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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Spektralzerlegung
Spektralzerlegung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Spektralzerlegung: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:11 Mo 21.03.2011
Autor: cutter

Aufgabe
V = [mm] \sigma_A^2 I_a \otimes J_n [/mm] + [mm] \sigma^2 I_a \otimes I_n [/mm] .
Man erhält als Spektralzerlegung von V

V = [mm] (n\sigma^2_A+ \sigma) [/mm] · [mm] \frac{1}{a}J_a \otimes \frac{1}{n}J_n [/mm] + [mm] (n\sigma^2_A+ \sigma^2) [/mm] · [mm] P_a \otimes \frac{1}{n}J_n [/mm] + [mm] \sigma^2 I_a \otimes P_n [/mm]

Hi,
diese Folgerung steht in einem Skript. Hierbei ist [mm] I_n [/mm] die n-dimensionale Einheitsmatrix, [mm] J_n [/mm] die n-dimensionale Einsermatrix und [mm] P_n [/mm] die n-dimensionale zentrierende Matrix, also [mm] P_n=I_n-1/n J_n. [/mm]

Wie bitte kommt man auf diese Zerlegung? Falls jemand eine Idee hat, bin ich sehr dankbar. Ich stoße da auf meine Grenzen.

Mir ist klar, dass ich eine Spektralzerlegung mache um meine gegebene Matrix in Projektionsmatrizen aufzuteilen. Aber den Schritt kann ich so nicht nachvollziehen.

VG

        
Bezug
Spektralzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:16 Di 22.03.2011
Autor: fred97


> V = [mm]\sigma_A^2 I_a \otimes J_n[/mm] + [mm]\sigma^2 I_a \otimes I_n[/mm]
> .
>  Man erhält als Spektralzerlegung von V
>  
> V = [mm](n\sigma^2_A+ \sigma)[/mm] · [mm]\frac{1}{a}J_a \otimes \frac{1}{n}J_n[/mm]
> + [mm](n\sigma^2_A+ \sigma^2)[/mm] · [mm]P_a \otimes \frac{1}{n}J_n[/mm] +
> [mm]\sigma^2 I_a \otimes P_n[/mm]
>  Hi,
>  diese Folgerung steht in einem Skript. Hierbei ist [mm]I_n[/mm] die
> n-dimensionale Einheitsmatrix, [mm]J_n[/mm] die n-dimensionale
> Einsermatrix und [mm]P_n[/mm] die n-dimensionale zentrierende
> Matrix, also [mm]P_n=I_n-1/n J_n.[/mm]
>  
> Wie bitte kommt man auf diese Zerlegung? Falls jemand eine
> Idee hat, bin ich sehr dankbar. Ich stoße da auf meine
> Grenzen.

Ich auch, da Du die Zutaten verheimlichst !

Was ist V ? Ich vermute ein linearer Operator. Oder eine Matrix ? Wenn ja, von welchem Typ ?

Was ist [mm] \sigma [/mm] ?  Was ist das A in [mm] \sigma_A [/mm] ?

Was ist a ?  Ich vermute a [mm] \in \IN, [/mm] a [mm] \le [/mm] n . Wie hängt a mit n zusammen ?


Fragen, Fragen, .......


FRED

>
> Mir ist klar, dass ich eine Spektralzerlegung mache um
> meine gegebene Matrix in Projektionsmatrizen aufzuteilen.
> Aber den Schritt kann ich so nicht nachvollziehen.
>  
> VG  


Bezug
                
Bezug
Spektralzerlegung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:55 Di 22.03.2011
Autor: cutter

Hi,
es handelt sich hier um ein lineares Modell mit zufaelligem Faktor.

[mm] Y_{ij} [/mm] = [mm] \mu [/mm] + [mm] Z_i [/mm] + [mm] \epsilon_{ij} [/mm] , i = 1, [mm] \ldots, [/mm] a, j = [mm] 1,\ldots [/mm] ,n

[mm] \mathbf{X} [/mm] = [mm] X_1 [/mm] = [mm] I_a \otimes 1_n [/mm] ,  [mm] \mathbf{Z} [/mm] = [mm] Z_1 [/mm] = [mm] (Z_1, [/mm] . . . [mm] ,Z_a)' \sim [/mm] N(0, [mm] \sigma^2_A I_a), \epsilon\sim [/mm] N(0, [mm] \sigma^2 I_N) [/mm] ,

Damit kann man es auch als

[mm] \mathbf{Y} [/mm] = [mm] \mu [/mm] · [mm] 1_N +\mathbf{XZ} [/mm] + [mm] \epsilon [/mm]

[mm] \mathbf{V} [/mm] ist die Kovarianzmatrix  von [mm] \mathbf{Y}. [/mm]
a sind die Anzahl der Gruppen im einfaktoriellen Modell.
n sind die Anzahl der Individuen pro Gruppe.
[mm] \sigma^2_A [/mm] ist die Varianz des zufälliogen Faktors.

Nun möchte man eine Spektralzerlegung dieser Varianz durchführen.

Irgendwie fällt der nächste Schritt (erster Post) dann vom Himmel.

VG

Bezug
                        
Bezug
Spektralzerlegung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Do 24.03.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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