Spez. DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:18 So 03.04.2005 | | Autor: | Kix |
Hallo!
Könnte mir vielleicht jemand erklären wie ich an so ein Problem herangehe, wie ich es am besten löse:
Bsp. 1:
Anfangwertproblem:
y" = (y+1)y` ; y(1) = 1, y`(1) = 2
Bsp. 2:
y" + [mm] 2y(y`)^{3} [/mm] = 0 ; y(0) =1, y`(0) = 1/2
Vielen, vielen Dank!!!
-AA-
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Hallo Kix,
Bei einer Differentialgleichung
[mm]y''=f(y,y')[/mm]
kann man folgendermaßen substituieren:
[mm]p(y)=y'(x(y))[/mm] dabei ist x(y) die Umkehrfunktion von y(x) dann ist die Funktion p eine Funktion die y als Variable hat und mit [mm][mm] p'(y)=\bruch{y''(x(y))}{p(y)} [/mm] erhält man
[mm]p'=\bruch{1}{p}f(y,p)[/mm]
Also eine Differentialgleichung erster Ordnung die Du dann lösen kannst.
Dann x(y) berechnen mittels:
[mm]x(y)=\integral \bruch{1}{p(y)} dy[/mm]
Dann die Umkehrfunktion berechnen.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 03.04.2005 | | Autor: | Kix |
Danke erstmal für die Antwort!
Kannst du das vielleicht anhand des oberen Beispiels erklären?
Ist mir noch ein wenig zu theoretisch und steh irgendwie auf dem Schlauch... :(
Vielen Dank!!!
-AA-
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Hallo Kix,
Zunächst muß substituiert werden. Also in die DGL einsetzen:
y'' -> p'*p
y' -> p
Dann DGL lösen. z.B. mittels "Trennung der Veränderlichen" (Bsp)
Dann hast du p also y'(x(y)).
Dieses p ins Integral einsetzen.
mit dem Integral erhälst Du x(y).
Dann noch die Umkehrfunktion bestimmen.
Ich hoffe das ist weniger theoretisch
Kannst ja erstmal p bestimmen.
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Do 18.08.2011 | | Autor: | Enton |
| Aufgabe | (Reduktion der Ordnung, die Variable x tritt nicht direkt auf)
2*y*y'' = (y')² + 1:
Hinweis: Substituiere: y'(x) = p(y(x)). |
Ich habe hier zu der Aufgabe auch eine Lösung, deren letzte Schritte mir allerdings völlig unklar sind.
[Externes Bild http://img822.imageshack.us/img822/7389/xtrittnichtdirektauf1.png]
=============================
Mein Versuch die Aufgabe zu lösen:
[Externes Bild http://img705.imageshack.us/img705/1790/xtrittnichtdirektauf2.png]
Wie man sieht setze ich in meinem Versuch die Aufgabe zu lösen das p(y) ein und versuche mit "Trennung der Veränderlichen" die Gleichung zu lösen, aber offensichtlich wird meine Gleichung nicht einfacher.
Abgesehen davon steht in der Lösung direkt das Ergebnis, so als wäre es trivial auf dieses Ergebnis zu kommen.
Ich hoffe mir kann jemand sagen wie man zu dieser Lösung kommt.
Ich habe schon viele Stunden damit verbracht eine Lösung zu finden.
Auch in meinem Buch wird die Technik der Substitution mit p(y) nicht behandelt.
Danke schonmal an alle, die sich bemühen mir zu helfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Do 18.08.2011 | | Autor: | Enton |
| Aufgabe | (Reduktion der Ordnung, die Variable x tritt nicht direkt auf)
2*y*y'' = (y')² + 1:
Hinweis: Substituiere: y'(x) = p(y(x)). |
Da die Bilder, die ich oben verlinkt habe nur als Link angezeigt werden,
werde ich nochmal in Textform mein Problem formulieren.
Ich habe y' = p(y(x)) und y'' = p'(y(x)) * p(y(x)) gesetzt.
