Spiegelung des R^2 < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mo 17.01.2011 | | Autor: | andor922 |
| Aufgabe | Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm] R^2 [/mm] mit dem Standardskalarprodukt
<x→,y→>:=x1y1+x2y2
und die lineare Abbildung
A : [mm] R^2 [/mm] -> [mm] R^2
[/mm]
x(vektor)-> Ax(vektor)
Bestimmen Sie die Matrix A∈R^(2x2) so, dass die lineare Abbildung A eine Spiegelung an der vom Vektor [mm] \vektor{-4 \\ -5} [/mm] erzeugten Geraden beschreibt. |
Meine generelle Frage wäre, wie packe ich diese Aufgabe überhaupt an? Ich weiß das es eine Rotationsmatrix gibt, mir fehlt allerdings jeglicher Ansatz wie ich aus der irgendwas machen kann. Oder gibt es andere möglichkeiten so etwas zu lösen???? Gruß Andor922
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Wir betrachten den euklidischen Vektorraum [mm]R^2[/mm] mit dem
> Standardskalarprodukt
>
> <x→,y→>:=x1y1+x2y2
>
> und die lineare Abbildung
>
> A : [mm]R^2[/mm] -> [mm]R^2[/mm]
> x(vektor)-> Ax(vektor)
>
> Bestimmen Sie die Matrix A∈R^(2x2) so, dass die lineare
> Abbildung A eine Spiegelung an der vom Vektor [mm]\vektor{-4 \\ -5}[/mm]
> erzeugten Geraden beschreibt.
> Meine generelle Frage wäre, wie packe ich diese Aufgabe
> überhaupt an? Ich weiß das es eine Rotationsmatrix gibt,
> mir fehlt allerdings jeglicher Ansatz wie ich aus der
> irgendwas machen kann. Oder gibt es andere möglichkeiten
> so etwas zu lösen???? Gruß Andor922
Man kann die gesuchte Abbildung A zum Beispiel als eine
Folge von 3 linearen Abbildungen erzeugen:
1.) Drehung um O(0|0), welche den gegebenen Richtungs-
vektor auf einen in x-Richtung zeigenden Vektor abbildet.
2.) Spiegelung an der x-Achse
3.) Umkehrabbildung der ersten Drehung
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Mi 19.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Hallo,
ich hab gerade die Frage gelesen und sitze auch an der gleichen Aufgabe!
Ich hab allerdings Deine Antwort noch nicht so ganz geschnallt!
Also ich habe meinen Vektor [mm] \vec{x}, [/mm] der ja vorgegeben ist.
Und die Matrix A soll ja eine orthonormale Matrix sein!
Ich drehe meinen Vektor [mm] \vektor{-4 \\ -5} [/mm] also um den Ursprung, damit er in x-Richtung zeigt! Das wäre ja dann [mm] \vektor{4 \\ 5} [/mm] oder?
Dann spiegele ich an der x-Achse. Also komme ich auf [mm] \vektor{4 \\ -5}! [/mm] Ist das bis dahin richtig verstanden von mir?
Und nun die Umkehrabbildung der ersten Drehung... damit bin ich nicht ganz sicher... Bin ich dann bei [mm] \vektor{5 \\ -4} [/mm] gelandet?
Und dann noch normieren, richtig? Oder völlig falsch? Bestimmt völlig falsch...
Ich weiß nicht ob es nur mir so geht, aber das Thema Spiegelung wurde komplett weggelassen in den Übungen, in der Mumie etc. Nur Spiegelung an der x-Achse wurde erläuter- oh ja! Ganz schwer! ... ohne Worte!
Kann mir jemand einen Tipp geben ob ich halbwegs richtig lag?
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> ich hab gerade die Frage gelesen und sitze auch an der
> gleichen Aufgabe!
>
> Ich hab allerdings Deine Antwort noch nicht so ganz
> geschnallt!
>
> Also ich habe meinen Vektor [mm]\vec{x},[/mm] der ja vorgegeben
> ist.
> Und die Matrix A soll ja eine orthonormale Matrix sein!
>
> Ich drehe meinen Vektor [mm]\vektor{-4 \\ -5}[/mm] also um den
> Ursprung, damit er in x-Richtung zeigt! Das wäre ja dann
> [mm]\vektor{4 \\ 5}[/mm] oder?
