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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Di 07.06.2011 | | Autor: | physicus |
Hallo Forum,
Ich habe eine Frage zu einem Beweis folgender Aussage. Sei [mm] T [/mm] ein beschränkter linearer Operator auf einem Banachraum [mm] X [/mm]. Dann gilt:
[mm] r_T = \sup_{z \in \sigma{(T)}} |z| [/mm]
wobei [mm] r [/mm] der Spektralradius ist und [mm] \sigma{(T)} [/mm] das Spektrum, definiert durch
[mm] \sigma{(T)}:= \IC \backslash \rho{(T)} [/mm] mit
[mm] \rho{(T)}:=\{z\in \IC ; (z \cdot id-T)^{-1} \in L(X),z \cdot id-T \text{ bijektiv} \} [/mm]
Ich habe einige Fragen im Beweis: man wählt ja ein [mm] |z| > r_T [/mm]
und hat dann die Resolvente (welche holomorph ist)
[mm] R_z = \bruch{1}{z}(id-\bruch{T}{z}) [/mm]. Diese kann ich in eine Reihe entwickeln:
[mm] R_z = \bruch{1}{z} \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{T}{z})^k [/mm]
Nun möchte man das ganze über den Rand eines Kreises mit Radius [mm] l > r_T [/mm] integrieren (als Teilmenge von [mm] \IC [/mm]) und multipliziert das ganze noch mit einer Potenz von [mm] z [/mm]
[mm] \bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\partial{B_l(0)}}{z^n R_z dz} = \bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\partial{B_l(0)}}\summe_{k=0}^{\infty}z^{n-k-1} T^k (\forall n\in \IN)[/mm]
Nun zu den Fragen:
1. Wieso wählt man [mm] l > r_T [/mm]
2. Wieso kann man danach das Integral und die Summe vertauschen? Dies Summe konvergiert absolut innerhalb ihres Konvergenzradius, allerdings nehme ich ja ein [mm] l > r_T [/mm].
3. Wenn ich nun Gliedweise integriere:
[mm] \integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} T^k dz} = A^n [/mm] Da aus der Funktionentheorie bekannt ist, dass nur [mm] \bruch{1}{z} [/mm] nicht gleich null ist. Also genau dann wenn [mm] k=n[/mm]. Aber wieso darf ich hier überhaupt Integrieren. Da ist ja noch so eine lineare Abbildung. Darf ich diese einfach hinters Integral ziehen oder wie muss ich diese handhaben?
So das wärs. Wie immer danke ich für die Beantwortung meiner Fragen :)
Gruss
physicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Di 07.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Forum,
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> Ich habe eine Frage zu einem Beweis folgender Aussage. Sei
> [mm]T[/mm] ein beschränkter linearer Operator auf einem Banachraum
> [mm]X [/mm]. Dann gilt:
>
> [mm]r_T = \sup_{z \in \sigma{(T)}} |z|[/mm]
>
> wobei [mm]r[/mm] der Spektralradius ist und [mm]\sigma{(T)}[/mm] das
> Spektrum, definiert durch
>
> [mm]\sigma{(T)}:= \IC \backslash \rho{(T)} [/mm] mit
> [mm]\rho{(T)}:=\{z\in \IC ; (z \cdot id-T)^{-1} \in L(X),z \cdot id-T \text{ bijektiv} \}[/mm]
>
> Ich habe einige Fragen im Beweis: man wählt ja ein [mm]|z| > r_T[/mm]
>
> und hat dann die Resolvente (welche holomorph ist)
>
> [mm]R_z = \bruch{1}{z}(id-\bruch{T}{z}) [/mm]. Diese kann ich in
> eine Reihe entwickeln:
>
> [mm]R_z = \bruch{1}{z} \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{T}{z})^k[/mm]
>
> Nun möchte man das ganze über den Rand eines Kreises mit
> Radius [mm]l > r_T [/mm] integrieren (als Teilmenge von [mm]\IC [/mm]) und
> multipliziert das ganze noch mit einer Potenz von [mm]z[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\partial{B_l(0)}}{z^n R_z dz} = \bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\partial{B_l(0)}}\summe_{k=0}^{\infty}z^{n-k-1} T^k (\forall n\in \IN)[/mm]
>
>
> Nun zu den Fragen:
>
> 1. Wieso wählt man [mm]l > r_T [/mm]
Weil
$ [mm] R_z [/mm] = [mm] \bruch{1}{z} \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{T}{z})^k [/mm] $ nur für [mm] |z|>r_T [/mm] gilt
> 2. Wieso kann man danach das
> Integral und die Summe vertauschen? Dies Summe konvergiert
> absolut innerhalb ihres Konvergenzradius, allerdings nehme
> ich ja ein [mm]l > r_T [/mm].
