Spiegelung Punkt an Ebene < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 So 07.02.2010 | | Autor: | lealeona |
| Aufgabe | | Der Punkt S1 (13|1|9), der nicht in der Ebene E: [mm] 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}=27 [/mm] liegt, wird an der Ebene E gespiegelt, so dass der zu S1 symmetrisch liegende Spiegelpunkt S2 entsteht. estimmen Sie die Koordinaten des Punktkes S2. |
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Hallo!
Ich habe einen Versuch gewagt und den Abstand zwischen S1 und E errechnet:
Gleichung der Lotgeraden
g: [mm] \vec{x} =\vektor{13 \\ 1 \\ 9} [/mm] + t* [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2 } [/mm]
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2 } [/mm] ist der Normalevektor
daraus ergibt sich
x1= 13 +2t
x2= 1+t
x3= 9 +2t
Einsetzen in die Ebenengleichung
2 (13+2t) +1+t+2 (9+2t) =27
<=> t =-2
einsetzen von t=-2 in g
g: [mm] \vec{x} =\vektor{13 \\ 1 \\ 9 } [/mm] -2 * [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
daraus ergibt sich:
x1 = 9
x2=-1
x3=5
deswegen sind die Koordinaten des Lotfußpunktes
F(9|-1|5)
Der Abstand der Punkte S1 und F ist gleich dem Betrag des Vektors [mm] \overrightarrow{S1F}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{S1F} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ -2 \\ -4 }
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{S1F}| =\wurzel{(-4)^{2}+(-2)^{2}+(-4)^{2}}=6
[/mm]
Der Abstand zwischen S1 und E ist also 6
Dann habe ich 2*6 ind die Gleichung der Lotgeraden eingesetzt, da ich mir dachte, dass ich dann den Spiegelpunkt S2 heraus bekomme.
g: [mm] \vec{x} =\vektor{13 \\ 1 \\ 9} [/mm] + 12* [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2 }
[/mm]
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{37\\ 13 \\ 33} [/mm]
S2 (37|13|33)
Das Ergebnis kann allerdings nicht stimmen. Der Punkt ist viel zu weit von der Ebene entfernt. Es wäre nett, wenn mir jemand helfen würde, da ich mit dem Ergebnis leider auch noch weiter rechnen muss...
Liebe Grüße,
Lea
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 So 07.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lea!
Dein Fehler ist am Ende. Du darfst nicht $t \ = \ 2*6$ einsetzen, da der Richtungsvektor der Geraden nicht normiert ist.
Setze ein:
$$t \ = \ [mm] \bruch{2*6}{\left|\vec{r}\right|} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{12}{\left|\vektor{2\\1\\2}\right|} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 07.02.2010 | | Autor: | lealeona |
Vielen Dank. Das ist sehr hilfreich!
Ich habe jetzt den S2 (25|13|21) heraus. Ist das richtig??
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Hallo!
Ich würde es noch einen Schritt einfacher machen:
In g: $ [mm] \vec{x} =\vektor{13 \\ 1 \\ 9} [/mm] + [mm] t*\vektor{2 \\ 1 \\ 2 } [/mm] $
ist doch [mm] t*\vektor{2 \\ 1 \\ 2 } [/mm] mit t=-2 genau der Vektor, der vom Punkt aus genau auf den Lotpunkt in der Ebene zeigt. Du brauchst aber den doppelten Weg, daher befindet sich der gesuchte Punkt bei [mm] $\vektor{13 \\ 1 \\ 9} [/mm] + [mm] 2*t*\vektor{2 \\ 1 \\ 2 }$ [/mm] mit t=-2 . Somit sparst du dir irgendeine Abstands- oder Betragsberechnung.
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