Nein. Wir drehen ja den Vektor nicht um 180° , sondern nur
um einen Drehwinkel [mm] \alpha, [/mm] welcher ihn in einen in x-Richtung
zeigenden Pfeil überführt. Einen möglichen Winkel erhält man,
wenn man [mm] \alpha:=\ [/mm] -(Polarwinkel von [mm] \vec{x}) [/mm] setzt. Das erfordert
nur ein bisschen elementare Trigonometrie, oder man kann
direkt etwa [mm] cos(\alpha) [/mm] und [mm] sin(\alpha) [/mm] mittels Pythagoras berechnen.
Dies sind ja die Werte, die man dann für die Drehmatrix
braucht.
(Weiteres später bei Bedarf ...)
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 19.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Hallo Al,
Danke für Deine schnelle Antwort!
Also gleich vorweg: ja: auf diese Idee bin ich auch schon gekommen!
Und genau da war der Punkt, warum ich nicht verstanden habe, dass ich das Ganze um 180 Grad spiegeln soll (habe ich hier im Forum gelesen), wenn ich doch eine Gerade gegeben habe!?
Ich habe mir den Winkel auch schon errechnet, aber das blöde ist, dass das halt keine "schönen runden Zahlen" sind, die dort heraus kommen und ich die Lösung aber genau angeben muss!
Also mal etwas direkter: mein Vektor (jeder hat ja einen anderen Vektor in seiner elektr. HA) ist [mm] \vektor{-5 \\ 3}! [/mm] Heißt also im 2. Quadranten, richtig?
Und da berechne ich [mm] \phi [/mm] mit [mm] \phi=\pi-arctan(|(\bruch{3}{-5})|)
[/mm]
Soweit richtig?
Wenn ja, dann schreib ich mal weiter: [mm] \phi=\pi-0,5404195003
[/mm]
So. Und da fängt es schon an! Wie soll ich das denn in Radianten ausdrücken?
Wenn ich DANN endlich mal [mm] \phi [/mm] habe, dann weiß ich auch, was ich machen soll! Aber DAS genau ist mein Problem! Soll ich jetzt stundenlang versuchen, herauszufinden ob man das durch irgendwelche Wurzeln multipliziert mit Brüchen darstellen kann oder noch besser: in Radianten?
Und soll ich dann vorher vielleicht mal meinen Vektor normieren?? Da ich ja eine Orthonormal-Matrix berechnen soll!?
|
|
|
| |
|
> Hallo Al,
>
> Danke für Deine schnelle Antwort!
>
> Also gleich vorweg: ja: auf diese Idee bin ich auch schon
> gekommen!
>
> Und genau da war der Punkt, warum ich nicht verstanden
> habe, dass ich das Ganze um 180 Grad spiegeln soll (habe
> ich hier im Forum gelesen), wenn ich doch eine Gerade
> gegeben habe!?
>
> Ich habe mir den Winkel auch schon errechnet, aber das
> blöde ist, dass das halt keine "schönen runden Zahlen"
> sind, die dort heraus kommen und ich die Lösung aber genau
> angeben muss!
>
> Also mal etwas direkter: mein Vektor (jeder hat ja einen
> anderen Vektor in seiner elektr. HA) ist [mm]\vektor{-5 \\ 3}![/mm]
> Heißt also im 2. Quadranten, richtig?
> Und da berechne ich [mm]\phi[/mm] mit
> [mm]\phi=\pi-arctan(|(\bruch{3}{-5})|)[/mm]
>
> Soweit richtig?
> Wenn ja, dann schreib ich mal weiter:
> [mm]\phi=\pi-0,5404195003[/mm]
>
> So. Und da fängt es schon an! Wie soll ich das denn in
> Radianten ausdrücken?
>
> Wenn ich DANN endlich mal [mm]\phi[/mm] habe, dann weiß ich auch,
> was ich machen soll! Aber DAS genau ist mein Problem! Soll
> ich jetzt stundenlang versuchen, herauszufinden ob man das
> durch irgendwelche Wurzeln multipliziert mit Brüchen
> darstellen kann oder noch besser: in Radianten?
