Sphärische Trigonometrie < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Di 27.03.2012 | | Autor: | gr5959 |
| Aufgabe | | Was ist ein Polardreieck? |
Hans Kern und Josef Rung, Sphärische Trigonometrie. 2. Auflage. Bayerischer Schulbuchverlag München 1982, Seite 28/29
Die beiden Autoren erklären hier, was ein Polardreieck ist. Bis (4) kann ich ihnen folgen. Doch was heisst »Orientierung« in dem Satz, dem entstehenden Zweieck werde eine »Orientierung« gegeben? (Der Ausdruck wird vorher nicht im Buch erklärt und kommt im Index nicht vor.)
In Fig. 28 erkenne ich das Zweieck (orange Linien) mit seinen zwei Polen P und P'. Bedeutet »Orientierung« etwa die Entscheidung, welcher Pol P und welcher P' genannt wird?
In (4) scheint »d.h.« zu bedeuten, die beiden Pole werden gefunden dadurch, dass die Lote vom Mittelpunkt M auf die Trägerebenen der beiden Kreise gefällt werden. Ich kann mir das räumlich nicht vorstellen. Ist mit den beiden Loten die gestrichelte Linie gemeint, die von P durch M nach P' geht? Oder sind mit den beiden Loten die blauen gestrichelten Linien gemeint, die von M ausgehen und miteinander den Winkel 180 Grad minus phi bilden?
(5) Soll die Erläuterung zu Fig. 29 sein, ist mir aber ganz unverständlich. Kann mir jemand eine ausführlichere Erläuterung zu Fig. 29 als Alternative zu (5) geben?
Schliesslich: wo hat man sich das Polardreieck lokalisiert vorzustellen? Liegt es auf der Kugeloberfläche oder geht es durch den Mittelpunkt der Kugel?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Die beiden Pole müssen keine festen Punkte auf der Kugel wie z.B. Nord- und Südpol sein, sondern nur einander gegenüber liegen, d.h. ihre Verbindungsstrecke wird vom Kugelmittelpunkt halbiert. Bei einer konkreten Betrachtung bleiben sie natürlich feste Punkte. Der eine heißt beliebig P, sein Partner dann P'. Man könnte z.B. immer den sichtbaren P und den hinter der Kugel auf der Rückseite liegenden P' nennen.
Den Begriff Orientierung in einem Vieleck benutzt man im Zusammenhang mit dem Umrunden des Vielecks auf dem Umfang: Man kann so herum oder anders herum gehen. In der Mathematik nennt man meistens die Orientierung positiv, wenn man eine Fläche beim Draufgucken entgegen dem Uhrzeigersinn umläuft, wenn man also die Fläche immer auf seiner linken Seite hat. Genau so gut kann man aber die Orientierung auch anders herum wählen.
Wenn du nun auf einem sphärischen Dreick wanderst, gehst du von Eckpunkt zu Eckpunkt ein Stück auf einem Großkreis. Diesen Großkreis kannst du (jeweils) mit dem Äquator der Erde vergleichen; gehst du nun zu seinem Mittelpunkt und von da aus senkrecht zu diesem Großkreis, so gelangst du zum dazu gehörigen Pol P (oder in der anderen Richtung zu P'). So findest du zu jeder Dreieckseite zwei Pole. Durch die festgelegte Orientierung lässt sich von diesen beiden immer einer eindeutig festlegen. Du kannst z.B. sagen: Ich gehe gegen den Uhrzeigersinn um das Dreieck. Dann liegt das Dreieck links von mir. Wenn ich nun durch meine Füße auf den Kugelmittelpunkt schaue, gehe ich in Gedanken dort hin und biege dann senkrecht nach rechts ab, um zum gesuchten Pol zu kommen (wäre auf der Erde eine Dreieckskante der Äquator, so würde man den Nordpol wählen, wenn das Dreieck auf der Südhalbkugel läge und umgekehrt). Auf diese Weise erhält man einen eindeutigen Pol zu jeder Kante.
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