$ [mm] R_z [/mm] = [mm] \bruch{1}{z} \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{T}{z})^k [/mm] $ konvergiert auf [mm] \{z \in \IC:|z|=l \} [/mm] gleichmäßig.
> 3. Wenn ich nun Gliedweise
> integriere:
>
> [mm]\integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} T^k dz} = A^n[/mm]
?????
[mm] \integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} T^k dz} [/mm] = [mm] T^k(\integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} dz})
[/mm]
und
[mm] \integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} dz}= [/mm] 0 , falls n [mm] \ne [/mm] k
$ [mm] \integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} dz}= [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i$ , falls n = k
FRED
> Da aus
> der Funktionentheorie bekannt ist, dass nur [mm]\bruch{1}{z}[/mm]
> nicht gleich null ist. Also genau dann wenn [mm]k=n[/mm]. Aber wieso
> darf ich hier überhaupt Integrieren. Da ist ja noch so
> eine lineare Abbildung. Darf ich diese einfach hinters
> Integral ziehen oder wie muss ich diese handhaben?
>
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> So das wärs. Wie immer danke ich für die Beantwortung
> meiner Fragen :)
>
>
> Gruss
>
> physicus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Di 07.06.2011 | | Autor: | physicus |
Hallo Fred,
Danke für deine schnelle Antwort!
1. Anschlussfragen habe ich aber noch
>
> > 3. Wenn ich nun Gliedweise
> > integriere:
> >
> > [mm]\integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} T^k dz} = A^n[/mm]
>
> ?????
>
Ja das sollte [mm] T^n [/mm] stehen und nicht ein [mm] A^n [/mm].
> [mm]\integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} T^k dz}[/mm] =
> [mm]T^k(\integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} dz})[/mm]
>
> und
>
> [mm]\integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} dz}=[/mm] 0 , falls n
> [mm]\ne[/mm] k
>
> [mm]\integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} dz}= 2 \pi i[/mm] ,
> falls n = k
>
Wieso darfst du das T einfach vor das Integral ziehen? Ich weiss, dass es nicht abhängig ist von z, aber darf ich dies trotzdem einfach tun?
> FRED
>
> > Da aus
> > der Funktionentheorie bekannt ist, dass nur [mm]\bruch{1}{z}[/mm]
> > nicht gleich null ist. Also genau dann wenn [mm]k=n[/mm]. Aber wieso
> > darf ich hier überhaupt Integrieren. Da ist ja noch so
> > eine lineare Abbildung. Darf ich diese einfach hinters
> > Integral ziehen oder wie muss ich diese handhaben?
> >
> >
> > So das wärs. Wie immer danke ich für die Beantwortung
> > meiner Fragen :)
> >
> >
> > Gruss
> >
> > physicus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Di 07.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> Danke für deine schnelle Antwort!
>
> 1. Anschlussfragen habe ich aber noch
> >
> > > 3. Wenn ich nun Gliedweise
> > > integriere:
> > >
> > > [mm]\integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} T^k dz} = A^n[/mm]
> >
>
> > ?????
> >
> Ja das sollte [mm]T^n[/mm] stehen und nicht ein [mm]A^n [/mm].
>
> > [mm]\integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} T^k dz}[/mm] =
> > [mm]T^k(\integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} dz})[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]\integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} dz}=[/mm] 0 , falls n
> > [mm]\ne[/mm] k
> >
> > [mm]\integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} dz}= 2 \pi i[/mm] ,
> > falls n = k
> >
> Wieso darfst du das T einfach vor das Integral ziehen? Ich
> weiss, dass es nicht abhängig ist von z, aber darf ich
> dies trotzdem einfach tun?
Pardon, oben habe ich mich verschrieben. Es sollte lauten:
$ [mm] \integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} T^k dz} [/mm] $ = $ [mm] (\integral_{\partial{B_l(0)}}{z^{n-k-1} dz})T^k [/mm] $
FRED
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> > FRED
> >
> > > Da aus
> > > der Funktionentheorie bekannt ist, dass nur [mm]\bruch{1}{z}[/mm]
> > > nicht gleich null ist. Also genau dann wenn [mm]k=n[/mm]. Aber wieso
> > > darf ich hier überhaupt Integrieren. Da ist ja noch so
> > > eine lineare Abbildung. Darf ich diese einfach hinters
> > > Integral ziehen oder wie muss ich diese handhaben?
> > >
> > >
> > > So das wärs. Wie immer danke ich für die Beantwortung
> > > meiner Fragen :)
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> > >
> > > Gruss
> > >
> > > physicus
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