> Und soll ich dann vorher vielleicht mal meinen Vektor
> normieren?? Da ich ja eine Orthonormal-Matrix berechnen
> soll!?
Also der Richtungsvektor "deiner" Geraden (die durch den Null-
punkt gehen soll !) ist [mm] $\vec{x}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{-5 \\ 3}$ [/mm] mit dem Betrag
[mm] $\left|\vec{x}\right|\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{5^2+3^2}\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{34}$ [/mm] und einem Richtungswinkel [mm] \phi
[/mm]
mit $\ [mm] cos(\phi)\ [/mm] =\ [mm] \frac{x_1}{\left|\vec{x}\right|}\ [/mm] =\ [mm] \frac{-5}{\sqrt{34}}$ [/mm]
und $\ [mm] sin(\phi)\ [/mm] =\ [mm] \frac{x_2}{\left|\vec{x}\right|}\ [/mm] =\ [mm] \frac{3}{\sqrt{34}}$
[/mm]
Für den Winkel [mm] $\alpha\ [/mm] =\ [mm] -\phi$ [/mm] gilt dann (Symmetrien von sin und cos) :
$\ [mm] cos(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] cos(\phi)\ [/mm] =\ [mm] \frac{-5}{\sqrt{34}}$
[/mm]
$\ [mm] sin(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] -sin(\phi)\ [/mm] =\ [mm] \frac{-3}{\sqrt{34}}$
[/mm]
Damit kann man die Drehmatrix [mm] D_{\alpha} [/mm] komplett und exakt hin-
schreiben:
$\ [mm] D_{\alpha}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{\sqrt{34}}\pmat{-5&3\\-3&-5}$
[/mm]
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Mi 19.01.2011 | | Autor: | lexjou |
ACH SOOOO!!!
Ich hab ja den Winkel komplett falsch berechnet!!
Ja na dann ist klar warum das nicht klappt bei mir!
THX!!! g'd n8 :)
p.s. aber mit der Linearkombi muss es auch funktionieren...!?!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Mi 19.01.2011 | | Autor: | lexjou |
So.... nicht schön, aber selten :)
So sieht das hier in der Demo aus!
![[]](/images/popup.gif) Link-Text
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Mi 19.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Es gibt noch eine andere Herangehensweise, die eigentlich genau dasselbe ist wie oben bereits erklärt wurde, die ich aber konzeptionell einfacher finde. Wir suchen eine lin Abb. [mm]A:\IR^2\to\IR^2[/mm]
1) Der Vektor [mm]b_1:=(4,5)[/mm] ist ein Eigenvektor zum EW 1 (denn er liegt in der Spiegelungsgeraden
2) Der Vektor [mm]b_2:=(5,-4)[/mm] ist ein Eigenvektor zum EW -1 (denn er liegt senkrecht zur Spiegelungsgeraden)
Ergo hat [mm]A[/mm] bezüglich der Basis [mm]\mathcal{B}=\{b_1,b_2\}[/mm] die Darstellungsmatrix[mm]\pmat{1&0\\
0&-1}[/mm]
Der Rest ist Basistransformation, die gesucht Matrix ist[mm]\pmat{4&5\\
5&-4}^{-1}\pmat{1&0\\
0&-1}\pmat{4&5\\
5&-4}.[/mm]Das heißt man muss eigentlich nur eine 2x2-Matrix invertieren, und zwei Matrixmultiplikationen durchführen, was ziemlich einfach ist.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
> Es gibt noch eine andere Herangehensweise, die eigentlich
> genau dasselbe ist wie oben bereits erklärt wurde, die ich
> aber konzeptionell einfacher finde. Wir suchen eine lin
> Abb. [mm]A:\IR^2\to\IR^2[/mm]
>
> 1) Der Vektor [mm]b_1:=(4,5)[/mm] ist ein Eigenvektor zum EW 1 (denn
> er liegt in der Spiegelungsgeraden
> 2) Der Vektor [mm]b_2:=(4,-5)[/mm] ist ein Eigenvektor zum EW -1
> (denn er liegt senkrecht zur Spiegelungsgeraden.