Anschließend habe ich versucht die entstandene Gleichung mit "Trennung der Veränderlichen" zu lösen:
2*y*y'' = (y')² + 1
2*y*p*p' = P² + 1
p*p' / (p² + 1) = 1 / (2*y)
[mm] \integral_{}^{}{p / (p^2 + 1) dp} [/mm] = (1/2) * [mm] \integral_{}^{}{1/y dy}
[/mm]
Mit "Partieller Integration" kam ich dann auf:
p * arctan(p) - 0.5 * ln|1+p²| + c = 0.5 * ln|y|
In der Lösung wird so getan als wäre p(y) ziemlich einfach zu ermitteln.
Mir ist es leider nicht gelungen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Do 18.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> (Reduktion der Ordnung, die Variable x tritt nicht direkt
> auf)
> 2*y*y'' = (y')² + 1:
> Hinweis: Substituiere: y'(x) = p(y(x)).
> Da die Bilder, die ich oben verlinkt habe nur als Link
> angezeigt werden,
> werde ich nochmal in Textform mein Problem formulieren.
>
> Ich habe y' = p(y(x)) und y'' = p'(y(x)) * p(y(x))
> gesetzt.
> Anschließend habe ich versucht die entstandene Gleichung
> mit "Trennung der Veränderlichen" zu lösen:
>
> 2*y*y'' = (y')² + 1
> 2*y*p*p' = P² + 1
>
> p*p' / (p² + 1) = 1 / (2*y)
>
> [mm]\integral_{}^{}{p / (p^2 + 1) dp}[/mm] = (1/2) *
> [mm]\integral_{}^{}{1/y dy}[/mm]
> Mit "Partieller Integration"
?????
>kam
> ich dann auf:
>
> p * arctan(p) - 0.5 * ln|1+p²| + c = 0.5 * ln|y|
Wo kommt denn der arctan her ???
[mm]\integral_{}^{}{p / (p^2 + 1) dp}=0,5*ln(p^2+1)[/mm]
FRED
>
> In der Lösung wird so getan als wäre p(y) ziemlich
> einfach zu ermitteln.
> Mir ist es leider nicht gelungen.
>
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Do 18.08.2011 | | Autor: | Enton |
Vielen Dank erstmal für die Antwort, vielleicht liegt an der Stelle mein Fehler.
Im oben verlinkten Bild steht genauer, wie ich darauf kam, aber ich schreibe es nochmal hier rein.
Ich schreibe jetzt genau meine Schritte auf und hoffe, dass ich so herausfinde was ich falsch gemacht habe.
Bitte sag/sagt mir welcher Schritt falsch ist und warum (es kann nämlich sein, dass ich derartige Integrale schon öfter falsch gelöst habe)
1)
Integral: [mm] \integral_{}^{}{p / (p^2 + 1) dp}
[/mm]
2)
[mm] \integral_{}^{}{f'(x)*g(x)dx} [/mm] = [f(x) * g(x)] - [mm] \integral_{}^{}{f(x)*g'(x)dx}
[/mm]
Formelsammlung: [mm] \integral_{}^{}{1/(1+x²)} [/mm] = arctan (x)
f'(p) = [mm] 1/(p^2 [/mm] + 1)
g(p) = p
f(p) = arctan(p)
g'(p) = 1
3)
[mm] \integral_{}^{}{p * (1 / (p^2 + 1)) dp} [/mm] = [arctan(p) * p] - [mm] \integral_{}^{}{arctan (p) dp}
[/mm]
4) Formelsammlung: [mm] \integral_{}^{}{arctan(x) dx} [/mm] = x * arctan(x) - 0.5*ln|1+x²| + c
[mm] \integral_{}^{}{p * (1 / (p^2 + 1)) dp} [/mm] = [arctan(p) * p] - [p * arctan(p) - 0.5*ln|1+p²| ] + c
= 0.5*ln|1+p²| + c
Okay das ist Deine Lösung ;D
Dann habe ich mich wohl vorher einfach nur verrechnet (habe vorher den ersten Teil der Partiellen Integration verschlampt)
[mm] \integral_{}^{}{p / (p^2 + 1) dp}=0,5\cdot{}ln(p^2+1)
[/mm]
Ich habe das ziemlich umständlich gemacht kann man das auch leichter lösen?
