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Im $ [mm] \IR² [/mm] $ sei f die Spiegelung an der durch y=-x gegebenen Geraden, g die Spiegelung an der Geraden $ [mm] \IR\vektor{\wurzel{3} \\ -1}. [/mm] $ Geben Sie eine Matrix C an mit (g $ [mm] \circ [/mm] $ f)(x) = Cx.
Hier stehe ich ehrlich gesagt auf dem Schlauch, sone Aufgabe hatte ich noch nie und weiss auch nicht recht, wo ich anfangen soll...
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> Im [mm]\IR²[/mm] sei f die Spiegelung an der durch y=-x gegebenen
> Geraden, g die Spiegelung an der Geraden
> [mm]\IR\vektor{\wurzel{3} \\ -1}.[/mm] Geben Sie eine Matrix C an
> mit (g [mm]\circ[/mm] f)(x) = Cx.
>
> Hier stehe ich ehrlich gesagt auf dem Schlauch, sone
> Aufgabe hatte ich noch nie und weiss auch nicht recht, wo
> ich anfangen soll...
Hallo,
Du mußt hierfür wissen, daß Du die darstellende Matrix von verketteten linearen Funktionen bekommst, indem Du jeweils die jeweiligen darstellenden Matrizen multiplizierst.
Bestimme also die darstellende Matrix [mm] M_f [/mm] von f und die darstellende Matrix [mm] M_g [/mm] von g und berechne [mm] M_g*M_f.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Könntest du mir evtl. noch einen Tipp geben wie ich von so etwas die Darstellungsmatrizen erstelle? Bisher habe ich das nur von lin. Abbildungen machen müssen vom Typ: [mm] \IR³ \to \IR², [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] Ax und eben mit 2 gegebenen Basen...
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Hallo,
nimm als basis die Standardbasis und überlege (ggf.: berechne) Dir, auf welche Vektoren diese durch die betreffenden Abbildungen abgebildet werden.
Diese Bilder kommen dann als Spalten in die Matrix.
Gruß v. Angela
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Hmmm.... weiß net, ob das so richtig ist:
Da wir uns im [mm] \IR² [/mm] befinden, ist die Standardbasis ja B={ [mm] \vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1} [/mm] }.
Um die Bilder von y=-x zu berechnen habe ich folgendes gemacht:
[mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] = - [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow M_f [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }
[/mm]
für g bin ich so vorgegangen:
[mm] \vektor{1 \\ 0 }*\vektor{\wurzel{3} \\ -1}=\vektor{\wurzel{3}-1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1}*\vektor{\wurzel{3} \\ -1}=\vektor{0 \\ \wurzel{3}-1}
[/mm]
Richtig pder falsch? <.<
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m.... weiß net, ob das so richtig ist:
>
> Da wir uns im [mm]\IR²[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
befinden, ist die Standardbasis ja B={ [mm]\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}.
Hallo,
ja, so ist es.
Das ist aber auch das einzige von dem , was Du getan hast, as mir klar ist.
>
> Um die Bilder von y=-x zu berechnen habe ich folgendes
> gemacht:
Hast Du Dir mal eine Zeichung angefertigt?
Die Spiegelachse y=-x eingezeichnet und die basisvektoren gespiegelt?
Anscheinend nicht...
Mach das mal, und stell so fest, welches die Bilder der Basisvektoren unter der besagten Spiegelung sind.
> [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] = - [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 0}[/mm]
Solch ein Blödinn! Du schreibst hier, daß der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] derselbe ist wie vektor{-1 [mm] \\ [/mm] 0}.
Da ja wohl kaum, oder?
>
> [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow M_f[/mm] = [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm]
>
>
> für g bin ich so vorgegangen:
> [mm]\vektor{1 \\ 0 }*\vektor{\wurzel{3} \\ -1}=\vektor{\wurzel{3}-1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\vektor{0 \\ 1}*\vektor{\wurzel{3} \\ -1}=\vektor{0 \\ \wurzel{3}-1}[/mm]
>
> Richtig pder falsch? <.<
Falsch.
Mir ist überhaupt nicht klar, was Du da gerechnet hast.
Was eine Spiegelung ist, weißt Du aber? Ich meine, wie man gespiegelte Punkte konstruiert?
Ansonsten finde erstmal das raus, dann mach einen erneuten Versuch der Berechnung.
Möglicherweise (das kannst nur Du wissen) steht Dir aus der Vorlesung sogar eine Fertigformel für die berechnung von gespiegelten Vektoren zur Verfügung.