>
> Ergo hat [mm]A[/mm] bezüglich der Basis [mm]\mathcal{B}=\{b_1,b_2\}[/mm] die
> Darstellungsmatrix [mm]\pmat{1&0\\
0&-1}[/mm]
>
> Der Rest ist Basistransformation, die gesuchte Matrix
> ist [mm]\pmat{4&4\\
5&-5}^{-1}\pmat{1&0\\
0&-1}\pmat{4&4\\
5&-5}.[/mm]Das
> heißt man muss eigentlich nur eine 2x2-Matrix invertieren,
> und zwei Matrixmultiplikationen durchführen, was ziemlich
> einfach ist.
>
> Gruß, Robert
Hallo Robert,
danke für diese schöne Lösung !
einfache Rechnungen - aber doch einiges mehr an
Matrix-Theorie dahinter ...
LG Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Mi 19.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Hallo Robert,
ja na das weiß ich ja :)
Ganz so unfähig bin ich ja dann doch nicht :)
Aber die Matrix, die ich dann heraus bekomme, wenn ich das so mache, wie Du geschrieben hattest, die ist dann zwar orthogonal, aber nicht orthonormal! Und DAS ist ja mein Problem! Und sobald ich die Spalten der Matrix - also die einzelnen Vektoren - normiere, passt die Abbildung [mm] \vec{x} \mapsto A\vec{x} [/mm] nicht mehr!
Das ist mein Problem!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Mi 19.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Eine Spiegelung ist niemals orthonormal, denn es gibt immer genau einen Eigenvektor zum EW -1, und ganz viele zum EW +1. Die Determinante = Produkt der EWe ist damit -1.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:35 Mi 19.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Tut mir leid ich habe da etwas durcheinander gebracht. Die Darstellungsmatrizen von Spiegelungen sind natürlich orthonormal, denn das heißt ja gerade "abstandserhaltend". Spielungen sind nicht orientierungserhaltend, das ist das was ich in der negativen Determinante ausdrückt.
Dennoch: Was ich oben geschrieben habe (unter Beachtung der Korrektur von Angela) ist richtig, und wenn da keine orthonormale Matrix rauskommt hast du dich wahrscheinlich einfach verrechnet.
Viele Grüße,
Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Mi 19.01.2011 | | Autor: | lexjou |
Dann verrechne ich mich anscheinend ziemlich oft oder ich stelle das falsche Gleichungssystem auf!
|
|
|
| |
|
> 1) Der Vektor [mm]b_1:=(4,5)[/mm] ist ein Eigenvektor zum EW 1 (denn
> er liegt in der Spiegelungsgeraden
> 2) Der Vektor [mm]b_2:=(4,-5)[/mm] ist ein Eigenvektor zum EW -1
> (denn er liegt senkrecht zur Spiegelungsgeraden.
Hallo,
Du meinst hier [mm] b_2:=(-5,4),
[/mm]
entsprechend stimmen auch die Transformationsmatrizen nicht.
Gruß v. Angela
>
> Ergo hat [mm]A[/mm] bezüglich der Basis [mm]\mathcal{B}=\{b_1,b_2\}[/mm] die
> Darstellungsmatrix[mm]\pmat{1&0\\
0&-1}[/mm]
>
> Der Rest ist Basistransformation, die gesucht Matrix
> ist[mm]\pmat{4&4\\
5&-5}^{-1}\pmat{1&0\\
0&-1}\pmat{4&4\\
5&-5}.[/mm]Das
> heißt man muss eigentlich nur eine 2x2-Matrix invertieren,
> und zwei Matrixmultiplikationen durchführen, was ziemlich
> einfach ist.
>
> Gruß, Robert
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Mi 19.01.2011 | | Autor: | pelzig |
Da hast du natürlich Recht, ich habe das korrigiert.
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Mi 19.01.2011 | | Autor: | lexjou |
> 1) Der Vektor $ [mm] b_1:=(4,5) [/mm] $ ist ein Eigenvektor zum EW 1 (denn
> er liegt in der Spiegelungsgeraden
> 2) Der Vektor $ [mm] b_2:=(4,-5) [/mm] $ ist ein Eigenvektor zum EW -1
> (denn er liegt senkrecht zur Spiegelungsgeraden.
Also damit habe ich persönlich nichts zu tun ;) ich bin ja nicht der Verfasser, sondern habe nur weiter angefragt!