Gibt es da einen Trick?
Eine Idee:
[mm] \integral_{}^{}{p / (p^2 + 1) dp}
[/mm]
Mit z = [mm] p^2+1 [/mm]
Es ist ja zufällig so: [mm] \integral_{}^{}{p / (p^2 + 1) dp} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{p / z dp}
[/mm]
Mit dz/dp = 2p <=> dp = dz/2p erhält man:
[mm] \integral_{}^{}{p / (p^2 + 1) dp} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{p/z dz/2p} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{(1/2)/z dz} [/mm] = 0.5 * ln|z| +c = 0.5 * [mm] ln|p^2 [/mm] + 1| + c
Ok so kommt man auf die gleiche Lösung, aber wie soll man auf so etwas kommen? Das war jetzt ja nur Glück, dass ich gesehen habe, dass diese Substitution funktionieren könnte, weil ich die Lösung vorher schon gesehen habe.
Man muss ja vorher schon wissen, dass das p sich wegkürzt mit dz/2p... nicht grade einfach.
Kommen wir zurück zur DGL zurück:
Ich erhalte die Gleichung: 0.5 * [mm] ln|1+p^2| [/mm] = 0.5 * ln|y| + c
Ersetze ich c = [mm] ln(e^c)=ln(d) [/mm] bekomme ich:
[mm] ln|1+p^2| [/mm] = ln|y*d| <=> [mm] |(1+p^2)| [/mm] = |y*d|
[mm] p^2 [/mm] = |y*d-1|
p [mm] =\pm \wurzel[2]{dy-1}
[/mm]
In der Lösung steht: p = [mm] \pm \wurzel[2]{cy-1}
[/mm]
Somit ist die Aufgabe jetzt wohl endlich richtig gelöst :D
Also vielen Danke nochmal und falls es einen Trick gibt, wie man gut erkennen kann, wie man Substituieren kann, würde ich den gerne wissen.
Ich habe leider noch etwas vergessen.
Aus dem erhaltenen p=y' muss man noch y(x) ermitteln.
In der Lösung steht: p = $ [mm] \pm \wurzel[2]{cy-1} [/mm] $
Es entsteht die Gleichung:
y' = $ [mm] \pm \wurzel[2]{cy-1} [/mm] $
Wie kommt man auf y(x)=?
Musterlösung:
(1) $ [mm] 4(cy-1)=c^2\cdot{}(x+c_{2})^2 [/mm] $
(2) y(x) = $ [mm] (c/4)\cdot{}(x+c_{2})^2+(1/c) [/mm] $
Diese beiden Schritte sind mir völlig unklar.
Wie kann man diese Wurzelgleichung lösen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Do 18.08.2011 | | Autor: | Enton |
Ich habe leider noch etwas vergessen.
Aus dem erhaltenen p=y' muss man noch y(x) ermitteln.
In der Lösung steht: p = [mm] \pm \wurzel[2]{cy-1}
[/mm]
Es entsteht die Gleichung:
y' = [mm] \pm \wurzel[2]{cy-1}
[/mm]
Wie kommt man auf y(x)=?
Musterlösung:
(1) [mm] 4(cy-1)=c^2*(x+c_{2})^2
[/mm]
(2) y(x) = [mm] (c/4)*(x+c_{2})^2+(1/c)
[/mm]
Diese beiden Schritte sind mir völlig unklar.
Wie kann man diese Wurzelgleichung lösen?
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Hallo nochmal,
siehe andere Antwort
Gruß
schachuzipus
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Hallo Enton,
> Vielen Dank erstmal für die Antwort, vielleicht liegt an
> der Stelle mein Fehler.
