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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Fr 01.07.2016 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | Sei [mm] A\in SO(2)=\{B\in M(2\times2) \IR | det B=1, B^{-1}=B^T\} [/mm] Zeigen Sie:
a) Ist [mm] \lambda\in\IR [/mm] Eigenwert von A, dann ist [mm] \lambda^{-1} [/mm] Eigenwert von [mm] A^{-1}.
[/mm]
b) Sei [mm] A^*:=\overline{A}^T. [/mm] Dann gilt <A^*v,w>=<v,Aw> für alle [mm] v,w\in\IC^2, [/mm] wobei <.,.> das komplexe Standard-Skalarprodukt bezeichnet.
c)Ist [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von A, dann ist [mm] \overline{\lambda} [/mm] Eigenwert von A* |
Guten Morgen zusammen, ich denke die obigen kleinen Beweise sind nur ein paar Zeilen lang, aber dennoch steh ich auf derm Schlauch wie ich hier beginnen soll. Vielleicht könnt Ihr mir da weiterhelfen:
zu a)
Da A orthogonal ist, kann ich A diagonalisieren und habe dann die Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] auf der Diagonalen stehen. Bestimmt ich dann die Inverse von A erhalte ich folglich [mm] \lambda^{-1}. [/mm] Aber kann ich das auch mathematisch schöner ausdrücken, z.B. in einer Gleichung?
zu b)
[mm] =<\overline{A}^Tv,w>=(\overline{A}^Tv)^Tw=v^T\overline{A}w= [/mm] Kann ich das so machen?
zu c) da auch hier fehlt mir der richtige Ansatz, kann ich das z.B. mit der Aussage aus a) machen?
Vielen lieben Dank für Eure Anregungen und einen schönen Start ins Wochenende!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 Fr 01.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A\in SO(2)=\{B\in M(2\times2) \IR | det B=1, B^{-1}=B^T\}[/mm]
> Zeigen Sie:
> a) Ist [mm]\lambda\in\IR[/mm] Eigenwert von A, dann ist
> [mm]\lambda^{-1}[/mm] Eigenwert von [mm]A^{-1}.[/mm]
> b) Sei [mm]A^*:=\overline{A}^T.[/mm] Dann gilt <A^*v,w>=<v,Aw> für
> alle [mm]v,w\in\IC^2,[/mm] wobei <.,.> das komplexe
> Standard-Skalarprodukt bezeichnet.
> c)Ist [mm]\lambda[/mm] Eigenwert von A, dann ist [mm]\overline{\lambda}[/mm]
> Eigenwert von A*
> Guten Morgen zusammen, ich denke die obigen kleinen
> Beweise sind nur ein paar Zeilen lang, aber dennoch steh
> ich auf derm Schlauch wie ich hier beginnen soll.
> Vielleicht könnt Ihr mir da weiterhelfen:
>
> zu a)
> Da A orthogonal ist, kann ich A diagonalisieren und habe
> dann die Eigenwerte [mm]\lambda[/mm] auf der Diagonalen stehen.
> Bestimmt ich dann die Inverse von A erhalte ich folglich
> [mm]\lambda^{-1}.[/mm]
Na ja... A wird im allgemeinen keine Diagonalgestalt haben.
Aussage a) gilt für jede invertierbare Matrix !
Ist $ [mm] \lambda\in\IR [/mm] $ Eigenwert von A, so gilt mit einem v [mm] \ne [/mm] 0: [mm] $Av=\lambda [/mm] v.$ Da A invertierbar ist, ist [mm] \lambda \ne [/mm] 0.
Aus [mm] $Av=\lambda [/mm] v$ folgt
[mm] $v=\lambda A^{-1}v.$
[/mm]
Nun teile durch [mm] \lambda.
[/mm]
> Aber kann ich das auch mathematisch schöner
> ausdrücken, z.B. in einer Gleichung?
>
> zu b)
>
> [mm]=<\overline{A}^Tv,w>=(\overline{A}^Tv)^Tw=v^T\overline{A}w=[/mm]
> Kann ich das so machen?
Ja
>
> zu c) da auch hier fehlt mir der richtige Ansatz, kann ich
> das z.B. mit der Aussage aus a) machen?
Ich würde b) verwenden ...
FRED
>
> Vielen lieben Dank für Eure Anregungen und einen schönen
> Start ins Wochenende!
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