Und wie bereits oben geschrieben habe ich ja ein anderes Problem!
Kurz zur Erläuterung: in der Demo (von der Mumie - ich weiß nicht welche Unis die noch benutzen... ich bin TU Berlin) war gegeben:
Vektor [mm] \vec{x}=\vektor{-2 \\ 1} [/mm] und in der Matrix A war Folgendes dargestellt:
[mm] A=\pmat{ 0,6 & -0,8 \\ -0,8 & -0,6 }
[/mm]
Hilft das etwas weiter mir zu helfen?
Ich habe nur gesehen: die Spalten sind normiert und orthogonal! Also warum jetzt schon wieder von irgendjemanden, dass das nicht geht, wenn es doch so da steht??
Angela Du kannst doch am besten Hinweise geben! Wie mache ich das denn?
Ich habe Deine Antworten gelesen in einem Thread von vor 7 Monaten. Selbe Frage, selbes Thema!
Ich weiß, dass die Spalten der Matrix die Bilder der Basisvektoren sind. Und ich soll die Basisvektoren als Linearkombination darstellen. Aber er haut nicht hin! Soll ich nochmal die genaue Abbildung posten?
|
|
|
| |
|
> Vektor [mm]\vec{x}=\vektor{-2 \\
1}[/mm] und in der Matrix A war
> Folgendes dargestellt:
>
> [mm]A=\pmat{ 0,6 & -0,8 \\
-0,8 & -0,6 }[/mm]
>
> Hilft das etwas weiter mir zu helfen?
>
> Ich habe nur gesehen: die Spalten sind normiert und
> orthogonal!
Hallo,
ja, so muß das sein.
Wenn Du eine Spiegelungsmatrix hast, die nicht orthogonal ist, dann hast Du etwas falsch gemacht.
Was genau falsch ist, können wir nur wissen, wenn wir sehen, was Du getan hast.
> Ich weiß, dass die Spalten der Matrix die Bilder der
> Basisvektoren sind.
Ja.
Und um auf diese Spalten zu kommen, gibt es mehrere Möglichkeiten.
1.
Du weißt (oder erarbeitest es Dir), daß Spiegelungsmatrizen die Gestalt
[mm] $\pmat{ cos(2\varphi) & sin(2\varphi) \\ sin(2\varphi) & -cos(2\varphi)}$
[/mm]
haben, wobei [mm] \varphi [/mm] der Winkel zwischen der Spiegelungsgeraden und der positiven x-Achse ist.
Winkel berechnen, fertig.
2.
Du weißt: in den Spalten der Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis stehen die Bilder der Standardbasisvektoren, und
Vektoren in richtung Spiegelachse werden auf sich selbst abgebildet, solche, die senkrecht dazu sind, klappen um.
Nimm einen Vektor in richtung Spiegelachse und einen dazu senkrechten,
zerlege die beiden Einheitsvektoren in eine Linearkombination aus den beiden zum Problem passenden Vektoren, bestimme unter Ausnutzung der Linearität der Spiegelung ihr Bild und trage es in die Spalten der Matrix ein.
3.
Nimm einen Vektor in Richtung Spiegelachse und einen dazu senkrechten, stelle die Darstellungsmatrix bzgl dieser Basis auf und finde dann per Basistransformation die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis.
> Und ich soll die Basisvektoren als
> Linearkombination darstellen. Aber er haut nicht hin! Soll
> ich nochmal die genaue Abbildung posten?
Vielleicht eher Deine Rechnung.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:54 Mo 24.01.2011 | | Autor: | tentigo |
also ich erkläre jetzt einfach mal, wie es mir erklärt wurde... hab die Aufgabe auch schon bearbeitet und ich denke es stimmmt so..
stelle deine gesuchte spiegelungmatrix einfach als
[mm] \begin{pmatrix}
S1 & S2 \\
S3 & S4
\end{pmatrix} [/mm] dar...
dann weißt du halt, dass der Vektor, an dem gespiegelt werden soll, sich bei der Spiegelung an sich selbst nicht verändert .. also gilt
[mm] \begin{pmatrix}
S1 & S2 \\
S3 & S4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]
und ebenso kann man davon ausgehen, dass ein zu [mm] \begin{pmatrix}-2 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] orthogonaler Vektor (den du selbst bestimmst) einfach die Orientierung verändert ( -1 multiplizieren)
[mm] \begin{pmatrix}
S1 & S2 \\
S3 & S4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm]
darsus ergibt sich ein LGS mit 4 Gleichungen, mit dem du S1 .. S4 berechnen kannst..
