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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Do 15.01.2009 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm] \IR^2 [/mm] mit den Standardskalarprodukt [mm] <\vec{x}, \vec{y}> [/mm] = [mm] \vec{x1}*\vec{y1} [/mm] + [mm] \vec{x2}*\vec{y2}
[/mm]
und die lineare Abildung A: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2
[/mm]
Zu bestimmen ist die Matrix A [mm] \in \IR^2x2 [/mm] so, dass die lineare Abbildung A eine Spiegelung an der vom Vektor [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] erzeugten Geraden beschreibt.
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Hallo,
ich komme bei dieser AUfgabe leider ueberhaupt nicht weiter. Ich weiss zwar dass man eine Drehungsmatrix [mm] \pmat{ cos(a) & sin(a) \\ -sin(a) & cos(a) } [/mm] hat, aber wie man hier genau vorgeht weiss ich nicht.
Kann mir hier jemand den Ansatz sagen, wie zu rechnen [mm] ist?\
[/mm]
Gruss, ..
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> Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm]\IR^2[/mm] mit den
> Standardskalarprodukt [mm]<\vec{x}, \vec{y}>[/mm] = [mm] \red{x_1y_1+x-2y_2}
[/mm]
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> und die lineare Abildung A: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm]
> Zu bestimmen ist die Matrix A [mm]\in \IR^2x2[/mm] so, dass die
> lineare Abbildung A eine Spiegelung an der vom Vektor
> [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm] erzeugten Geraden beschreibt.
>
>
>
> Hallo,
>
> ich komme bei dieser AUfgabe leider ueberhaupt nicht
> weiter. Ich weiss zwar dass man eine Drehungsmatrix [mm]\pmat{ cos(a) & sin(a) \\ -sin(a) & cos(a) }[/mm]
> hat, aber wie man hier genau vorgeht weiss ich nicht.
>
> Kann mir hier jemand den Ansatz sagen, wie zu rechnen
> [mm]ist?\[/mm]
Hallo,
es fielen mir aus dem Stand 3 Ansätze ein - Du mußt das tun. was gerade bei Euch thematisch paßt.
1. Bestimme das Bild der Einheitsvektoren unter der Spielung. Das gelingt Dir, wenn Du die Vektoren zerlgst in eine Linarkombination aus [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] und einem dazu senkrechten Vektor, und Dir dann überlegst, was bei Spiegelung an der Geraden passiert.
Die Bildvektoren in eine Matrix geschrieben ergeben die darstellungmatrix der Spiegelung.
2. Wenn Ihr bereits über Spiegelungsmatrizen gesprochen habt, kannst Du den Neigungswinkel [mm] \alpha [/mm] der durch [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] gegebenen gerade berechnne und in den Spiegelmatrizen"rohling" [mm] \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} [/mm] einsetzen.
3. Ihr hattet die Householdertransformation, dann weißt Du, daß Du die gesuchte Matrix
die Matrix E - [mm] \frac{2}{} [/mm] v [mm] v^T [/mm] ist, wobei v ein Normalenvektor der Spiegelachse ist.
4. Ihr hattet - oder Du leitest her -, daß man die Spiegelmatrix [mm] \frac{2}{} [/mm] v [mm] v^T [/mm] - E ist, wobei v hier der Richtungsvektor der Spiegelachse ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Fr 16.01.2009 | | Autor: | nina1 |
Vielen Dank, hast mir wirklich sehr geholfen!!! 
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