\lambda-1)^2 [/mm] v
Also: Wenn [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A ist, so ist - mit demselben Eigenraum-
[mm] (\lambda-1)^2 [/mm] ein Eigenwert von [mm] (I-A)^T(I-A).
[/mm]
Dann sollte doch die rechte Seite Deiner Spektralradius-Formel das Maximum ueber die Wurzeln aller dieser sein.
Herzlichst,
Mathias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Do 29.12.2005 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Ich denke man kann die Aussage noch etwas schoener zeigen (also fast ohne Rechnungen  ). Wen's interessiert:
> Ich weiß gerade gar nicht, ob die Frage hierher oder eher
> in die Lineare Algebra gehört... Folgendes steht im Buch:
Eindeutig lineare Algebra
> Gehen wir von einer spd-Matrix (symmetrisch, positiv
> definit) A aus, so ergibt sich für den Spektralradius
>
> [mm]\rho(I-A)=max\{|1-\lambda_{max}(A)|,|1-\lambda_{min}(A)|\}[/mm]
>
> Wieso gilt das? Wie kommt man auf die Eigenwerte von I-A?
Symmetrische Matrizen sind diagonalisierbar, also gibt es eine invertierbare Matrix $T$ so, dass [mm] $T^{-1} [/mm] A T$ eine Diagonalmatrix ist. Damit ist auch [mm] $T^{-1} [/mm] (I - A) T = I - [mm] T^{-1} [/mm] A T$ eine Diagonalmatrix, und die Diagonaleintraege sind von der Form $1 - [mm] \lambda_i$, [/mm] wobei [mm] $\lambda_i$ [/mm] die Diagonaleintraege von [mm] $T^{-1} [/mm] A T$ sind. Nun sind die [mm] $\lambda_i$ [/mm] genau die Eigenwerte von $A$, und die $1 - [mm] \lambda_i$ [/mm] genau die Eigenwerte von $I - A$. Da die [mm] $\lambda_i$ [/mm] nun alle $> 0$ sind (da $A$ positiv definit ist) folgt also die Behauptung, da der Spektralradius das Maximum der Betraege der Eigenwerte ist.
LG Felix
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![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]"){kind=small}