>
> Im oben verlinkten Bild steht genauer, wie ich darauf kam,
> aber ich schreibe es nochmal hier rein.
>
> Ich schreibe jetzt genau meine Schritte auf und hoffe, dass
> ich so herausfinde was ich falsch gemacht habe.
> Bitte sag/sagt mir welcher Schritt falsch ist und warum
> (es kann nämlich sein, dass ich derartige Integrale schon
> öfter falsch gelöst habe)
>
>
> 1)
> Integral: [mm]\integral_{}^{}{p / (p^2 + 1) dp}[/mm]
>
> 2)
> [mm]\integral_{}^{}{f'(x)*g(x)dx}[/mm] = [f(x) * g(x)] -
> [mm]\integral_{}^{}{f(x)*g'(x)dx}[/mm]
>
> Formelsammlung: [mm]\integral_{}^{}{1/(1+x²)}[/mm] = arctan (x)
>
> f'(p) = [mm]1/(p^2[/mm] + 1)
> g(p) = p
>
> f(p) = arctan(p)
> g'(p) = 1
>
> 3)
> [mm]\integral_{}^{}{p * (1 / (p^2 + 1)) dp}[/mm] = [arctan(p) * p]
> - [mm]\integral_{}^{}{arctan (p) dp}[/mm]
>
> 4) Formelsammlung: [mm]\integral_{}^{}{arctan(x) dx}[/mm] = x *
> arctan(x) - 0.5*ln|1+x²| + c
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{p * (1 / (p^2 + 1)) dp}[/mm] = [arctan(p) * p] -
> [p * arctan(p) - 0.5*ln|1+p²| ] + c
> = 0.5*ln|1+p²| + c ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Okay das ist Deine Lösung ;D
> Dann habe ich mich wohl vorher einfach nur verrechnet
> (habe vorher den ersten Teil der Partiellen Integration
> verschlampt)
Kann passieren, aber nun hast du es ja auf dem "Mörderweg" auch heraus!
>
> [mm]\integral_{}^{}{p / (p^2 + 1) dp}=0,5\cdot{}ln(p^2+1)[/mm]
Jo, + Konstante
>
> Ich habe das ziemlich umständlich gemacht kann man das
> auch leichter lösen?
> Gibt es da einen Trick?
>
> Eine Idee:
> [mm]\integral_{}^{}{p / (p^2 + 1) dp}[/mm]
>
> Mit z = [mm]p^2+1[/mm]
> Es ist ja zufällig so: [mm]\integral_{}^{}{p / (p^2 + 1) dp}[/mm]
> = [mm]\integral_{}^{}{p / z dp}[/mm]
> Mit dz/dp = 2p <=> dp = dz/2p
> erhält man:
> [mm]\integral_{}^{}{p / (p^2 + 1) dp}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{p/z dz/2p}[/mm]
> = [mm]\integral_{}^{}{(1/2)/z dz}[/mm] = 0.5 * ln|z| +c = 0.5 *
> [mm]ln|p^2[/mm] + 1| + c
> Ok so kommt man auf die gleiche Lösung, aber wie soll
> man auf so etwas kommen? Das war jetzt ja nur Glück, dass
> ich gesehen habe, dass diese Substitution funktionieren
> könnte, weil ich die Lösung vorher schon gesehen habe.
> Man muss ja vorher schon wissen, dass das p sich wegkürzt
> mit dz/2p... nicht grade einfach.
Ja, mit der Substitution geht es.
Es ist [mm]\int{\frac{p}{p^2+1} \ dp}=\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{2p}{p^2+1} \ dp}[/mm]
Nun steht im Zähler genau die Ableitung des Nenners, das ist also ein logarithmisches Integral, dh. eines der Bauart [mm]\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}[/mm], das bekanntermaßen als Stfk. hat [mm]\ln(|f(x)|) \ (+ \ C)[/mm], wie du leicht über die Substitution [mm]z=z(x)=f(x)[/mm] nachrechnen kannst.