Ich hoffe ich habe mich jetzt nicht vertippt oder so.... aber bei mir konnte ich nach diesem Verfahren die erste Trainingsaufgabe richtig lösen
hm.. naja ich veranschauliche es einfach nochmal an der ersten Trainingsaufgabe, hilft vllt.
vektor der [mm] Spiegelgeraden\begin{pmatrix}6 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
S1 & S2 \\
S3 & S4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
S1 & S2 \\
S3 & S4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3 \\ 6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 \\ -6 \end{pmatrix} [/mm]
Dann ergibt sich:
6S1+3S2=6
6S3+3S4=3
-3S1+6S2=3
-3S3+6S4=-6
das aufgelöst ergibt dann die Matrix [mm] \begin{pmatrix}
3/5 & 4/5 \\
4/5 & -3/5
\end{pmatrix}
[/mm]
ich hoffe das hilft, hat mir schon ab und zu mal geholfen, dass du hier nachgefragt hast lexjou ;)
|
|
|
| |
|
> also ich erkläre jetzt einfach mal, wie es mir erklärt
> wurde... hab die Aufgabe auch schon bearbeitet und ich
> denke es stimmmt so..
>
> stelle deine gesuchte spiegelungmatrix einfach als
> [mm]\begin{pmatrix}
S1 & S2 \\
S3 & S4
\end{pmatrix}[/mm] dar...
>
> dann weißt du halt, dass der Vektor, an dem gespiegelt
> werden soll, sich bei der Spiegelung an sich selbst nicht
> verändert .. also gilt
> [mm]\begin{pmatrix}
S1 & S2 \\
S3 & S4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> und ebenso kann man davon ausgehen, dass ein zu
> [mm]\begin{pmatrix}-2 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] orthogonaler Vektor
> (den du selbst bestimmst) einfach die Orientierung
> verändert ( -1 multiplizieren)
>
> [mm]\begin{pmatrix}
S1 & S2 \\
S3 & S4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> darsus ergibt sich ein LGS mit 4 Gleichungen, mit dem du S1
> .. S4 berechnen kannst..
>
> Ich hoffe ich habe mich jetzt nicht vertippt oder so....
> aber bei mir konnte ich nach diesem Verfahren die erste
> Trainingsaufgabe richtig lösen
>
> hm.. naja ich veranschauliche es einfach nochmal an der
> ersten Trainingsaufgabe, hilft vllt.
> Vektor der Spiegelgeraden [mm]\begin{pmatrix}6 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}
S1 & S2 \\
S3 & S4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ 3 \end{pmatrix} =\ \red{\begin{pmatrix}-2 \\ 2 \end{pmatrix}}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
was hast du gerade oben geschrieben:
" > Ich hoffe ich habe mich jetzt nicht vertippt oder so.... "
> [mm]\begin{pmatrix}
S1 & S2 \\
S3 & S4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3 \\ 6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 \\ -6 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Dann ergibt sich:
> 6S1+3S2=6
> 6S3+3S4=3
> -3S1+6S2=3
> -3S3+6S4=-6
>
> das aufgelöst ergibt dann die Matrix [mm]\begin{pmatrix}
3/5 & 4/5 \\
4/5 & -3/5
\end{pmatrix}[/mm]
>
> ich hoffe das hilft, hat mir schon ab und zu mal geholfen,
> dass du hier nachgefragt hast lexjou ;)
Noch eine weitere Bemerkung:
Wenn der Richtungsvektor der Spiegelgeraden als [mm]\begin{pmatrix}6 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
vorgegeben ist, sollte man ihn im eigenen Interesse
vor der ganzen Rechnerei kürzen zu [mm]\begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] !
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
|
![[]](http://www.bilder-space.de/show_img.php?img=e7ff57-1295475716.jpg&size=original){kind=small}
Link-Text