Du könntest hier(, wenn Du das kannst), natürlich auch zuerst mit einer anderen Basis arbeiten und dann transformieren.
Gruß v. Angela
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Also let's try it again >.<
Ich habe erneut versucht die Basisvektoren [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] an der Geraden y=-x zu spiegeln, dabei habe ich folgendes erhalten:
Der Spiegelpunkt von [mm] \vektor{1 \\ 0 } [/mm] ist [mm] \vektor{0 \\ -1} [/mm] und der Spiegelpunkt von [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] ist [mm] \vektor{-1 \\ 0}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow M_f=\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
Jedoch habe ich das quasi aus meiner Skizze abgelesen, weil ich einfach nicht drauf komme wie man es berechnet...
Auf einer Seite hat jemand folgende Formel geschrieben: S = 2(a*a) - E, wobei S dann die Abbildungsmatrix ist, a*a ist das dyadische Produkt des Richtungsvektors der Geraden und E ist die Einheitsmatrix, die man subtrahiert. Ist diese Formel richtig? Denn ich erhalte immer ein anderes Ergebnis... :(
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> Also let's try it again >.<
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> Ich habe erneut versucht die Basisvektoren [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] an der Geraden y=-x zu spiegeln, dabei
> habe ich folgendes erhalten:
>
> Der Spiegelpunkt von [mm]\vektor{1 \\ 0 }[/mm] ist [mm]\vektor{0 \\ -1}[/mm]
> und der Spiegelpunkt von [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] ist [mm]\vektor{-1 \\ 0}.[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow M_f=\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }[/mm]
>
> Jedoch habe ich das quasi aus meiner Skizze abgelesen, weil
> ich einfach nicht drauf komme wie man es berechnet...
Hallo,
wenn Du in der Ebene an einer Geraden mit Richtungsvektor [mm] v_1 [/mm] spiegelst, kannst Du das rechnerisch so machen:
bestimme einen zu [mm] v_1 [/mm] senkrechten Vektor [mm] v_2.
[/mm]
Schreibe den zu spiegelnden Vektor x als linearkombination von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2: x=\lambda_1 v_1+ \lambda_2 v_2.
[/mm]
Der gespiegelte Vektor [mm] \sigma(x) [/mm] ist dann [mm] \sigma(x)=\lambda_1 v_1- \lambda_2 v_2.
[/mm]
Mach Dir die zerlegung in Komponenten parallele und senkrecht zur Spiegelachse und die anschließende Spiegelung anschaulich klar.
Welches ist denn der Richtungsvektor Deiner Spiegelachse.
>
> Auf einer Seite hat jemand folgende Formel geschrieben: S =
> 2(a*a) - E, wobei S dann die Abbildungsmatrix ist, a*a ist
> das dyadische Produkt des Richtungsvektors der Geraden und
> E ist die Einheitsmatrix, die man subtrahiert. Ist diese
> Formel richtig? Denn ich erhalte immer ein anderes
> Ergebnis... :(
Du mußt hier den normierten Richtungsvektor der Geraden [mm] \vec{n_0} [/mm] verwenden und [mm] \blue{2}\vec{n_0}*\vec{n_0}^t [/mm] - E rechnen.
Gruß v. Angela
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Ich versuchs mal:
Meine Gerade ist doch [mm] \IR*\vektor{1 \\ -1}.
[/mm]
Ein senkrechter Vektor dazu ist dann [mm] \vektor{1 \\ -1}*\vektor{1 \\ 1}=0
[/mm]
Nun möchte ich den Standardbasisvektor [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] spiegeln, also schreibe ich:
[mm] \vektor{1 \\ 0}= \lambda_1*\vektor{1 \\ -1}+\lambda_2*\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=0,5
[/mm]
$ [mm] \sigma(x) [/mm] $ = [mm] 0,5*\vektor{1 \\ -1}-0,5*\vektor{1 \\ 1}=\vektor{0 \\ -1}
[/mm]
Ok, es hat geklappt!