Integrale dieser Bauart musst du also nur scharf anschauen und sie erkennen. Dann brauchst du mit dem Obigen nichts mehr zu rechnen.
Also [mm]\frac{1}{2}\int{\frac{2p}{p^2+1} \ dp}=\frac{1}{2}\ln(|p^2+1|)[/mm]
>
> Kommen wir zurück zur DGL zurück:
>
> Ich erhalte die Gleichung: 0.5 * [mm]ln|1+p^2|[/mm] = 0.5 * ln|y| +
> c
> Ersetze ich c = [mm]ln(e^c)=ln(d)[/mm] bekomme ich:
> [mm]ln|1+p^2|[/mm] = ln|y*d| <=> [mm]|(1+p^2)|[/mm] = |y*d| [mm]\red{(\star)}[/mm]
> [mm]p^2[/mm] = |y*d-1|
Wie kommt die -1 in den Betrag?
Nicht eher [mm]p^2=d\cdot{}|y|-1[/mm] ?!
Definiere die Konstante d entsprechend um, dann hast du mit [mm]\red{(\star)}[/mm]:
[mm]p^2+1=\tilde c\cdot{}y[/mm] und kommst damit auf die unten stehende Lsg.
> p [mm]=\pm \wurzel[2]{dy-1}[/mm]
>
> In der Lösung steht: p = [mm]\pm \wurzel[2]{cy-1}[/mm]
>
> Somit ist die Aufgabe jetzt wohl endlich richtig gelöst
> :D
>
> Also vielen Danke nochmal und falls es einen Trick gibt,
> wie man gut erkennen kann, wie man Substituieren kann,
> würde ich den gerne wissen.
>
> Ich habe leider noch etwas vergessen.
> Aus dem erhaltenen p=y' muss man noch y(x) ermitteln.
> In der Lösung steht: p = [mm]\pm \wurzel[2]{cy-1}[/mm]
>
> Es entsteht die Gleichung:
> y' = [mm]\pm \wurzel[2]{cy-1}[/mm]
> Wie kommt man auf y(x)=?
Na, du hast doch 2 trennbare Dglen.
a) [mm] $y'=\sqrt{cy-1}$
[/mm]
Also [mm] $\int{\frac{1}{\sqrt{cy-1}} \ dy} [/mm] \ = \ [mm] \int{1 \ dx}$
[/mm]
b) [mm] $y'=-\sqrt{cy-1}$
[/mm]
Analog ...
> Musterlösung:
> (1) [mm]4(cy-1)=c^2\cdot{}(x+c_{2})^2[/mm]
> (2) y(x) = [mm](c/4)\cdot{}(x+c_{2})^2+(1/c)[/mm]
> Diese beiden Schritte sind mir völlig unklar.
> Wie kann man diese Wurzelgleichung lösen?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Do 18.08.2011 | | Autor: | Enton |
[mm] \int{\frac{1}{\sqrt{cy-1}} \ dy} [/mm] = [mm] \int{1 \ dx} [/mm]
So leicht ist das Integral aber nicht zu lösen.
Substitution: z=(cy-1) mit dz/dy=c => dy=dz/c
Auf diesem Weg bin ich auf die richtige Lösung gekommen. Vielen Dank.
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Hallo nochmal,
> [mm]\int{\frac{1}{\sqrt{cy-1}} \ dy}[/mm] \ = \ [mm]\int{1 \ dx}[/mm]
>
> So leicht ist das Integral aber nicht zu lösen.
Doch!
>
> Substitution: z=(cy-1) mit dz/dy=c => dz=c*dy
>
> Auf diesem Weg bin ich auf die richtige Lösung gekommen.
Eben, so schwierig ist die Substitution nicht, ist doch eine schön lineare Substitution 
> Vielen Dank.
Gruß
schachuzipus
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