Spiegeln von Punkt an Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Achilles |
Hallo Zusammen.
Hab ein Problem und ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
Also:
Ich habe 2 Punkte gegeben: A (20;0;19) und B (7;-19,5;46)
und die Ebene: 4x -4y +7z -116 = 0
Ich muss nun A an der Ebene spiegeln und dann eine Gerade von A'nach B bilden um den Schnittpunkt der geraden A'B mit der Ebene zu bestimmen.
Stehe aber total auf em Schlauch und weiß nicht genau wie ich das machen soll.
Ich hoffe Ihr könnt mir da helfen???
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Mi 07.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Zusammen.
> Hab ein Problem und ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
>
> Also:
> Ich habe 2 Punkte gegeben: A (20;0;19) und B (7;-19,5;46)
> und die Ebene: 4x -4y +7z -116 = 0
>
> Ich muss nun A an der Ebene spiegeln und dann eine Gerade
> von A'nach B bilden um den Schnittpunkt der geraden A'B mit
> der Ebene zu bestimmen.
Stelle zuerst mal die Ebene in Normalenform, als [mm] \vec{n}*\vec{x}=d [/mm] auf, das ist hier, da du die Koordinatenform hast, relativ schnell genahct.
E: [mm] \vektor{4\\-4\\7}*\vektor{x\\y\\z}=116
[/mm]
Den Normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{4\\-4\\7} [/mm] brauchst du jetzt.
Bilde jetzt mal die Hilfgsgerade [mm] h:\vec{x}=\vec{a}+\lambda*\vec{n}.
[/mm]
Also: [mm] h:\vektor{x\\y\\z}=\vektor{20\\0\\19}+\lambda*\vektor{4\\-4\\7}
[/mm]
Diese verläuft senkrecht zur Ebene und zwar durch den Punkt A.
Jetzt berechne mal den Schnittpunkt dieser Gerade h mit der Ebene E. Dazu setze h mal in die Normalenform ein:
Also:
[mm] \vektor{4\\-4\\7}*\left[\vektor{20\\0\\19}+\lambda*\vektor{4\\-4\\7}\right]=116
[/mm]
[mm] \gdw 4(20+4\lambda)-4(-4\lambda)+7(19+7\lambda)=116
[/mm]
Damit kannst du jetzt das [mm] \lambda [/mm] bestimmen, dass den Richtungsvektor von h so verlängert, dass der Schnittpunkt mit E entsteht.
Um den Spiegelpunkt A' zu ermitteln, brauchst du jetzt die doppelte Länge, also:
[mm] \vec{a'}=\vektor{20\\0\\19}+\red{2}*\lambda*\vektor{4\\-4\\7}
[/mm]
Damit erhältst du die Koordinaten deines Spiegelpunktes A'.
Dann kannst du die Gerade durch A' und B ja ohne weiteres bestimmen.
Diese kannst du dann wieder in die Normalenform von E einsetzen, um den Schnittpunkt zu bekommen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Achilles |
Ich habe das jetzt ausgerechnet und bekomme für den Punkt A` die Koordinaten (16,5928;3,4072;9,0379) heraus. Stimmt das ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Mi 07.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich komme auf komplett andere Werte. Schreib mal diene Rechnung auf:
[mm] 4(20+4\lambda)-4(-4\lambda)+7(19+7\lambda)=116
[/mm]
[mm] \gdw 80+16\lambda+16\lambda+133+49\lambda=116
[/mm]
[mm] \gdw 81\lambda=-97
[/mm]
[mm] \gdw \lambda=-\bruch{97}{81}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Achilles |
Entschuldigung!
Die z Koordinate ist 15 nicht 19.
Deswegen die unterschiedlichen Ergebnisse.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mi 07.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Okay, das erklärt einiges...
Aber den Weg hast du verstanden?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Achilles |
Ja den Weg hab ich verstanden.
Eine Frage hab ich aber noch wenn ich nun die Strecke von A`nach B ausrechne muss ich die Koordinaten dann einfach nur noch in die Ebenengleichung einsetzen und dann hab ich den Schnittpunkt.
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mi 07.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Nein, du stellst ja die Gerade [mm] g:\vektor{x\\y\\z}=\vec{a'}+\mu*\overrightarrow{A'B} [/mm] auf.
Wenn du diese in die Normalen- (oder die Koordinatenform) der Ebene einsetzt, kannst du ein [mm] \mu [/mm] ermitteln, das dich - wenn du es in g einsetzt - zum Schnittpunkt von g und E führt.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Achilles |
Ok alles klar.
Vielen Dank für deine Hilfe!
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