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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:42 Fr 03.05.2013 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und B eine Multilinearform auf [mm] V^{4} [/mm] mit den Eigenschaften, dass sich dass Vorzeichen ändert, wenn man ersten und zweiten Eintrag oder dritten und vierten Eintrag vertauscht und sodass die Summe, wenn man alles so lässt, mittlere Einträge mit dem ersten vertauscht und die vorderen beiden mit dem dritten verschwindet.
Zeigen Sie, dass man vordere und hintere beiden Einträge vertauschen kann, ohne dass sich etwas ändert. Bestimmen Sie ferner die Dimension des Raumes all dieser Multilinearformen |
Hallo!
Irgendwie rechne ich hier nur im Kreis herum...
Die Voraussetzungen in Kurzform:
[mm] B(1,2,3,4)=-B(2,1,3,4)=-B(1,2,4,3) [/mm]
[mm] B(1,2,3,4)+B(2,3,1,4)+B(3,1,2,4)=0 [/mm]
Zuerst hab ich gedacht, dass dies einfach alternierende Multilinearformen sind, aber die zweite Bedingung macht das wohl kaputt.
Ich zu beweisende Identität wäre also [mm] B(1,2,3,4)=B(3,4,1,2) [/mm]. Nun hab ich einfach mal so drauf losgerechnet und hoffte, dass das die Identität rauskommt, die da rauskommen soll. Ich weiß auch nicht, wie ich da schlau drangehen soll, dazu ist das alles viel zu verwirrend...
[mm] B(1,2,3,4)=-B(2,3,1,4)-B(3,1,2,4)=B(3,2,1,4)+B(1,3,2,4)=B(3,2,1,4)-B(1,3,4,2)=B(3,2,1,4)+B(3,4,1,2)+B(4,1,3,2)= [/mm]
[mm] B(3,4,1,2)-B(2,1,3,4)-B(1,3,2,4)+B(4,1,3,2)=B(3,4,1,2)-B(2,1,3,4)-B(1,3,4,2)=B(3,4,1,2)-B(2,1,3,4)-B(1,3,4,2) [/mm]
[mm] =B(3,4,1,2)*2 B(1,3,2,4)+B(3,2,1,4)=B(3,4,1,2)+2B(1,3,2,4)-B(2,1,3,4)-B(1,3,2,4)=B(3,4,1,2)+B(1,3,2,4)-B(2,1,3,4) = ... [/mm]
Zur Dimension hab ich mir mal angeguckt, was man alles schon weiß, wenn man den Wert einer Reihenfolge hat und man braucht wohl nur 3 der 24 möglichen Reihenfolgen, um B von jeder Reihenfolge eines 4-Tupels von Vektoren berechnen zu können. Was sagt mir das jetzt für die Dimension?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 11.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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