Dann versuche ich es nochmal mit [mm] \IR*\vektor{\wurzel{3} \\ -1}:
[/mm]
Senkrechter Vektor:
[mm] \vektor{\wurzel{3} \\ -1}*\vektor{\wurzel{3} \\ 3}=0
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 0}=\lambda_1*\vektor{\wurzel{3} \\ -1}+\lambda_2*\vektor{\wurzel{3} \\ 3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_1= \bruch{3}{4*\wurzel{3}} [/mm] und [mm] \lambda_2=\bruch{1}{4*\wurzel{3}}
[/mm]
Nun möchte ich [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] spiegeln:
[mm] \vektor{1 \\ 0}=\bruch{3}{4*\wurzel{3}}*\vektor{\wurzel{3} \\ -1}-\bruch{1}{4*\wurzel{3}}*\vektor{\wurzel{3} \\ 3}=\vektor{0 \\ -\bruch{6}{4*\wurzel{3}}}
[/mm]
so richtig?
> Du mußt hier den normierten Richtungsvektor der Geraden
> [mm]\vec{n_0}[/mm] verwenden und [mm]\vec{n_0}*\vec{n_0}^t[/mm] - E rechnen.
Ich versuche es mit der Geraden [mm] \IR*\vektor{1 \\ -1}:
[/mm]
[mm] n_0=\bruch{\vektor{1 \\ -1}}{||\vektor{1 \\ -1}||}= \bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{1 \\ -1}= \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}}}
[/mm]
Dann erhalte ich:
[mm] \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}}}*(\bruch{1}{\wurzel{2}}, -\bruch{1}{\wurzel{2}})= \pmat{ 0,5 & -0,5 \\ -0,5 & 0,5 }
[/mm]
Nun ziehe ich davon die Einheitsmatrix ab:
[mm] \pmat{ 0,5 & -0,5 \\ -0,5 & 0,5 }-\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}= \pmat{ -0,5 & -0,5 \\ -0,5 & -0,5 }
[/mm]
Nun möchte ich den Spiegelpunkt von [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] haben:
[mm] \pmat{ -0,5 & -0,5 \\ -0,5 & -0,5 }*\vektor{1 \\ 0}=\vektor{-0,5 \\ -0,5}
[/mm]
Was ist hier schiefgelaufen?
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> Ich versuchs mal:
>
> Meine Gerade ist doch [mm]\IR*\vektor{1 \\ -1}.[/mm]
Hallo,
ja.
> Ein
> senkrechter Vektor dazu ist dann
[mm] \vektor{1 \\ 1}, [/mm] denn es ist
> [mm]\vektor{1 \\ -1}*\vektor{1 \\ 1}=0[/mm]
>
> Nun möchte ich den Standardbasisvektor [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> spiegeln, also schreibe ich:
> [mm]\vektor{1 \\ 0}= \lambda_1*\vektor{1 \\ -1}+\lambda_2*\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=0,5[/mm]
> [mm]\sigma(x)[/mm] =
> [mm]0,5*\vektor{1 \\ -1}-0,5*\vektor{1 \\ 1}=\vektor{0 \\ -1}[/mm]
>
> Ok, es hat geklappt!
Ja, prima.
(Du mußt natürlich den anderen Einheitsvektor, also [mm] \vektor{0\\1} [/mm] auch noch spiegeln.)
>
> Dann versuche ich es nochmal mit [mm]\IR*\vektor{\wurzel{3} \\ -1}:[/mm]
>
> Senkrechter Vektor:
> [mm]\vektor{\wurzel{3} \\ -1}*\vektor{\wurzel{3} \\ 3}=0[/mm]
Bitte schreib sowas gescheit auf, s.o.
Erstens ist es so falsch, zweitens kann es verwirren, und drittens gibt es bei sowas P u n k t a b z u g.
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0}=\lambda_1*\vektor{\wurzel{3} \\ -1}+\lambda_2*\vektor{\wurzel{3} \\ 3}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_1= \bruch{3}{4*\wurzel{3}}[/mm] und
> [mm]\lambda_2=\bruch{1}{4*\wurzel{3}}[/mm]
> Nun möchte ich [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] spiegeln:
> [mm]\vektor{1 \\ 0}=\bruch{3}{4*\wurzel{3}}*\vektor{\wurzel{3} \\ -1}-\bruch{1}{4*\wurzel{3}}*\vektor{\wurzel{3} \\ 3}=\vektor{0 \\ -\bruch{6}{4*\wurzel{3}}}[/mm]
>
> so richtig?
Ja.
(Du mußt natürlich den anderen Einheitsvektor, also [mm] \vektor{0\\1} [/mm] auch noch spiegeln.)
>
>
>
> > Du mußt hier den normierten Richtungsvektor der Geraden
> > [mm]\vec{n_0}[/mm] verwenden und [mm]\vec{n_0}*\vec{n_0}^t[/mm] - E rechnen.
>
> Ich versuche es mit der Geraden [mm]\IR*\vektor{1 \\ -1}:[/mm]
>
> [mm]n_0=\bruch{\vektor{1 \\ -1}}{||\vektor{1 \\ -1}||}= \bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{1 \\ -1}= \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}}}[/mm]
>
> Dann erhalte ich:
> [mm]\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}}}*(\bruch{1}{\wurzel{2}}, -\bruch{1}{\wurzel{2}})= \pmat{ 0,5 & -0,5 \\ -0,5 & 0,5 }[/mm]
>
> Nun ziehe ich davon die Einheitsmatrix ab:
> [mm]\pmat{ 0,5 & -0,5 \\ -0,5 & 0,5 }-\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}= \pmat{ -0,5 & -0,5 \\ -0,5 & -0,5 }[/mm]
>
> Nun möchte ich den Spiegelpunkt von [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] haben:
> [mm]\pmat{ -0,5 & -0,5 \\ -0,5 & -0,5 }*\vektor{1 \\ 0}=\vektor{-0,5 \\ -0,5}[/mm]
>
> Was ist hier schiefgelaufen?
Du hast auf mich gehört... Entschuldigung - ich hab's nicht mit Absicht gemacht!
Ich habe das eben im anderen Post verbessert, es muß richtig heißen: [mm] \blue{2}\vec{n_0}*\vec{n_0}^t [/mm] - E.
Damit kommst Du hin.
Gruß v. Angela
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> > > Du mußt hier den normierten Richtungsvektor der Geraden
> > > [mm]\vec{n_0}[/mm] verwenden und [mm]2*\vec{n_0}*\vec{n_0}^t[/mm] - E rechnen.
> >
> > Ich versuche es mit der Geraden [mm]\IR*\vektor{1 \\ -1}:[/mm]
> >
> > [mm]n_0=\bruch{\vektor{1 \\ -1}}{||\vektor{1 \\ -1}||}= \bruch{1}{\wurzel{2}}*\vektor{1 \\ -1}= \vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}}}[/mm]
>
> >
> > Dann erhalte ich:
> > [mm]2*\vektor{\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}}}*(\bruch{1}{\wurzel{2}}, -\bruch{1}{\wurzel{2}})= \vektor{{\wurzel{2}} \\ -\wurzel{2}}}*(\bruch{1}{\wurzel{2}}, -\bruch{1}{\wurzel{2}}) \pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 1 }[/mm]
>
> >
> > Nun ziehe ich davon die Einheitsmatrix ab:
> > [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 1 }-\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}= \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }[/mm]
>
> >
> > Nun möchte ich den Spiegelpunkt von [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] haben:
> > [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }*\vektor{1 \\ 0}=\vektor{0 \\ -1}[/mm]
Analog geht es dann mit [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] und ich erhalte als Spiegelpunkt [mm] \vektor{-1 \\ 0}.
[/mm]
Jetzt ist es richtig, hoffe ich :D
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Ja, jetzt hast Du's.
Gruß v. Angela
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So eine letzte kleine Frage:
Um zur Aufgabe zurückzukehren:
Als Matrix [mm] M_f=\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 } [/mm] habe ich dies und als Matrix [mm] M_g=\pmat{ \bruch{1}{2} & -\bruch{\wurzel{3}}{2} \\ -\bruch{\wurzel{3}}{2} & -\bruch{1}{2} } [/mm] herausbekommen.
Um eine Matrix C anzugeben mit (g [mm] \circ [/mm] f)(c)= Cx muss ich jetzt [mm] M_g*M_f [/mm] rechnen?
Also: [mm] \pmat{ \bruch{1}{2} & -\bruch{\wurzel{3}}{2} \\ -\bruch{\wurzel{3}}{2} & -\bruch{1}{2} }*\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }=\pmat{ \bruch{\wurzel{3}}{2} & -0,5 \\ 0,5 & \bruch{\wurzel{3}}{2} }
[/mm]
Das ist dann meine gesuchte Darstellungsmatrix?
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> Das ist dann meine gesuchte Darstellungsmatrix?
Hallo,
es gibt einige Indizien, die daraufhindeuten, daß das richtig ist:
-die Determinanten der Spiegelmatrizen
- das Ergebnis ist eine Drehmatrix
- und wenn Du Dir mal die Neigungswinkel der Spiegelgeraden anschaust und den Drehwinkel, siehst Du, daß das gut hinkommt.
Gruß v. Angela
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